顧文景　周麗

摘要： 提出了一種基于改進(jìn)變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition， VMD）的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)算法，用于顫振試驗(yàn)信號(hào)的數(shù)據(jù)處理。采用自然激勵(lì)技術(shù)提取脈沖響應(yīng)信號(hào);利用信號(hào)的先驗(yàn)信息結(jié)合本文提出的適應(yīng)度函數(shù)，求解最優(yōu)分解參數(shù);用參數(shù)優(yōu)化后的VMD算法將信號(hào)分解為指定個(gè)數(shù)的信號(hào)分量，每個(gè)分量僅含單一頻率的振動(dòng)模態(tài);用矩陣束法識(shí)別模態(tài)參數(shù)。數(shù)值仿真和風(fēng)洞試驗(yàn)研究表明：改進(jìn)的VMD算法可以有效分離顫振試驗(yàn)信號(hào)中的密集模態(tài)，提高模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的精度;結(jié)合顫振裕度法，有助于顫振邊界的預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞： 顫振試驗(yàn); 模態(tài)參數(shù)辨識(shí); 變分模態(tài)分解; 參數(shù)優(yōu)化; 顫振邊界預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)： V216.2+4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號(hào)： 1004-4523（2021）02-0292-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.009

引 言

顫振是結(jié)構(gòu)在空氣動(dòng)力、慣性力和彈性力耦合作用下產(chǎn)生的一種具有破壞性的自激振動(dòng)，因而在整個(gè)飛行包線內(nèi)都不允許出現(xiàn)顫振。由于理論分析和試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒蛔阋阅M真實(shí)的飛行環(huán)境，顫振試驗(yàn)仍是飛機(jī)設(shè)計(jì)中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，以確保飛機(jī)在設(shè)計(jì)的飛行包線內(nèi)不會(huì)發(fā)生顫振。

顫振試驗(yàn)通常采用環(huán)境激勵(lì)的形式，利用大氣紊流對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)的擾動(dòng)力進(jìn)行激勵(lì)，不需要額外的附加裝置，相比其他激勵(lì)方式更經(jīng)濟(jì)方便。但環(huán)境激勵(lì)下的響應(yīng)屬于輸入未知的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，無法根據(jù)系統(tǒng)的輸入、輸出估計(jì)頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)。且顫振試驗(yàn)響應(yīng)信號(hào)存在信噪比低、模態(tài)分布密集等特點(diǎn)，對(duì)信號(hào)處理方法提出了更高的要求。

對(duì)于環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)識(shí)別[1?3]，為簡化問題，通常認(rèn)為激勵(lì)信號(hào)是高斯白噪聲，而響應(yīng)信號(hào)則為平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。在此假設(shè)下，可以從頻域或時(shí)域的角度，利用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。頻域的模態(tài)識(shí)別方法通常采用經(jīng)典譜估計(jì)，利用輸入、輸出的功率譜密度求解頻響函數(shù)。由于白噪聲的功率譜密度為常數(shù)，因而可以將響應(yīng)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)近似地代替頻響函數(shù)，以進(jìn)行后續(xù)的模態(tài)識(shí)別。常用的時(shí)域方法大致可分為直接法和間接法兩類。直接法，如隨機(jī)子空間法[4]、ARMA分析法[5]等，通過建立參數(shù)化模型直接求解信號(hào)的模態(tài)參數(shù);間接法，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，利用隨機(jī)減量法[6]或自然激勵(lì)技術(shù)[7]，得到其脈沖響應(yīng)或相關(guān)函數(shù)后采用時(shí)域的模態(tài)識(shí)別算法進(jìn)行計(jì)算。

