馬瑞雪

摘要：股票市場的波動無處不在，宏觀上看是雜亂無章的，周期具有不確定性，是非周期的——想要抓住波動規(guī)律是困難的，因此也就無法利用具有確定性公式的周期分析來預(yù)測股價的漲跌。雖然無法對股票序列整體定量刻畫周期，但可以將其分解為趨勢項(xiàng)、短期波動項(xiàng)以及噪聲項(xiàng)。本文對股票時間序列信號先利用二階低通濾波過濾噪聲項(xiàng)，再利用差分去除趨勢項(xiàng)，最后通過希爾伯特變換構(gòu)造同相正交空間，利用旋轉(zhuǎn)直觀展示短期波動項(xiàng)的周期波動。通過判斷價格所處的上升下降狀態(tài)，制定交易策略，進(jìn)行實(shí)證回測。實(shí)測驗(yàn)證結(jié)果表明該策略具有一定的盈利能力。

關(guān)鍵詞：低通濾波 希爾伯特變換 趨勢跟蹤 周期波動

一、研究背景

股票市場的波動無處不在，投資者所要做的就是抓住稍縱即逝的投資機(jī)會，但這卻是一件非常困難的事。一般而言，采用價值理論的投資風(fēng)險性高，相對而言大多數(shù)投資者更加青睞于短線交易、頻繁交易。因此，設(shè)計可以保持一定穩(wěn)定收益率的短線交易策略是必要的。相比于傾向于經(jīng)驗(yàn)主觀判斷的基本面分析，量化交易則是通過科學(xué)的方法認(rèn)識市場波動，通過實(shí)證方法驗(yàn)證投資假設(shè)，再通過組合優(yōu)化進(jìn)行交易，更為客觀理性。不僅可以有效地控制風(fēng)險暴露，還可以高效覆蓋大量的投資機(jī)會，提高投資的效率。同時，量化投資是基于計算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的，不僅可以在海量的金融大數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上高效快速地進(jìn)行分析，還可以進(jìn)行實(shí)時監(jiān)控，決策復(fù)現(xiàn)度高，大大地解放了人工，同時也盡可能避免主觀人的經(jīng)驗(yàn)誤判。本文就是采用科學(xué)的方法，通過對金融數(shù)據(jù)構(gòu)建相應(yīng)指標(biāo)判定交易信號的量化交易策略。

科學(xué)的方法是多樣的，采用金融學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等理論都可以構(gòu)建模型，本文則是立足于通信與信號處理角度，進(jìn)行信號波的過濾去噪以及時頻分析。策略整體思想可理解為：將金融數(shù)據(jù)抽象為“信號”，設(shè)計模型——“系統(tǒng)”對信號進(jìn)行濾波去噪，提取獲得有用信息進(jìn)行希爾伯特變換，通過周期旋轉(zhuǎn)構(gòu)建買賣信號進(jìn)行交易。

二、濾波提取非周期中的周期波動

股票市場的價格總是在變化的，宏觀上看是雜亂無章、沒有規(guī)律的。波動無處不在，但是想要抓住波段很困難，因?yàn)椴ㄩL——也就是周期具有不確定性，或者說金融時間序列是一個非周期信號。一個金融時間序列可以認(rèn)為是由長期趨勢項(xiàng)、短線波動項(xiàng)以及噪聲項(xiàng)三部分疊加。短期波動項(xiàng)是對局部震蕩的刻畫，會在市場中重復(fù)出現(xiàn)，蘊(yùn)含周期波動，但周期并不固定，因此金融時間序列并不是嚴(yán)格的周期信號，無法進(jìn)行一般性的周期分析。短期波動是本文主要的研究內(nèi)容。

在信號分析中，趨勢項(xiàng)一般指信號中周期大于記錄長度的成分，許多信號的趨勢項(xiàng)往往具有非常明確的物理含義。在股票分析中，本文使用的股價記錄的趨勢項(xiàng)對應(yīng)于各個階段的平均股價，刻畫了股價在不同時期的平均水平，不具有周期波動，并不是本文關(guān)注的分析重點(diǎn)。因此，本文采用局部差分去除長期趨勢項(xiàng)，保留短線波動。

此外，任何實(shí)際的時間序列信號中都存在“毛刺”，可能來自個股自身的波動，也可能來自整個市場的波動影響，這就是噪聲項(xiàng)。本小節(jié)通過低通濾波過濾噪聲，再通過差分提取周期波動，在下一部分使用周期波動進(jìn)行價格漲跌判斷。

（一）傳統(tǒng)均線系統(tǒng)

