汪志雄　張志田　吳長青　郄凱

摘要： 基于某π型疊合梁斷面進行了顫振試驗及顫振導數試驗，試驗結果表明斷面的顫振形式是極限環(huán)振動（LCO）而非發(fā)散振動;分析了斷面的后顫振極限環(huán)及頻率演變特性;采用了基于階躍函數的后顫振自激力模型并通過試驗驗證了其在計算顫振臨界風速及后顫振幅值方面的精度及可靠性，進一步分析了數值計算和試驗兩者之間產生誤差的成因;對比分析了幾何非線性在后顫振數值計算中的作用;采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法解決平均風荷載重復計入的問題;研究了在+3°攻角下不同結構阻尼比對π型斷面顫振臨界風速及后顫振幅值演變的影響，研究表明π型斷面的顫振和后顫振對結構阻尼具有較大的依賴性。數值計算結果表明，采用階躍函數自激力模型成功地實現了平均風效應及幾何非線性的時域分析，為分析大跨徑橋梁的非線性后顫振性能提供理論依據及求解策略。

關鍵詞： 風洞試驗; 后顫振; 非線性; 階躍函數; 極限環(huán)

中圖分類號： TU311.3; U441+.2 ? ?文獻標志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0301-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.010

引 言

由于美國原Tacoma橋的風毀事件，橋梁的顫振失穩(wěn)被認為是毀滅性的，即當風速達到臨界點之后結構出現動力失穩(wěn)，其振幅不斷增大直至結構破壞。多年來，橋梁的顫振穩(wěn)定性采用一個臨界風速來描述[1?5]，在設計上要求顫振臨界風速不低于顫振檢驗風速。這一方法最大的缺點是忽略了顫振臨界點斷面氣動性能的優(yōu)劣，不能體現橋梁的后顫振抗風的強健性。原Tacoma大橋與金門大橋的歷史表明[6]，不同的后顫振性能對結構顫振后的振幅甚至結構的命運起著決定性的作用。航空航天領域研究也表明，由于結構非線性、氣彈非線性及二者組合的作用，細長薄機翼的顫振形式是一種振幅較小的極限環(huán)振動（LCO）[7]。因此，深入研究橋梁后顫振性能是必要的。

研究后顫振特性可能涉及三大類方法。第一類是使用風洞試驗。Amandolese X等[8]通過風洞試驗研究了雙自由度平板的后顫振幅值及極限環(huán)特性;Zhang M等[9]和鄭史雄等[10]也通過風洞試驗對橋梁斷面的后顫振進行了研究。這一類方法具有如下兩個特點：（1）在接近顫振臨界風速時，節(jié)段模型振動幅值較小，因而彈性懸掛系統(tǒng)的幾何非線性特性可忽略，這樣能準確得出橋梁節(jié)段的顫振臨界風速;（2）當試驗模型振幅較大時，彈性懸掛系統(tǒng)的非線性特性明顯，但和實橋的非線性特性具有較大的差異，因此節(jié)段模型風洞試驗的后顫振特性并不能代表實橋的后顫振特性，但能作為驗證自激力理論模型可靠性和適用性的依據。第二類是直接采用計算流體動力學（CFD）和結構運動方程相結合的方法[11?14]。這類方法沒有引入任何半經驗或經驗模型，其可靠性依賴于所選CFD模型及網格質量，且計算成本巨大。第三類方法是在試驗的基礎上，引入半經驗的非線性模型來描述氣彈效應。目前為止，比較著名的有Tran C T和Petot D 1981年提出的ONERA模型[15]，已經廣泛地應用于處理直升機機翼及風力機葉片的失速問題[16?17]; Leishman 和 Beddoes 提出了另一種半經驗模型[18]，該模型在解決動力失速問題上得到了廣泛的應用[19?20]。Larsen 等也提出了專門描述風力機葉片的非線性氣動力的半經驗模型[21]。Diana G等提出了以瞬態(tài)風攻角及其一階導數為變量的非線性氣動力模型，該模型可以描述給定振幅下氣動力的滯回效應[22]。