希爾伯特?黃變換（Hilbert?Huang Transform，HHT）[8]作為一種最常用的時(shí)域信號(hào)處理技術(shù)，屬于基于經(jīng)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析方法。信號(hào)由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法（Empirical Mode Decomposition， EMD）分解成一系列自適應(yīng)的IMF（Intrinsic Mode Function）分量后，經(jīng)希爾伯特變換即可得到信號(hào)的模態(tài)瞬時(shí)頻率和阻尼等信息。其展開基是自適應(yīng)的，可以對(duì)非線性和非平穩(wěn)過程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，獲得具有物理意義的表示[9]?；贖HT的數(shù)據(jù)分析算法在模態(tài)參數(shù)辨識(shí)中得到了廣泛應(yīng)用[10?12];然而由于缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)背景，EMD及其相關(guān)的改進(jìn)算法仍存在一些固有缺陷[13]，包括端點(diǎn)效應(yīng)、易受噪聲干擾、存在虛假分量等問題。

VMD是一種完全非遞歸的分解算法，通過構(gòu)造并求解約束變分問題，將信號(hào)分解成K個(gè)中心頻率為{ωk}的調(diào)幅?調(diào)頻信號(hào)分量[14]。相比EMD算法，VMD算法具有更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型，克服了EMD算法的缺陷，可以有效分離密集模態(tài)，在信號(hào)分析、故障診斷、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[15?17]。但是，VMD的分解參數(shù)如分解層數(shù)K和懲罰因子α的選擇對(duì)分解效果影響較大，其取值尚未有明確的理論指導(dǎo)。

對(duì)此，本文提出了新的評(píng)價(jià)函數(shù)，利用智能優(yōu)化算法如遺傳算法、粒子群算法等進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，得到最優(yōu)的分解層數(shù)K和懲罰因子α;然后，利用參數(shù)優(yōu)化后的VMD算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，得到一系列僅含單一模態(tài)的信號(hào)分量;最后，利用矩陣束法[18]識(shí)別各信號(hào)分量的模態(tài)參數(shù)。本文結(jié)合數(shù)值仿真算例和風(fēng)洞顫振試驗(yàn)，對(duì)比傳統(tǒng)的EMD算法和頻域內(nèi)的PolyMAX法[19]，驗(yàn)證所提出方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1.2 改進(jìn)的VMD算法

針對(duì)VMD的參數(shù)選擇問題，國內(nèi)外學(xué)者以包絡(luò)熵、正交系數(shù)、相關(guān)系數(shù)等參量構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)，采用智能優(yōu)化算法同時(shí)搜索分解層數(shù)K和懲罰因子α的最優(yōu)值，在故障診斷等領(lǐng)域取得了一定成果[22?23]。但是，由于VMD算法計(jì)算效率的限制，導(dǎo)致大規(guī)模的超平面參數(shù)尋優(yōu)效率低下，針對(duì)VMD分解參數(shù)的兩參甚至多參優(yōu)化將耗費(fèi)大量計(jì)算資源，且現(xiàn)有的單一指標(biāo)的評(píng)價(jià)函數(shù)并不適用于振動(dòng)信號(hào)的模態(tài)分解。對(duì)此，本文提出了新的VMD優(yōu)化算法，對(duì)K和α的取值進(jìn)行單獨(dú)尋優(yōu)，并對(duì)中心頻率{ω_k^1}的初始化過程進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而提高參數(shù)優(yōu)化效率以充分發(fā)揮VMD的分解性能。

在模態(tài)參數(shù)識(shí)別過程中，頻率的識(shí)別精度要高于阻尼，甚至在大多數(shù)情況下，根據(jù)信號(hào)的頻譜分析結(jié)果就能較準(zhǔn)確地估計(jì)頻率范圍，并判斷主要模態(tài)數(shù)。而VMD算法的目標(biāo)便是將信號(hào)分解成K個(gè)中心頻率為{ωk}的調(diào)幅?調(diào)頻信號(hào)，本質(zhì)上便是以{ωk}為中心頻率的窄帶濾波器組。因此，本文采用簡單的峰值法預(yù)先確定信號(hào)的主要模態(tài)數(shù)M及其對(duì)應(yīng)的中心頻率{fi， i=1， 2，…， M}，并將分解參數(shù)K賦值為K = M，中心頻率初始化為{ω_k^1} = {fi}。從而將原本多參優(yōu)化問題簡化為僅對(duì)懲罰因子α的單參優(yōu)化，加快ADMM收斂進(jìn)程以提高VMD的計(jì)算效率。