趨勢跟蹤技術(shù)是一種簡單有效的投資方式，同時也是對噪聲項(xiàng)的一種簡單過濾。跟蹤趨勢最簡單的一種方法就是采用移動平均線（Moving Average，MA），計算公式為：

其中，price一般采用收盤價。所謂移動平均線就是n日均線，常見的有五日均線、十日均線以及二十日均線等，是一種常見的交易策略。

MA指標(biāo)可以很好地刻畫股票或是指數(shù)的價格趨勢，但會存在延時。隨著n值增大，局部波動顯著減?。ㄆ交愿茫?，但是延時也在逐漸增大，很容易出現(xiàn)“跟不緊”甚至“跟不上”的情況，如圖1所示。

另一個均線指標(biāo)——指數(shù)平均線（Exponential Moving Average，EMA），與MA指標(biāo)類似，EMA指標(biāo)也是對價格進(jìn)行平均的趨勢系統(tǒng)，只是對靠近當(dāng)前天數(shù)賦予更大權(quán)重，計算公式為：

其中，是一個介于0和1之間的一個參數(shù)，且。同MA指標(biāo)一樣，EMA指標(biāo)也存在一定的延遲。

本小節(jié)分析過程從信號與系統(tǒng)角度入手，基于低通濾波思想，克服上述均線指標(biāo)延時特性，構(gòu)建低時延的低通濾波器。

（二）構(gòu)建濾波器

對于一個在時間軸上波動變化迅速的信號，在時域進(jìn)行識別是困難的，此時可將信號轉(zhuǎn)換至頻域進(jìn)行分析。在時域劇烈波動的信號，在頻域變化是緩慢的，易于識別分析;反之同理。在信號處理過程中，股票價格序列可認(rèn)為長期趨勢項(xiàng)與短期波動項(xiàng)對應(yīng)低頻部分，噪聲項(xiàng)對應(yīng)高頻部分。趨勢跟蹤可以理解為，先將信號由時域轉(zhuǎn)換至頻域，過濾掉對信號中的高頻成分，保留低頻部分，再將信號從頻域變換回時域。本文需要提取周期的波動，主要對低頻部分進(jìn)行分析。

從信號處理角度來看，均線系統(tǒng)是一個一階線性濾波器。相比于與MA指標(biāo)的等權(quán)平均，EMA指標(biāo)更貼近實(shí)際信號，本節(jié)從EMA指標(biāo)入手構(gòu)建低通濾波器。

首先，由于金融時間序列是離散的，可進(jìn)行Z變換，將分析從時域轉(zhuǎn)換至頻域進(jìn)行。Z變換是數(shù)字信號處理中一種常用的時頻變換方法，應(yīng)用于離散信號。Z變換定義為：

其中Z定義于復(fù)頻域，是離散時間信號。

通過Z變換，定義傳輸函數(shù)，即為輸出函數(shù)Z變換與輸入函數(shù)Z變換的比值，它由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，與輸入輸出信號無關(guān)。傳輸函數(shù)描述了信號在系統(tǒng)中的放大或衰減行為。對于EMA指標(biāo)來講，利用Z變換相關(guān)性質(zhì)計算其輸出函數(shù)

計算得到

若令，則Z變換可轉(zhuǎn)換為傅里葉變換，其中是采樣頻率，為采樣時間間隔?？梢钥闯觯瑫r，，此時對應(yīng)零頻率（最低頻），傳輸函數(shù)為1，信號完全輸出;時，，對應(yīng)頻率最大值，傳輸函數(shù)為，取值較小高頻部分被最大程度削減。進(jìn)一步整體觀察，可通過繪制EMA指標(biāo)的頻率響應(yīng)曲線。

觀察圖2，EMA指標(biāo)可以看成是一個一階低通濾波器，此濾波器存在下述缺點(diǎn)：一是信號在低頻部分完全輸出，但在高頻部分信號有衰減并未完全抑制;二是一階濾波器在通帶和阻帶之間的過渡帶太長。因此，針對上述兩點(diǎn)對濾波器進(jìn)行改進(jìn)。同時，傳輸函數(shù)為1時，代表全頻通過，使用表示高通濾波器。

第一步：在一階低通濾波器中完全抑制高頻成分。

改進(jìn)EMA指標(biāo)，在EMA中加入前一交易日price值，與當(dāng)前交易日price取算數(shù)平均

對應(yīng)傳輸函數(shù)為

上式中，對應(yīng)z=-1時，傳輸函數(shù)為0，高頻成分被完全過濾。這一點(diǎn)可以通過其頻率響應(yīng)圖中可以看出。

按照上式構(gòu)造一階高通濾波器，此時可保證完全去掉低頻成分，且高頻部分完全保留，此時濾波器的傳輸函數(shù)為：

第二步：選用合適的階數(shù)

