鐘 婷，朱永忠

（河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 211100）

在工業(yè)和制造產(chǎn)業(yè)中，控制圖被廣泛用于確定過程是否處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)來監(jiān)控過程的運(yùn)行情況。由于人們對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高，在過程中需要對(duì)產(chǎn)品的多個(gè)質(zhì)量特性同時(shí)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，因此促進(jìn)了多變量控制圖研究的快速發(fā)展。這些多變量控制圖是其單變量控制圖的多變量擴(kuò)展，例如多變量Shewhart控制圖［1］、多變量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（MEWMA）控制圖［2］和多變量累積和（MCUSUM）控制圖［3-4］。Abbas［5］提出一種新的記憶型控制圖，即均勻加權(quán)移動(dòng)平均（HWMA）控制圖。HWMA控制圖同樣使用當(dāng)前觀察值和過去觀察值的信息，不同的是，HWMA方法指定當(dāng)前觀察值的權(quán)重，然后將剩余的權(quán)重平均分配給過去的觀察值。結(jié)果表明：該方法與其他記憶型控制圖相比可以更有效地監(jiān)控過程均值的微小變化。Adegoke等［6］開發(fā)了多變量的HWMA控制圖（MHWMA），其表現(xiàn)優(yōu)于MEWMA、CMCUSUM［3］和PRMCUSUM［4］控制圖。

提高控制圖靈敏度的1種方法是構(gòu)造帶有輔助樣本的控制圖。帶有輔助樣本（AIB）的控制圖在參數(shù)估計(jì)階段將輔助樣本的過程參數(shù)信息與研究變量相結(jié)合，得到更加精確的參數(shù)估計(jì)器來進(jìn)行控制圖的構(gòu)造。Riaz［7］提出AIB-Shewhart圖，引入單個(gè)輔助變量Y的信息來監(jiān)測(cè)感興趣的質(zhì)量特性X的過程均值，結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典的Shewhart圖。Riaz等［8］研究了具有估計(jì)效應(yīng)的AIB圖在過程正態(tài)和非正態(tài)2種情況下的表現(xiàn)。Abbas等［9］將輔助樣本與EWMA控制圖相結(jié)合（AIB-EWMA），并表明提議的控制圖性能超過了現(xiàn)有的控制圖。Sanusi等［10］開發(fā)了AIB-CUSUM控制圖，其表現(xiàn)優(yōu)于經(jīng)典的CUSUM和EWMA控制圖。此外，Haq等［11］設(shè)計(jì)了基于輔助樣本的合成圖（AIB-Syn），在零態(tài)和穩(wěn)態(tài)的平均運(yùn)行長(zhǎng)度（ARL）性能方面超過了經(jīng)典的合成圖。Haq［12］提出AIB-Syn CUSUM和AIB-Syn EWMA圖來監(jiān)測(cè)過程均值，發(fā)現(xiàn)提出的控制圖分別比經(jīng)典的控制圖更敏感。Haq等［13］提出過程均值的AIB雙抽樣（AIB-DS）控制圖，在檢測(cè)各種過程均值漂移方面，AIB-DS圖優(yōu)于DS圖，在檢測(cè)某些均值漂移方面，AIB-DS圖優(yōu)于經(jīng)典圖和AIB合成圖。Adegoke等［14］提出AIB-HWMA控制圖以改進(jìn)對(duì)過程均值的監(jiān)控性能，結(jié)果表明：AIB-HWMA控制圖比EWMA控制圖、HWMA和AIB-EWMA控制圖更有效。Haq等［15］提出了幾種基于輔助樣本的多變量記憶型控制圖，結(jié)果表明：提出的基于輔助樣本的多元控制圖性能優(yōu)于對(duì)應(yīng)的經(jīng)典多變量控制圖。胡雪龍等［16］研究了帶有輔助樣本的X控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)，構(gòu)建費(fèi)用函數(shù)模型對(duì)控制圖的經(jīng)濟(jì)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)與比較。Hussain［17］研究了基于輔助信息的幾種記憶型控制圖來監(jiān)測(cè)過程均值或方差，包括四分位間距控制圖、中值控制圖等。