針對(duì)懲罰因子α的單參優(yōu)化，首先要建立評(píng)價(jià)函數(shù)，基于VMD分解結(jié)果的后驗(yàn)信息對(duì)α的取值進(jìn)行修正。但由于α與最終分解得到的信號(hào)分量之間沒有明確的函數(shù)關(guān)系，無法通過建立的評(píng)價(jià)函數(shù)直接求得α最優(yōu)值的解析解。此外，若采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法（如牛頓法、單純形法等），需要遍歷整個(gè)搜索空間，加上VMD計(jì)算效率的限制，無法在短時(shí)間內(nèi)完成搜索。因此，本文同樣采用智能優(yōu)化算法（如遺傳算法、粒子群算法等），在超平面內(nèi)搜索懲罰因子α的最優(yōu)值。

本文所建立的評(píng)價(jià)函數(shù)應(yīng)能準(zhǔn)確反映理想狀態(tài)下每個(gè)分解得到的信號(hào)分量僅包含單一振動(dòng)模態(tài)且沒有虛假分量及冗余模態(tài)的特征?，F(xiàn)有的單一指標(biāo)的評(píng)價(jià)函數(shù)，如包絡(luò)熵、正交系數(shù)、相關(guān)性等，雖能表征信號(hào)的稀疏性，但在實(shí)際應(yīng)用過程中極易發(fā)生負(fù)優(yōu)化的現(xiàn)象，導(dǎo)致α數(shù)值過大，而分解得到一組簡諧信號(hào)分量的情況。這是由于VMD窄帶濾波的特性，懲罰因子α數(shù)值越大，信號(hào)分量的帶寬越小，最終便退化成簡諧信號(hào)。簡諧信號(hào)分量相比真實(shí)的目標(biāo)信號(hào)分量，在上述單一指標(biāo)的評(píng)價(jià)函數(shù)中卻能得到更高的評(píng)價(jià)，從而導(dǎo)致負(fù)優(yōu)化的情況。但這類簡諧信號(hào)屬于虛假分量，僅占原信號(hào)能量的極少部分。

因此，本文首先引入能量評(píng)價(jià)指標(biāo)E=∑_（k=1）^K?（u_k^2）/x^2 ∈（0，1）表征各信號(hào)分量的能量占比之和。目標(biāo)信號(hào)分量應(yīng)保留原信號(hào)的大部分能量，以避免上述負(fù)優(yōu)化情況的發(fā)生。針對(duì)參數(shù)優(yōu)化過程中可能出現(xiàn)的虛假分量或冗余模態(tài)，本文再次引入相關(guān)性評(píng)價(jià)指標(biāo)R=min{r（u_k，x）}∈（0，1），其中r（u_k，x）表示信號(hào)分量u_k和原始信號(hào)x的相關(guān)系數(shù)。這兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)具有相同的數(shù)量級(jí)，因此本文采用乘積運(yùn)算構(gòu)造聯(lián)合評(píng)價(jià)函數(shù)P = E·R，用以同時(shí)約束目標(biāo)信號(hào)分量的能量及與原信號(hào)之間的相關(guān)性。為便于優(yōu)化算法的求解，將其改寫成如下適應(yīng)度函數(shù)

本文給出的優(yōu)化目標(biāo)本質(zhì)是在避免出現(xiàn)虛假分量或冗余模態(tài)的前提下，使分解得到的信號(hào)分量具有較大的能量占比，且與原信號(hào)保持較高的相關(guān)性。在給定適應(yīng)度函數(shù)的條件下，具體采用何種優(yōu)化算法求解，對(duì)最后的優(yōu)化結(jié)果影響不大，并不在本文討論范疇內(nèi)。參數(shù)優(yōu)化的具體流程如圖1所示。