實(shí)際使用的濾波器的頻率響應(yīng)并不是在截止頻率處由1突變至0的，而是由通帶緩步衰減至阻帶，此段頻帶稱為過渡帶。一階濾波過渡帶太長，濾波效果相對較差。濾波器階數(shù)越高，傳輸函數(shù)在截止頻率附近衰減得越快，但通帶會變得不平，并且會對靠近截止頻率的信號進(jìn)行些許放大，系統(tǒng)也更加復(fù)雜，折中考慮，本文采用的是二階低通濾波器。二階濾波器可以通過串聯(lián)兩個一階濾波器實(shí)現(xiàn)，信號通過兩次一階濾波，完成二階濾波過程。對應(yīng)的二階高通濾波器的傳輸函數(shù)可以寫為兩個一階濾波器相乘

與的頻率響應(yīng)如圖四所示?？梢钥闯觯号c可以在保證對高頻信號完整輸出的同時，完全抑制低頻信號輸出，不同的是，的頻率響應(yīng)曲線在通帶和阻帶之間衰減得更快，可以對高頻和低頻分量做出更有效的區(qū)分。

由于低頻分量與高頻分量是互補(bǔ)的，因此可以根據(jù)二階高通濾波器，構(gòu)造對應(yīng)的低通濾波器，即：

觀察圖5頻率響應(yīng)曲線，相比改進(jìn)EMA指標(biāo)的傳輸函數(shù)，該低通濾波在截止頻率附近小幅放大（這是高階濾波的特點(diǎn)之一），但又未過分失真;同時，二階濾波后整體信號高于改進(jìn)EMA指標(biāo)，低頻輸出更顯著。

觀察圖6一階與二階低通濾波器相位響應(yīng)可以看出：二階濾波器對應(yīng)相位變化整體小于一階濾波器，延遲性更小。

三、利用希爾伯特變換構(gòu)造周期模型

一個周期函數(shù)可以表示為：

其中為幅度，為角頻率，為相位，周期為。

對于一個周期函數(shù)，可以通過歐拉公式將信號在復(fù)數(shù)域內(nèi)由幅度與相位間接表示，但股票數(shù)據(jù)并不能通過上述方式進(jìn)行顯式定義，因?yàn)閷τ诠善睌?shù)據(jù)不同時刻的幅度與角頻率都是變化的，即表示為。換用一種簡單直觀的方式，一個周期函數(shù)在復(fù)平面旋轉(zhuǎn)360度的時候，就可以認(rèn)為該周期函數(shù)經(jīng)過一個周期。對于非周期函數(shù)，也可通過“旋轉(zhuǎn)”的方式實(shí)現(xiàn)“周期”的定義，通過相位象限位置判斷市場方向。

在信號處理中，經(jīng)常會對一個信號進(jìn)行正交分解，即分解為同相分量（I）與正交分量（Q），這兩部分信號是正交的，因此可構(gòu)造出類似于復(fù)平面的二維平面——同相正交空間，在此空間下對非周期函數(shù)進(jìn)行相量分析。

希爾伯特變換（hilbert transform）是一種在時域的積分變換[1]，在工程中常用于窄帶數(shù)字信號的處理，它僅向信號提供了的相位變化，并未影響幅頻響應(yīng)，因而在信號處理領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

對于一個時域連續(xù)函數(shù)希爾伯特變換定義為

寫成積分形式

通過傅里葉變換至頻域，得到

由于

其中為符號函數(shù)，定義為

因此希爾伯特變換的傅里葉變換可以寫為：

也就是說，對于，希爾伯特變換在頻域中相當(dāng)于對原信號正頻部分乘以，對負(fù)頻部分乘以，其余保持不變。由于，所以在頻域，正頻乘以相當(dāng)于相位減少，負(fù)頻乘以i相當(dāng)于相位增加，這也表明了希爾伯特變換的實(shí)質(zhì)是提供的相位變化，而保持幅值不變。

同時由希爾伯特的定義不難證明，希爾伯特變換具有正交性，即

因此，我們可采用原信號作為同相分量，對應(yīng)希爾伯特變換作為正交分量，構(gòu)造同相正交空間，進(jìn)行相位分析。

對于非周期窄帶信號，通過包絡(luò)相位表示法表示為：

其中和都是緩變隨機(jī)過程。在同相正交空間中構(gòu)造解析函數(shù)