以上半經驗模型均描述滯回環(huán)特性，不能反映隨振幅演變的氣動力非線性特性，后者是橋梁非線性后顫振關注的關鍵。這方面有不少學者進行了嘗試。王騎等采用平衡位置泰勒級數展開式建立了簡諧波疊加的非線性氣動力模型[23];Wu T和Kareem A提出了以Volterra 理論來體現非線性氣動自激力效應[24];劉十一和葛耀君采用附加的非線性微分方程組與附加的氣動力自由度的方法來模擬氣動自激力隨幅值演變的氣動自激力的記憶效應以及非線性特性[25]，該方法單獨處理扭轉的影響而不是采用動態(tài)風攻角的概念;朱樂東和高廣中[26] 通過引入非線性氣動導數來體現自激力隨幅值演變的特性，該方法需要結合試驗進行參數擬合，與試驗結果吻合較好;Gao G等[27]采用三階多項式描述氣動力的非線性特性，該方法與試驗結果取得了較好的一致性。Zhang M 等[28]通過引入和幅值及模態(tài)耦合相關的氣動參數來描述氣動自激力，該方法和CFD數值計算結果吻合較好，但適用性有待考證。吳長青和張志田[29]引入多階段階躍函數描述橋梁斷面的非線性氣彈效應，但缺乏試驗驗證。

理論上，節(jié)段模型和實橋的顫振臨界風速基本上有一致性;節(jié)段模型的氣動力非線性特性和實橋的也基本一致，但幾何非線特性有顯著差異，因而節(jié)段模型后顫振試驗可用于驗證氣動自激力模型的可靠性。

本文通過風洞試驗研究了π型疊合梁的氣動性能，后顫振頻率及幅值特性，采用了基于階躍函數的后顫振自激力模型并通過試驗驗證了其在計算顫振臨界風速及后顫振幅值方面的精度及可靠性，并分析了數值計算和試驗兩者之間產生誤差的成因。為避免平均風荷載與氣彈模型不兼容性所造成的氣動力重疊問題，采用了階躍函數氣動力模型中分離出偽穩(wěn)態(tài)響應的方法。通過數值計算研究了節(jié)段模型的顫振臨界風速、后顫振幅值及極限環(huán)特性。

2 風洞試驗

2.1 顫振試驗

π型疊合梁節(jié)段模型顫振風洞試驗在湖南大學HD?2風洞試驗段進行。圖1為懸掛于風洞中的模型。

節(jié)段模型由8根彈簧和兩根橫梁組成。兩根輕質水平鋼絞線約束了模型的橫向運動。模型兩端各裝一塊帶倒角的橢圓端板以消除端部效應。

剛性節(jié)段模型總長度為1.54 m，其成橋狀態(tài)橫截面如圖2所示。整個彈性懸掛系統(tǒng)等效質量為42.924 kg，等效質量矩為1.208 kg·m。模型的豎彎頻率fh和扭轉頻率fα分別是4.160 Hz和4.321 Hz，豎彎阻尼比ξh和扭轉阻尼比ξα為0.007。所有的測試都是在均勻來流下進行。+3°攻角下的顫振試驗結果如圖3所示，從圖中可知，斷面的顫振形式是LCO而非發(fā)散振動，且LCO隨著風速的增大而增大。

2.2 顫振導數試驗

利用三自由度強迫振動裝置，在均勻流場中測試成橋階段+3°，0°及-3°攻角下的顫振導數。通過豎向幅值為h/B=1/29和扭轉振幅為2°的單自由度強迫振動得到了相應初始攻角下的顫振導數。結合圖4中的成橋狀態(tài)的三分力系數，+3°，0°及-3°攻角下的階躍函數擬合值如表 1所示。

試驗顫振導數和通過階躍函數擬合的顫振導數示意圖如圖5所示。+3°，0°以及-3°攻角下顫振導數的擬合效果較好，尤其是對橋梁斷面影響最大的氣動導數A2*，這說明階躍函數基本能夠反映出斷面的真實氣動性能。