2 顫振試驗(yàn)信號(hào)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)

對(duì)于顫振試驗(yàn)信號(hào)的處理，本文采用時(shí)域法。首先利用自然激勵(lì)技術(shù)提取信號(hào)的脈沖響應(yīng)，對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因而可以用相關(guān)函數(shù)近似代替脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別;然后利用本文提出的改進(jìn)VMD算法將其分解成僅含單一模態(tài)的信號(hào)分量;最后采用矩陣束法對(duì)每個(gè)分量進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

矩陣束法的推導(dǎo)過程如下：

3 數(shù)值仿真研究

3.1 平板機(jī)翼模型算例

建立一個(gè)平板機(jī)翼模型，如圖3所示。機(jī)翼的后掠角為15°，半展長為140.06 mm，順氣流方向弦長為51.76 mm，機(jī)翼厚度為1.0 mm，前后緣處厚度為0，翼根AB處固支。利用Nastran計(jì)算機(jī)翼在連續(xù)大氣紊流激勵(lì)下的響應(yīng)，空氣密度取為1.226 kg/m3，飛行速度為50 m/s，馬赫數(shù)為0.45，突風(fēng)均方根值為1.0 m/s，采用Von Karman突風(fēng)功率譜密度，采樣頻率為4096 Hz。數(shù)值計(jì)算中，取系統(tǒng)前4階結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)。

對(duì)仿真信號(hào)疊加信噪比SNR=10 dB的高斯白噪聲用以模擬測(cè)量噪聲，圖4給出了含測(cè)量噪聲的翼尖加速度響應(yīng)信號(hào)的時(shí)間歷程及頻譜圖。采用自然激勵(lì)技術(shù)提取的脈沖響應(yīng)信號(hào)如圖5所示。

用傳統(tǒng)的EMD算法對(duì)脈沖響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解，結(jié)果如圖6所示。其中第1個(gè)IMF分量主要包含700 Hz的高頻成分;第2個(gè)IMF分量則同時(shí)包含了230和260 Hz的頻率成分，發(fā)生了模態(tài)混疊現(xiàn)象;第3個(gè)IMF分量包含1個(gè)低頻模態(tài)。在此算例中，EMD算法在分解過程中發(fā)生了模態(tài)混疊現(xiàn)象，其希爾伯特譜圖（如圖7所示）存在嚴(yán)重的鋸齒線，分解效果較差。

根據(jù)本文提出的改進(jìn)VMD算法，對(duì)脈沖響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解。首先，采用峰值法對(duì)含噪加速度響應(yīng)信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析，確定共4個(gè)主要模態(tài)數(shù)，其頻率中心{fi}初步定為{40 ，230， 270， 700}Hz。用遺傳算法求解得懲罰因子的最優(yōu)值αopt=2.5×104，接著令K = 4，α = 2.5×104，{ω_k^1} = {fi}，利用參數(shù)優(yōu)化后的VMD算法分解脈沖響應(yīng)信號(hào)，得到的4個(gè)分量及其頻譜如圖8所示。

改進(jìn)的VMD算法成功分離出了4個(gè)頻率成分的信號(hào)分量，且每個(gè)分量僅包含單一頻率的振動(dòng)模態(tài)，并沒有出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象。其希爾伯特譜圖（如圖9所示）相比EMD分解結(jié)果有了明顯改善。

用矩陣束法對(duì)EMD和改進(jìn)VMD算法得到的信號(hào)分量分別進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。同時(shí)，采用文獻(xiàn)[19]提出的顫振試驗(yàn)信號(hào)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的頻域法對(duì)翼尖加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理，將Welch法[24]估計(jì)的自功率譜密度作為頻響函數(shù)，然后用頻域內(nèi)的PloyMAX法識(shí)別模態(tài)參數(shù)，最終得到的穩(wěn)定圖如圖10所示。