也可以寫成

與周期函數(shù)不同，此處的幅度和相位都是含時的，即

通過相位定義瞬時角頻率為：

由于相位是緩變的，定義市場“瞬時周期”為：

但仍是含時的，使用起來不太方便。更為直觀的可以通過“旋轉(zhuǎn)”在同相正交空間中對應(yīng)相位的變化判斷市場周期。當(dāng)繞過同相正交空間各個象限一周時，我們認(rèn)為經(jīng)歷了一個“周期”。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于金融市場的價格是以離散的時間序列形式給出的，無法通過連續(xù)的積分形式對其進(jìn)行希爾伯特變換。希爾伯特變換應(yīng)用于時間序列，需要將上述積分變換推廣到離散形式，利用Z變換進(jìn)行分析。

同時在實(shí)際分析中，數(shù)據(jù)點(diǎn)是有限的，這相當(dāng)于給輸入信號加了一個窗口，窗口長度為。

在對時間序列信號進(jìn)行希爾伯特變換后，構(gòu)造同相正交空間，位于第一、二象限的信號處于上升趨勢，位于第三、四象限的信號則處于下降趨勢，構(gòu)建買賣信號。

構(gòu)建交易策略：

當(dāng)信號位于第一、二象限時，發(fā)出買入信號;

當(dāng)信號位于第三、四象限時，發(fā)出賣出信號。

四、實(shí)證分析

基于以上交易策略思想，在聚寬平臺編寫策略代碼，并進(jìn)行回測分析?；販y數(shù)據(jù)選取2014年5月1日至2020年6月30日的平安銀行的日線收盤價。策略設(shè)置手續(xù)費(fèi)買入時傭金萬分之三，賣出時傭金萬分之三加千分之一印花稅，每筆交易傭金最低扣5塊錢?；鶞?zhǔn)標(biāo)的設(shè)置為滬深300指數(shù)，設(shè)定初始資金為1，000，000元，按照策略交易，最終由初始資金1，000，000元，變?yōu)?，576，411.35元，累積收益率為357.64%，年化收益率為28.81%。

從累計收益率曲線來看，模型是有效的。在回測時間段內(nèi)，除前期少部分時間段外，策略模型與指數(shù)基準(zhǔn)較為貼合，大部分時間模型穩(wěn)定超越指數(shù)基準(zhǔn)。

此外，經(jīng)多次測試，發(fā)現(xiàn)該交易策略是一個短線擇時模型，平均預(yù)測周期（即多、空頭的平均持倉時間）與大多數(shù)周期一致，約10天左右，判斷正確率大于60%，結(jié)合平均預(yù)測周期來看，該交易策略側(cè)重交易獲利。

為保證策略的有效性，本文還回測交易招商銀行股票對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。為了進(jìn)行有效比較，選擇的起止日期仍為2014年5月1日至2020年6月30日，其余條件也均相同。按策略交易，回測期內(nèi)累積收益率為191.84%，對應(yīng)年化收益率為19.51%。

從上述圖表的數(shù)據(jù)可以看出，策略應(yīng)用于招商銀行的效果略遜于其對于平安銀行的預(yù)測，年化收益率從28.81%下降至19.51%，不過判斷正確率仍然大于60%，模型繼續(xù)有效并超越指數(shù)基準(zhǔn)。

五、風(fēng)險提示

本文策略編寫于聚寬平臺，采用歷史數(shù)據(jù)與平臺回測環(huán)境進(jìn)行建?；販y，具有較好的擇時結(jié)果。但由于市場具有不確定性，策略模型僅在統(tǒng)計意義下具有良好的收益回報，存在單次失效的風(fēng)險。

此外，本股票策略模型中設(shè)定有多個超參數(shù)參數(shù)，由于個股時間序列特點(diǎn)各不相同，因此使用時需要基于不同時期的不同股票數(shù)據(jù)對各參數(shù)需要進(jìn)行微調(diào)，文中并未詳細(xì)敘述參數(shù)調(diào)整過程。

同時由于本股票策略僅是對策略理論有效性進(jìn)行分析驗(yàn)證，并未設(shè)定風(fēng)險控制模塊進(jìn)行風(fēng)險控制。如若進(jìn)行后續(xù)實(shí)測分析或與其他策略組合使用可加入風(fēng)險控制環(huán)節(jié)進(jìn)行風(fēng)控。

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作者單位：北京郵電大學(xué)理學(xué)院