以上研究主要將EWMA或CUSUM方法與輔助樣本相結(jié)合，沒有涉及MHWMA控制圖，因此本研究從MHWMA控制圖的良好性能以及輔助樣本有助于提升控制圖靈敏度的角度，依照Haq等［15］的方法提出基于輔助樣本信息的MHWMA控制圖（AIB-MHWMA），以求得到能監(jiān)控過程均值且具有更優(yōu)性能的多變量控制圖。

1 AIB-MHWMA控制圖

假設(shè)數(shù)據(jù)服從q維多元正態(tài)分布，前p個(gè)變量是研究變量，而剩余q-p個(gè)變量視為輔助變量，目標(biāo)在于監(jiān)控前p個(gè)變量的過程均值。方法是使用前p個(gè)研究變量以及q-p個(gè)輔助變量的過程參數(shù)信息來設(shè)計(jì)過程均值的回歸估計(jì)器，然后基于回歸估計(jì)器來構(gòu)建增強(qiáng)的多變量均值控制圖。

設(shè)Zq×1為多元正態(tài)隨機(jī)變量，均值為μZ，協(xié)方差矩陣為∑Z，即Z～Nq（μZ，∑Z）。假設(shè)Zq×1被分為2個(gè)子向量Xp×1和Y（q-p）×1，即其中∑′YX是X和Y之間的互協(xié)方差矩陣，∑X是X的自協(xié)方差矩陣，∑Y是Y的自協(xié)方差矩陣。給定Y=y時(shí)X的條件分布為p維多元正態(tài)分布，即∑YX）。

運(yùn)用該結(jié)論，得到μX的無偏有效估計(jì)器從而求出的均值與方差，可以看出［18］。特別地，若隨機(jī)變量X與Y是獨(dú)立的，則X=需要說明的是，過程均值的估計(jì)器和都是μX的無偏估計(jì)量，但是后者均方誤差較小。因此可知運(yùn)用構(gòu)造的多元控制圖比運(yùn)用X構(gòu)造的多元控制圖更為靈敏。不論何時(shí)，過程均值由受控狀態(tài)轉(zhuǎn)移到失控狀態(tài)，假設(shè)前p個(gè)研究變量的均值發(fā)生偏移，而（q-p）個(gè)輔助變量的均值保持不變。

當(dāng)樣本大小n＞1時(shí)，AIB-MHWMA控制圖標(biāo)繪統(tǒng)計(jì)量中的可以由第i個(gè)樣本的平均值代替。因此，AIB-MHWMA控制圖的協(xié)方差矩陣變?yōu)椋?/p>

在使用AIB多變量控制圖監(jiān)測(cè)過程均值時(shí)，輔助樣本的適當(dāng)選擇非常重要。因此，尋找可視為輔助樣本的可選擇變量十分關(guān)鍵，當(dāng)研究變量的均值向量發(fā)生變化時(shí)，輔助樣本的均值向量應(yīng)當(dāng)保持穩(wěn)定且不會(huì)改變。如果存在當(dāng)研究變量的均值向量發(fā)生偏移時(shí)同樣發(fā)生變化的可用變量，則這些變量不應(yīng)用作輔助樣本，而應(yīng)將它們包含在研究變量列表中。如果可用變量的均值發(fā)生偏移而研究變量未發(fā)生變化，則應(yīng)該剔除這些變量，否則將會(huì)影響回歸估計(jì)器的效果，進(jìn)而影響控制圖的性能，導(dǎo)致控制圖的虛報(bào)或漏報(bào)。當(dāng)滿足這些要求時(shí)，AIB多變量控制圖的表現(xiàn)優(yōu)于現(xiàn)有的多變量控制圖。