三種算法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)與Nastran計(jì)算的理論值對(duì)比結(jié)果如表1所示。三種算法均準(zhǔn)確識(shí)別出了前4階模態(tài)頻率，且誤差在2%以內(nèi)。EMD算法的阻尼識(shí)別誤差最大;而PolyMAX算法對(duì)二、三階模態(tài)的阻尼識(shí)別出現(xiàn)了大的偏差;本文提出的改進(jìn)VMD算法由于成功分離出了4個(gè)單一頻率的振動(dòng)模態(tài)，阻尼識(shí)別精度最高。

3.2 計(jì)算效率分析

值得注意的是，利用本文提出的適應(yīng)度函數(shù)同樣可以進(jìn)行多參優(yōu)化，同時(shí)搜索分解層數(shù)K和懲罰因子α的最優(yōu)值。為對(duì)比分析不同優(yōu)化參數(shù)設(shè)置下的計(jì)算效率，本文開展了進(jìn)一步的數(shù)值仿真研究，考慮下列三種優(yōu)化問題：（1）同時(shí)優(yōu)化K和α;（2）僅優(yōu)化α，中心頻率初始化為0，即{ω_k^1}=0;（3）僅優(yōu)化α，根據(jù)本文提出的方法對(duì)中心頻率進(jìn)行初始化，即{ω_k^1}={fi}。將上一小節(jié)得到的翼尖加速度響應(yīng)作為輸入信號(hào)，對(duì)上述每種優(yōu)化問題進(jìn)行多次重復(fù)求解，得到平均計(jì)算時(shí)間，以最終適應(yīng)度的平均值作為評(píng)價(jià)優(yōu)化效果的指標(biāo)（適應(yīng)度的值越小則優(yōu)化效果越好）。采用遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，其中K的取值范圍為[2， 10]，α的取值范圍為[102， 106]，除第1種優(yōu)化問題因計(jì)算時(shí)間的限制僅重復(fù)計(jì)算10次外，其余兩種問題均重復(fù)計(jì)算了100次，最終結(jié)果如表2所示。

由表2可知，用本文提出的適應(yīng)度函數(shù)對(duì)VMD分解參數(shù)進(jìn)行單參或多參優(yōu)化的效果相差無幾。在同時(shí)優(yōu)化K和α的情況下，最終得到的適應(yīng)度值最小，但相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間相比其余兩種情況增加了一個(gè)數(shù)量級(jí)。在約束K的情況下，對(duì)α做單參優(yōu)化能極大縮短計(jì)算時(shí)間。其中，利用本文提出的方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化所需的計(jì)算時(shí)間最短，平均為38.05 s，對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用也在可接受的范圍內(nèi)。同時(shí)優(yōu)化K和α的全局尋優(yōu)方式，雖然能充分發(fā)揮智能優(yōu)化算法在多參超平面優(yōu)化方面的優(yōu)勢(shì)，但相較于優(yōu)化效果的細(xì)微提升，額外增加的大量計(jì)算消耗反而顯得得不償失。相反，約束K和初始中心頻率{ω1k}的局部尋優(yōu)方式，在極大縮短計(jì)算時(shí)間的同時(shí)，仍具有較好的優(yōu)化效果。

4 風(fēng)洞顫振試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)某低速顫振試驗(yàn)?zāi)Ｐ停贾昧?8個(gè)加速度傳感器，模型示意圖及傳感器分布如圖11所示。試驗(yàn)風(fēng)速段為28?36 m/s，試驗(yàn)顫振速度為36/m，顫振類型為小阻尼顫振型。某風(fēng)速下通道404（右翼肋后）加速度響應(yīng)信號(hào)的時(shí)間歷程及其頻譜如圖12所示，采樣頻率為256 Hz，采樣時(shí)間為16 s。

利用峰值法確定該通道包含三個(gè)主要模態(tài)，其頻率中心初略估計(jì)為[3.7， 7.4， 10.6] Hz。帶通濾波的頻帶設(shè)置為2?20 Hz，用于濾去低頻剛體模態(tài)和高頻噪聲信號(hào)。采用自然激勵(lì)技術(shù)提取脈沖響應(yīng)信號(hào)，分別用EMD算法和本文提出的改進(jìn)VMD算法對(duì)其模態(tài)分解。