3 數值模擬

3.1 有限元模型

表2提供了有限元模型的動力參數。采用ANSYS有限元軟件建模，其中剛性模型和橫梁采用beam4單元模擬，彈簧支架采用link8單元模擬，質量和質量慣性矩采用mass21單元模擬。圖 6為有限元模型設計圖，和試驗彈性懸掛系統(tǒng)一樣，由8根彈簧、兩根橫梁及剛性模型組成。顫振時域計算時采用瑞利阻尼模型，阻尼矩陣C是由質量矩陣M和剛度矩陣K線性組合得到，表達式如下

C=αM+βK （26）

式中 α和β為瑞利阻尼系數。表2給出的α和β值對應豎彎和扭轉阻尼比是0.007，與試驗一致。

3.2 數值結果及數值模型驗證

線性理論認為，當來流風速超過顫振臨界風速Uc時，模型的振動響應就會發(fā)散。然而在實際風洞實驗中剛性模型的振動響應會趨于一個穩(wěn)定LCO。從圖 7和8可以看出，在風速超過臨界風速Uc之后，振動的幅值增加，模型達到了一個新的LCO，且隨著風速的增加，后顫振的幅值也增加。當來流風速等于顫振臨界風速Uc時，節(jié)段模型做振幅很小的等幅振動;當來流風速遠大于顫振臨界風速后，模型的振動并不能直接穩(wěn)定下來，而是需要經歷一段“拍”時間才能做等幅振動。從圖 8可知，模型的豎向振動和扭轉振動存在相位差，且隨著風速的增加相位差也發(fā)生變化。

圖 9給出了是否考慮幾何非線性的對比，考慮幾何非線性后，結構振動的形式由發(fā)散轉為極限環(huán)振動。圖 10給出了+3°攻角下節(jié)段模型試驗和數值計算幅值隨折算風速演變結果。顫振數值計算結果在顫振臨界風速之后的小范圍內和試驗結果吻合較好，隨著風速的繼續(xù)增大，數值模擬結果和試驗偏差也增大，但偏差仍在可接受的范圍內。由此可以驗證階躍自激力模型能較好地模擬本文的π型疊合梁斷面的氣動自激力。在顫振的過程中，模型的豎彎和扭轉頻率一致，且隨著風速的增大，耦合的頻率逐漸減小，數值模擬得出了同樣的結論，但數值模擬的頻率減小的程度要低，耦合頻率的結果如圖 11所示。數值模擬的顫振臨界風速結果和試驗結果十分接近，結果的對比如圖 12所示，三個攻角下試驗和計算的誤差分別為-5.50%，-2.39%和6.49%。試驗和數值模擬的不完全一致可以歸于為：

（1）試驗顫振導數識別及階躍函數擬合自身也會存在誤差;

（2）試驗懸掛系統(tǒng)的非線性阻尼與在數值計算中線性阻尼的差異;

（3）數值計算中沒有考慮平均風攻角改變對氣動自激力的影響，這種改變在試驗中是存在的;

（4）氣動導數會隨著幅值的改變而改變。氣動導數A_2^*受幅值影響最大[32]，本文在數值計算中沒有考慮氣動導數隨幅值的改變，因而扭轉幅值比豎向幅值與試驗偏差更大;

（5）節(jié)段模型在大振幅下會與來流形成較大的風攻角，這可能使風洞阻塞率增大，進而影響模型的后顫振響應。

3.3 結構阻尼比

相關規(guī)范[33]中，橋梁結構顫振臨界風速的估算方法并沒有直接考慮結構阻尼比的影響。結構的阻尼比是影響橋梁斷面顫振臨界極限環(huán)振動風速的重要因素[34]，其對橋梁斷面顫振臨界風速的影響程度取決于氣動阻尼大小，如果氣動阻尼由正急劇變負，且遠大于結構阻尼，則即使增大結構阻尼比，顫振臨界風速也不會發(fā)生較大的改變。在接近顫振臨界風速時，模型實際上是做幅值非常小的等幅振動，可以描述為臨界極限環(huán)振動。在數值計算中，不同阻尼下的臨界極限環(huán)振動幅值略有不同，具體如圖13所示。從圖中可知處于顫振臨界狀態(tài)下的臨界極限環(huán)幅值較小，且豎向幅值在阻尼比ξ<0.011的情況下隨阻尼比線性增加，然后其增長趨勢放緩;而扭轉幅值隨阻尼比先增加后減小。