2 數(shù)值模擬

2.1 運(yùn)行長(zhǎng)度特性

當(dāng)檢測(cè)過程均值的不同漂移時(shí)，計(jì)算并比較現(xiàn)有的和提出的多變量控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性，包括平均運(yùn)行長(zhǎng)度（ARL）和運(yùn)行長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)差（SDRL）。ARL被定義為控制圖首次發(fā)出失控信號(hào)而必須采集的樣本的預(yù)期數(shù)量。SDRL用于描述給定移位值的運(yùn)行長(zhǎng)度分布的變化。當(dāng)比較2個(gè)控制圖時(shí)，使受控ARL固定在1個(gè)特定的值，失控ARL的值相對(duì)更小的控制圖在檢測(cè)均值的位移方面更有效［19-21］。對(duì)于受控過程，ARL必須非常大，以避免產(chǎn)生虛警信號(hào)；但對(duì)于失控過程而言，ARL必須盡可能小以求及時(shí)報(bào)警。此外，SDRL越小，控制圖的敏感度就越高。使用Matlab軟件運(yùn)用廣泛的蒙特卡羅模擬方法從多元正態(tài)分布過程抽樣計(jì)算所提出的和現(xiàn)有的多變量控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性。在每種情況下，受控的ARL都固定為200。在每次模擬中，多變量控制圖的ARL和SDRL基于105次重復(fù)的運(yùn)行長(zhǎng)度計(jì)算。

假設(shè)q個(gè)質(zhì)量特性的聯(lián)合分布服從具有均值向量μZ和協(xié)方差矩陣∑Z的多元正態(tài)分布。為便于討論，在不失一般性的情況下，考慮質(zhì)量特性q=6的2種情況。在第1種情況下，假設(shè)感興趣的是監(jiān)測(cè)前2個(gè)質(zhì)量特征（p=2）的均值向量，伴隨有4個(gè)輔助質(zhì)量特征（q-p=4）。均值向量和協(xié)方差矩陣為：

針對(duì)上述2種情況，計(jì)算了v的不同取值時(shí)AIB-MHWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特征，并與MHWMA控制圖以及帶輔助樣本信息的MEWMA［15］（AIB-MEWMA）和PRMCUSUM控制圖［15］（AIBPRMCUSUM）進(jìn)行比較。

2.1.1 AIB-MHWMA控制圖

在表1中，顯示了p=2、4時(shí)，不同w取值的AIB-MHWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性。模擬假設(shè)決定每個(gè)先驗(yàn)觀測(cè)值權(quán)重的平滑參數(shù)值在變量之間是相等的，并且樣本大小n=1?？梢钥闯觯狠^小的w值可以更有效地監(jiān)測(cè)均值向量的偏移。當(dāng)w固定時(shí)，隨著v值的增加，失控的ARL值和SDRL值趨于減小，反之亦然。這表明較大的偏移可以被更快速地檢測(cè)到，并且運(yùn)行長(zhǎng)度分布的標(biāo)準(zhǔn)差也較小。此外，在固定v的情況下，當(dāng)檢測(cè)過程均值向量中的小移位時(shí)，隨著w值的減小，AIBMHWMA圖的靈敏度也會(huì)增加；當(dāng)檢測(cè)過程均值向量中的大移位時(shí)，隨著w值的增加，AIB-MHWMA圖的靈敏度也會(huì)提升。AIB-MHWMA控制圖是無偏的，即對(duì)于w和h的任意組合，控制圖的失控ARL值總是小于受控ARL值。AIB-MHWMA控制圖的ARL值越高，SDRL值也越高。AIB-MHWMA控制圖的ARL和SDRL性能取決于質(zhì)量特性的數(shù)量。具體來說，在p值較小的情況下，AIBMHWMA控制圖的性能會(huì)更好。

2.1.2 AIB-MHWMA與MHWMA控制圖

在表2中，顯示了p=2、4時(shí)，不同w取值的MHWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性。當(dāng)w固定時(shí)，AIB-MHWMA控制圖的失控ARL值一致且顯著小于MHWMA控制圖。這表明AIB-MHWMA控制圖比MHWMA控制圖在檢測(cè)過程均值不同大小的位移時(shí)更敏感，也體現(xiàn)了輔助樣本信息的使用能提高控制圖的檢測(cè)性能。因此，AIB-MHWMA控制圖明顯優(yōu)于MHWMA控制圖。