如圖13所示，由于EMD算法的缺陷，仍不可避免地出現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象，分解效果較差。而改進(jìn)的VMD算法則成功地分離出了三階低頻密集模態(tài)，如圖14所示，每個(gè)信號(hào)分量僅包含單一頻率的振動(dòng)模態(tài)，提高了后續(xù)模態(tài)識(shí)別的精度。

根據(jù)本文提出的改進(jìn)算法，取404通道在28?35 m/s風(fēng)速下加速度響應(yīng)信號(hào)識(shí)別的前三階主要模態(tài)，模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果如圖15和16所示。整體而言，頻率的識(shí)別結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定，阻尼的識(shí)別結(jié)果波動(dòng)較大，且阻尼隨風(fēng)速有逐步衰減的趨勢(shì)，符合小阻尼顫振型的特點(diǎn)。利用識(shí)別的模態(tài)參數(shù)，結(jié)合顫振裕度法[25]做顫振邊界預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖17所示。

顫振裕度法利用結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)構(gòu)造顫振預(yù)測(cè)判據(jù)，線性擬合預(yù)測(cè)判據(jù)關(guān)于動(dòng)壓的變化曲線后，外推該曲線得到判據(jù)為零時(shí)的動(dòng)壓即為預(yù)測(cè)的顫振點(diǎn)。本例中以速度的平方代替動(dòng)壓，對(duì)預(yù)測(cè)的顫振點(diǎn)經(jīng)簡單換算后即可得到預(yù)測(cè)顫振速度。采用傳統(tǒng)的最小二乘法進(jìn)行線性擬合易受異常值的影響，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果失真。因此，本文采用穩(wěn)健擬合[26]的方法，在回歸分析中自動(dòng)剔除異常值，得到更為穩(wěn)健的擬合結(jié)果。如圖17所示，剔除其中兩個(gè)異常點(diǎn)后，最終預(yù)測(cè)顫振速度為36.26 m/s。

5 結(jié) 論

（1）傳統(tǒng)的EMD算法由于本身的缺陷，在分離顫振試驗(yàn)信號(hào)中的密集模態(tài)時(shí)，不可避免地會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，影響參數(shù)識(shí)別精度。

（2）本文對(duì)影響VMD算法分解效果的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：分解層數(shù)K和懲罰因子α進(jìn)行單獨(dú)優(yōu)化。利用峰值法初步確定試驗(yàn)信號(hào)的主要模態(tài)數(shù)及其中心頻率范圍，將分解層數(shù)設(shè)定為模態(tài)數(shù)，初始中心頻率設(shè)置為模態(tài)的中心頻率進(jìn)行后續(xù)迭代;并利用智能優(yōu)化算法結(jié)合本文提出的適應(yīng)度函數(shù)求解懲罰因子的最優(yōu)值。數(shù)值仿真和風(fēng)洞試驗(yàn)算例表明，本文提出的改進(jìn)VMD算法能有效分離密集模態(tài)，提高了后續(xù)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的精度。

（3）本文提出的適應(yīng)度函數(shù)同樣可用于多參優(yōu)化，同時(shí)搜索分解層數(shù)K和懲罰因子α的最優(yōu)值。多參優(yōu)化的全局尋優(yōu)方式雖能提升一定的優(yōu)化效果，但由于VMD計(jì)算效率的限制，需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間。而本文提出的局部尋優(yōu)方法對(duì)K和初始中心頻率{ω_k^1}進(jìn)行約束，能極大縮短計(jì)算時(shí)間，同時(shí)具有較好的優(yōu)化效果。

（4）本文將改進(jìn)的VMD算法結(jié)合矩陣束法對(duì)顫振試驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，識(shí)別結(jié)果具有較高的精度，結(jié)合顫振裕度法，有助于顫振邊界的預(yù)測(cè)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳永高， 鐘振宇. 環(huán)境激勵(lì)下橋梁結(jié)構(gòu)信號(hào)分解與模態(tài)參數(shù)識(shí)別[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷， 2018， 38（6）： 1267-1274.