如圖14所示，在+3°攻角的情況下，其顫振臨界風速隨阻尼比基本成線性關系，因此顫振臨界風速對結構阻尼比較敏感。從圖5中也可知，A_2^*項在折算風速U/（fB）小于6的區(qū)間內變化較小，同時數值也接近零，進而斷面的氣動阻尼較小，結構阻尼在系統(tǒng)總阻尼中占絕大部分，這間接說明了顫振臨界風速和結構阻尼比基本成線性關系。由于在建造橋梁之前并不知道實際橋梁的真實阻尼比，在風洞試驗中，一般依據《公路橋梁抗風設計規(guī)范》來選取不同類型橋梁的阻尼比，對于平板斷面，在規(guī)范建議的阻尼比范圍內，其顫振臨界改變并不是很明顯，然而對于π型疊合梁斷面，這可能過高或過低估計橋梁的實際顫振臨界風速。

利用本文數值模擬方法，可得不同阻尼比（豎彎阻尼比和扭轉阻尼比相同）下隨風速演變的后顫振LCO幅值，如圖 15所示，從圖中可知不同阻尼比下，豎向幅值和扭轉幅值演變趨勢不相同，阻尼比較小時，改變阻尼比對幅值演變趨勢及幅值影響很大;當阻尼比較大時，改變阻尼比基本不會對后顫振演變趨勢產生影響，只是幅值稍微變化;豎向幅值受結構阻尼比相對較小。

4 結 論

本文通過風洞試驗研究了π型疊合梁斷面的顫振幅值、頻率及極限環(huán)特性，通過數值計算驗證了自激力模型的可靠性，并基于階躍函數的自激力模型對π型疊合梁斷面進行了數值模擬，主要結論如下：

（1）風洞試驗表明，π型疊合梁斷面在顫振臨界風速狀態(tài)下以臨界極限環(huán)振動，超過顫振臨近風速后做幅值較大的LCO;數值計算表明，考慮幾何非線性后，π型疊合梁斷面的顫振形式并不是發(fā)散而是趨于穩(wěn)定的顫振LCO。顫振試驗結果和數值模擬吻合較好，驗證了本文時域計算方法的可靠性。

（2）采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法成功地從階躍函數氣動自激力模型中扣除了平均響應引起的自激力部分，可成功處理傳統(tǒng)氣動力模型中的一些不兼容問題。

（3）π型疊合梁的顫振臨界風速隨阻尼比基本線性增加。這種對結構阻尼特性的依賴關系，表征了中國現有橋梁抗風規(guī)范的不足。

（4）不同阻尼比下的豎向幅值和扭轉幅值演變趨勢不一致;在低阻尼比下，較小的阻尼比變化對后顫振幅值和演變趨勢影響大，而在較高的阻尼比下，后顫振的演變趨勢基本一致，只是幅值輕微改變;豎向幅值受結構阻尼比影響相對較小。

參考文獻：

[1] Larsen A， Walther J H. Aeroelastic analysis of bridge girder sections based on discrete vortex simulations[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 1997， 67（97）：253-265.

[2] Katsuchi H， Jones N P， Scanlan R H， et al. Multi-mode flutter and buffeting analysis of the Akashi-Kaikyo bridge[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 1998， 77-78（5）：431-441.

[3] Agar T J A. Aerodynamic flutter analysis of suspension bridges by a modal technique[J]. Engineering Structures， 1989， 11（2）：75-82.

[4] Namini A， Albrecht P， Bosch H. Finite element-based flutter analysis of cable-suspended bridges[J]. Journal of Structural Engineering， 1992， 118（6）：1509-1526.