表1 當(dāng)受控ARL為200時(shí)，AIB-MHWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性

表2 當(dāng)受控ARL為200時(shí)，MHWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性

2.1.3 AIB-MHWMA與其他AIB控制圖

在表3、4中，分別顯示了p=2、4時(shí)，不同w取值的AIB-MEWMA和AIB-PRMCUSUM控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性?？梢杂^察到：AIB-MEWMA和AIBPRMCUSUM控制圖性能不及所提出的AIB-MHWMA控制圖（即AIB-MHWMA控制圖對(duì)于所有偏移的失控ARL值都最?。?。結(jié)果表明：AIB-MHWMA控制圖性能明顯優(yōu)于競(jìng)爭(zhēng)的AIB控制圖。

表3 當(dāng)受控ARL為200時(shí)，AIB-MEWMA控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性

表4 當(dāng)受控ARL為200時(shí)，AIB-PRMCUSUM控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特性

2.2 穩(wěn)健性

之前假定數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布，如果數(shù)據(jù)分布不滿足假設(shè)條件，進(jìn)一步研究AIB-MHWMA控制圖對(duì)于非正態(tài)分布的魯棒性。當(dāng)過程偏離基本分布假設(shè)（例如正態(tài)）時(shí)，如果控制圖受控時(shí)的運(yùn)行長(zhǎng)度分布保持穩(wěn)定（不變或幾乎不變），則說明控制圖是穩(wěn)健的［22］?？紤]多元t分布，多元t分布具有重尾性質(zhì)。p=2時(shí)，不同自由度的多元t分布的平均運(yùn)行長(zhǎng)度見表5、6，模擬中使用正態(tài)分布滿足受控ARL為200時(shí)的系數(shù)。

由表可知，在t分布自由度較小時(shí)，受控的ARL值嚴(yán)重下降，即使w數(shù)值較小，降幅也較大。此外，較大的w值顯示出更糟糕的結(jié)果，這意味著當(dāng)過程分布非正態(tài)時(shí)較小的w值對(duì)控制圖更有效。在v值較小時(shí)失控ARL值比正態(tài)條件下小，控制圖可能出現(xiàn)誤發(fā)警報(bào)的情況；隨著v值的增加，失控ARL值與正態(tài)條件愈加接近。并且隨著多元t分布自由度的增加，多元t分布將接近多元正態(tài)分布，平均運(yùn)行長(zhǎng)度特性也向正態(tài)分布靠近。

表5 t（4）、t（10）分布時(shí)AIB-MHWMA控制圖的平均運(yùn)行長(zhǎng)度

表6 t（20）、t（50）分布時(shí)AIB-MHWMA控制圖的平均運(yùn)行長(zhǎng)度

3 實(shí)例分析

考慮真實(shí)數(shù)據(jù)集來更好地研究AIB-MHWMA控制圖對(duì)于多變量正態(tài)分布過程均值偏移的檢測(cè)能力。

多變量數(shù)據(jù)集取自Fuchs等［23］的研究，該數(shù)據(jù)來源于車削鋁銷的過程能力研究。在70次的觀察中，每次都記錄了6次直徑和長(zhǎng)度測(cè)量值。前3個(gè)變量是銷主體上3個(gè)不同位置的直徑測(cè)量值，第4個(gè)變量是帽處的直徑測(cè)量值，后2個(gè)變量分別是無蓋和有蓋時(shí)的長(zhǎng)度測(cè)量值。前30個(gè)觀測(cè)值被選為Ⅰ期數(shù)據(jù)集，其余40個(gè)測(cè)量值被選為Ⅱ期數(shù)據(jù)集。在Ⅱ期數(shù)據(jù)中，為簡(jiǎn)明起見，只考慮了40個(gè)測(cè)量值的前20個(gè)。前4個(gè)變量作為研究變量，其余2個(gè)變量作為相關(guān)輔助變量，即p=4，q-p=2。之所以選擇后2個(gè)變量作為輔助變量，是因?yàn)楫?dāng)前4個(gè)研究變量的均值發(fā)生變化時(shí)，后2個(gè)變量的均值在過程中保持穩(wěn)定。使用Ⅰ期數(shù)據(jù)集，過程參數(shù)的估計(jì)值由下式給出。