Chen Y G， Zhong Z Y. Signal decomposition and modal parameter identification for bridge structural under environmental excitation[J]. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2018， 38（6）： 1267-1274.

[2] 包興先. 環(huán)境激勵(lì)下基于信號(hào)降噪的模態(tài)參數(shù)識(shí)別研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2014， 33（21）： 67-72.

Bao X X. Modal parameters identification based on signals denoised under ambient excitation[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（21）： 67-72.

[3] 劉宇飛， 辛克貴， 樊健生， 等. 環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法綜述[J]. 工程力學(xué)， 2014， 31（4）： 46-53.

Liu Y F， Xin K G， Fan J S， et al. A review of structure modal identification methods through ambient excitation[J]. Engineering Mechanics， 2014，31（4）： 46-53.

[4] 張家濱， 陳國平. 基于隨機(jī)子空間的遞推在線模態(tài)識(shí)別算法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2009，28（8）：42-45.

Zhang J B， Chen G P. Stochastic subspace based on-line recursive modal identification method[J]. Journal of Vibration and Shock， 2009， 28（8）： 42-45.

[5] Torii J， Matsuzaki Y. Flutter margin evaluation for discrete-time systems[J]. Journal of Aircraft， 2001， 38（1）： 42-47.

[6] 陳太聰， 沈文杰. 模態(tài)辨識(shí)中隨機(jī)減量技術(shù)的實(shí)用改進(jìn)[J]. 振動(dòng).測(cè)試與診斷， 2019， 39（6）： 1153-1159+1355.

Chen T C， Shen W J. Practical improvement of the random decrement technique in modal identification[J].Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2019， 39（6）： 1153-1159+1355.

[7] 鐘軍軍， 董 聰. 環(huán)境激勵(lì)下識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)自然激勵(lì)-時(shí)域分解法[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2013， 32（18）： 121-125.

Zhong J J， Dong C. Natural excitation technique-time domain decomposition algorithm for structural modal identification[J].Journal of Vibration and Shock，2013， 32（18）： 121-125.

[8] Huang N E， Shen Z， Long S R， et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings A， 1998， 454 （1971）： 903-995.

[9] 楊永鋒， 吳亞峰. 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解在振動(dòng)分析中的應(yīng)用[M]. 北京：國防工業(yè)出版社， 2013.

Yang Y F， Wu Y F. Applications of Empirical Mode Decomposition in Vibration Analysis[M]. Beijing：National Defense Industry Press， 2013.

[10] 練繼建， 榮欽彪， 董霄峰， 等. 抑制模態(tài)混疊的HHT結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2018， 37（18）： 1-8.

Lian J J， Rong Q B， Dong X F， et al. Structural model parameter identification method based on an improved HHT for suppressing mode mixing[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（18）： 1-8.

[11] 李 揚(yáng)， 周 麗， 楊秉才. 飛機(jī)紊流激勵(lì)響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2016， 29（6）： 963-970.

Li Y， Zhou L， Yang B C. The modal parameters identification upon atmospheric turbulence excitation response[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29（6）： 963-970.

[12] Peng Z K， Tse P W， Chu F L. An improved Hilbert?Huang transform and its application in vibration signal analysis[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005， 286（1-2）：187-205.

[13] Huang N E， Shen S S P. Hilbert-Huang Transform and Its Applications[M]. World Scientific， 2005.

[14] Dragomiretskiy K， Zosso D. Variational mode decomposition[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2014， 62（3）：531-544.

[15] 唐貴基， 王曉龍. 變分模態(tài)分解方法及其在滾動(dòng)軸承早期故障診斷中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2016， 29（4）： 638-648.