[5] Diana G， Resta F， Zasso A， et al. Forced motion and free motion aeroelastic tests on a new concept dynamometric section model of the Messina suspension bridge[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 2004， 92（6）：441-462.

[6] Morse-Fortier L J. Professor Robert H Scanlan and the Tacoma Narrows Bridge[C]. Proceedings of the Structures Congress and Exposition， 2005：2367-2378.

[7] Schewe Günter， Mai Holger. Experiments on transonic limit-cycle-flutter of a flexible swept wing[J]. Journal of Fluids and Structures， 2019， 84（84）：153-170.

[8] Amandolese X， Michelin S， Choquel M. Low speed flutter and limit cycle oscillations of a two-degree-of-freedom flat plate in a wind tunnel[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 43：244-255.

[9] Zhang M， Xu F， Ying X. Experimental investigations on the nonlinear torsional flutter of a bridge deck[J]. Journal of Bridge Engineering， 2017， 22（8）：04017048.

[10] 鄭史雄，郭俊峰，朱進波，等. π型斷面主梁軟顫振特性及抑制措施研究[J].西南交通大學學報，2017，52（3）：458-465.

Zheng S， Guo J， Zhu J， et al. Characteristic and Suppression neasures for soft flutter of main girder with π-shaped cross section[J]. Journal of Southwest Jiaotong University，2017，52（3）：458-465.

[11] Ying X， Xu F， Zhang M， et al. Numerical explorations of the limit cycle flutter characteristics of a bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 2017，170：226-237.

[12] Ruzicka Martin， Horacek Jaromir， Svacek Petr， et al.Numerical analysis of flow-induced nonlinear vibrations of an airfoil with three degrees of freedom[J].Computers & Fluids，2011，49（1）：110-127.

[13] Gharali K， Johnson D A. Dynamic stall simulation of a pitching airfoil under unsteady freestream velocity[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 42：228-244.

[14] Wang S， Ma L， Ingham D B， et al. Turbulence modelling of deep dynamic stall at low Reynolds number[J]. Lecture Notes in Engineering & Computer Science， 2010， 2184（1）：191-209.

[15] Tran C T， Petot D. Semi-empirical model for the dynamic stall of airfoils in view of the application to the calculation of responses of a helicopter blade in forward flight[J].Vertica， 1981，5（1）：35-53.

[16] Sarkar S， Bijl H. Nonlinear aeroelastic behavior of an oscillating airfoil during stall-induced vibration[J]. Journal of Fluids and Structures， 2008， 24（6）：757-777.

[17] Stanford B， Beran P. Direct flutter and limit cycle computations of highly flexible wings for efficient analysis and optimization[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 36：111-123.

[18] Leishman J G， Beddoes T S. A semi-empirical model for dynamic stall[J]. Journal of the American Helicopter Society， 1986， 34（3）：3-17.

[19] Leishman J G. Validation of approximate indicial aerodynamic functions for two-dimensional subsonic flow[J]. Journal of Aircraft， 1988， 25（10）：914-922.

[20] Galvanetto U， Peiró J， Chantharasenawong C. An assessment of some effects of the nonsmoothness of the Leishman?Beddoes dynamic stall model on the nonlinear dynamics of a typical aerofoil section[J]. Journal of Fluids and Structures， 2008， 24（1）：151-163.

[21] Larsen J W， Nielsen S R K， Krenk S. Dynamic stall model for wind turbine airfoils[J]. Journal of Fluids and Structures， 2007， 23（7）：959-982.

[22] Diana G， Rocchi D， Argentini T， et al. Aerodynamic instability of a bridge deck section model： Linear and nonlinear approach to force modeling[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2010， 98（6-7）：363-374.

[23] 王 騎， 廖海黎， 李明水， 等. 橋梁斷面非線性自激氣動力經驗模型[J]. 西南交通大學學報， 2013， 48（2）：271-277.

Wang Q， Liao H， Li M， et al. Empirical mathematical model for nonlinear motion-induced aerodynamic force of bridge girder[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 2013， 48（2）：271-277.