利用這些估計(jì)值，可以計(jì)算出所提議的AIBMHWMA控制圖的控制界限，并將AIB-MHWMA控制圖與MHWMA、AIB-MEWMA和AIB-PRMCUSUM控制圖進(jìn)行比較，參數(shù)的選擇分別為（w=0.05，h=10.51）、（w=0.05，h=10.51）、（w=0.05，h=11.22）、（k=0.25，h=9.81）。利用Ⅰ期和Ⅱ期數(shù)據(jù)集，計(jì)算上述多變量控制圖的控制限和標(biāo)繪統(tǒng)計(jì)值。這些控制圖如圖1～4所示。

圖1 AIB-MHWMA控制圖

圖2 MHWMA控制圖

圖3 AIB-MEWMA控制圖

圖4 AIB-PRMCUSUM控制圖

從圖1～4可以看出：對(duì)于第Ⅱ階段的20個(gè)失控樣本，所有控制圖都發(fā)出了失控信號(hào)，以指示過程均值向量已從受控狀態(tài)轉(zhuǎn)到失控狀態(tài)。其中，AIB-MHWMA控制圖從第6個(gè)樣本開始發(fā)出警告，MHWMA控制圖在第8個(gè)樣本開始觸發(fā)警報(bào)，AIB-MEWMA和AIB-PRMCUSUM控制圖在第9個(gè)樣本開始發(fā)出警告?？梢钥闯觯核岢龅腁IB-MHWMA控制圖比現(xiàn)有的控制圖能更快地發(fā)出失控信號(hào)預(yù)警，以便及時(shí)采取相應(yīng)措施。

4 結(jié)論

將輔助樣本的過程參數(shù)信息與研究變量結(jié)合在一起，得到一個(gè)更精確的過程均值回歸估計(jì)器，提出AIB-MHWMA控制圖來有效地監(jiān)測(cè)多變量正態(tài)分布的過程均值變化。運(yùn)用Matlab軟件使用廣泛的蒙特卡羅模擬方法計(jì)算所提出控制圖的運(yùn)行長(zhǎng)度特征，并將AIB-MHWMA控制圖與現(xiàn)有控制圖對(duì)過程均值的監(jiān)測(cè)能力進(jìn)行了評(píng)估與比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在監(jiān)測(cè)不同大小的均值漂移時(shí)，前者的監(jiān)測(cè)能力一致且顯著優(yōu)于后者。利用多元t分布進(jìn)一步研究了非正態(tài)對(duì)AIB-MHWMA控制圖性能的影響，發(fā)現(xiàn)較小的靈敏度參數(shù)設(shè)計(jì)使控制圖對(duì)于非正態(tài)更具有穩(wěn)健性。在真實(shí)的數(shù)據(jù)集中驗(yàn)證了所提出控制圖優(yōu)于競(jìng)爭(zhēng)的控制圖，體現(xiàn)了AIBMHWMA控制圖的有效性。因此，在監(jiān)測(cè)多變量正態(tài)分布過程均值的非頻繁變化時(shí)，建議使用AIB-MHWMA控制圖。

當(dāng)研究目標(biāo)是在參數(shù)估計(jì)階段利用輔助樣本信息來監(jiān)控過程均值時(shí)，當(dāng)前的工作可以擴(kuò)展到其他多變量控制圖技術(shù)，如合成MHWMA、雙抽樣MHWMA、合成雙抽樣MHWMA和自適應(yīng)MHWMA圖等。