Tang G J， Wang X L. Variational mode decomposition method and its application on incipient fault diagnosis of rolling bearing[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29（4）： 638-648.

[16] 江春冬， 王景玉， 杜太行， 等. 基于變分模態(tài)分解算法的單通道無線電混合信號(hào)分離[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 52（12）： 1618-1626.

Jiang C D， Wang Y J， Du T H， et al. Separation of single channel radio mixed signal based on variational mode decomposition[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2018， 52（12）： 1618-1626.

[17] Lahmiri S. Comparing variational and empirical mode decomposition in forecasting day-ahead energy prices[J]. IEEE Systems Journal， 2017， 3（11）： 1907-1910.

[18] Hua Y， Sarkar T K. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped sinusoids in noise[J]. IEEE Trans. on ASSP， 1990， 38（5）： 814-824.

[19] Zeng J， Kukreja S L. Flutter prediction for flight/wind-tunnel flutter test under atmospheric turbulence excitation[J]. Journal of Aircraft， 2013， 50（6）： 1696-1709.

[20] Paternina M R A， Tripathy R K， Mendez A Z， et al. Identification of electromechanical oscillatory modes based on variational mode decomposition[J]. Electric Power Systems Research， 2019， 167： 71-85.

[21] Wang Y H， Yeh C H， Young H V， et al. On the computational complexity of the empirical mode decomposition algorithm[J]. Physical A， 2014， 400： 159-167.

[22] Wang X B， Yang Z X， Yan X A. Novel particle swarm optimization-based variational mode decomposition method for the fault diagnosis of complex rotating machinery[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2018， 23（1）： 68-79.

[23] 李舒適， 王豐華， 耿俊秋， 等. 基于優(yōu)化VMD的高壓斷路器機(jī)械狀態(tài)檢測(cè)[J]. 電力自動(dòng)化設(shè)備， 2018， 38（11）： 148-154.

Li S S， Wang F H， Geng J Q， et al. Mechanical state detection of high voltage circuit breaker based on optimized VMD algorithm[J]. Electric Power Automation Equipment， 2018， 38（11）： 148-154.

[24] 宋 寧， 關(guān) 華. 經(jīng)典功率譜估計(jì)及其仿真[J]. 現(xiàn)代電子技術(shù)， 2008，31（11）： 159-161.

Song N， Guan H. Classical power spectrum density estimation and its simulation[J]. Modern Electronics Technique， 2008，31（11）： 159-161.

[25] Zimmerman N H， Weissenburger J T. Prediction of flutter onset speed based on flight testing at subcritical speeds[J]. Journal of Aircraft， 1964， 1（4）： 190-202.

[26] 胡清華， 汪 運(yùn). 考慮數(shù)據(jù)噪聲的魯棒回歸建模方法綜述[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2019， 49（04）： 496-507.

Hu Q H， Wang Y. A review of robust regression modeling approaches with noise[J]. Journal of Northwest University （Natural Science Edition）， 2019， 49（04）： 496-507.

Modal parameter identification based on optimized variational mode decomposition and its application in signal processing of flutter test

GU Wen-jing， ZHOU Li

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： A modal parameter identification method applicable to flutter test data is proposed based on optimized variational mode decomposition （VMD）. Firstly， the natural excitation technique （NExT） is employed to extract impulse response signal from the test data. Then， the decomposition parameters are optimized by using the prior information of the test data combined with the proposed new fitness function. Finally， the target signal is decomposed into multiple monocomponents that each contains an independent oscillation mode. The matrix pencil method is adopted to identify the modal parameters. Numerical simulations and the wind-tunnel flutter test demonstrate the effectiveness of the proposed algorism in separating close modes of flutter test data. While associated with the flutter margin method， the optimized VMD can help provide an accurate flutter boundary prediction.

Key words： flutter test; modal parameter identification; variational mode decomposition; parameter optimization; flutter boundary prediction

作者簡介： 顧文景（1994?），男，博士研究生。電話：（025）84891722;E-mail：wenjinggu@nuaa.edu.cn