[24] Wu T， Kareem A.A low-dimensional model for nonlinear bluff-body aerodynamics： A peeling-an-onion analogy[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2015， 146：128-138.

[25] 劉十一， 葛耀君. 非線性子系統(tǒng)的大振幅時域自激力模型[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報， 2015，（9）：73-78.

Liu S， Ge Y. Nonlinear dynamic subsystem model for large-amplitude motion-induced aerodynamic forces of bridge decks[J]. Journal of Harbin Institute of Technology， 2015，（9）：73-78.

[26] 朱樂東， 高廣中. 雙邊肋橋梁斷面軟顫振非線性自激力模型[J]. 振動與沖擊， 2016， 35（21）：29-35.

Zhu L， Gao G. A nonlinear self-excited force model for soft flutter phenomenon of a twin-side-girder bridge section[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（21）：29-35.

[27] Gao G， Zhu L， Han W， et al. Nonlinear post-flutter behavior and self-excited force model of a twin-side-girder bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2018， 177：227-241.

[28] Zhang M， Xu F， Zhang Z， et al. Energy budget analysis and engineering modeling of post-flutter limit cycle oscillation of a bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2019， 188：410-420.

[29] 吳長青，張志田.平均風與氣彈效應一體化的橋梁非線性后顫振分析[J].振動工程學報，2018，31（3）：399-410.

Wu C， Zhang Z. Nonlinear post-flutter analysis of bridges decks with integrated mean and aero-elastic wind effects[J]. Journal of Vibration Engineering， 2018，31（3）：399-410.

[30] Robert H Scanlan. Problematics in formulation of wind-force models for bridge decks[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1993， 119（7）：1353-1375.

[31] Zhang Z. Multi-stage indicial functions and post-flutter simulation of long-span bridges[J]. Journal of Bridge Engineering， 2018， 23（4）：04018010.

[32] Noda M， Utsunomiya H， Nagao F， et al. Effects of oscillation amplitude on aerodynamic derivatives[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2003， 91（1-2）：101-111.

[33] 中華人民共和國交通部. 公路橋梁抗風設計規(guī)范 [M]. 北京：人民交通出版社，2018

[34] Chen X， Kareem A. Efficacy of tuned mass dampers for bridge flutter control[J]. Journal of Structural Engineering， 2003， 129（10）：1291-1300.

Experimental and numerical investigations on flutter of π-shaped side-girders

WANG Zhi-xiong1， ZHANG Zhi-tian2， WU Chang-qing1， QIE Kai1

（1. Wind Engineering Research Center， College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China;

2. College of Civil Engineering and Architecture， Hainan University， Haikou 570228， China）

Abstract： The flutter instability and flutter derivative tests are carried out with a sectional model of a π-shaped composite beam. The results show that the flutter of the section is limit cycle oscillation （LCO） rather than divergent vibration. The post-flutter LCO and its evolution with frequency are analyzed. A post-flutter self-excitation force model based on indicial function （IF） is employed and its accuracy and reliability in calculating the critical flutter wind speed and post-flutter amplitude are verified by experiments. The sources of errors between the experimental and the numerical results are analyzed. The role of geometric nonlinearity in post-flutter is studied， and the pseudo-steady separation method is adopted to deal with the repeated consideration of mean wind loads. The effects of different structural damping ratios on the critical wind speed and post-flutter amplitude are studied. It is revealed that the flutter and post flutter of the π section have great dependence on the structure damping. The numerical results show that the IFs self-excitation force model successfully realizes the time-domain analysis considering the average wind effect and geometric nonlinearity， which provides theoretical basis and solving strategy for the analysis of the nonlinear post-flutter performance of long-span bridges.

Key words： wind tunnel test; post-flutter; nonlinear; indicial function; limit cycle oscillation

作者簡介： 汪志雄（1994-），男，博士研究生。電話：18707497532;E-mail：doctorwzx@hnu.edu.cn

通訊作者： 張志田（1974-），男，博士，教授。電話：13975127541：E-mail：zhangzhitian@hnu.edu.cn