尹修草，劉桃花

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭，411201)

近十多年來，分數(shù)階微分方程在物理、數(shù)學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、環(huán)境科學(xué)以及金融等學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]，因此，分數(shù)階方程及其應(yīng)用得到了廣泛的關(guān)注。分數(shù)階微分方程是整數(shù)解微分方程的擴展，它能獲取時間和空間上的非局部關(guān)系，為描述不同物質(zhì)的記憶和繼承性質(zhì)提供了強有力的工具。由于分數(shù)階偏微分方程的解析解大多難以得到，或者解析解太復(fù)雜導(dǎo)致難以計算，因此，研究者越來越關(guān)注分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法，其中，用有限差分方法求解分數(shù)階微分方程是經(jīng)典方法之一[6-11]。

本文考慮了一類帶有Robin邊界條件的分數(shù)階對流彌散方程。XIE等[12]在研究廣州市空氣污染時，在經(jīng)典的分數(shù)階對流彌散方程中加了一項耗散項得到了該方程，并討論了此方程帶Dirichelet邊界條件的有限差分方法以及此方程在廣州市空氣污染時的應(yīng)用。劉桃花和尹修草[13]在研究長株潭PM2.5污染時，考慮了此方程帶分數(shù)階邊界條件的應(yīng)用。曾寶思等[14]指出帶Robin邊界條件可以用來描述介質(zhì)的反常滲透現(xiàn)象，并給出了帶Robin邊界條件的經(jīng)典分數(shù)階對流彌散方程的數(shù)值解法。本文考慮帶Robin邊界條件此類對流彌散方程有限差分方法，建立了有效的數(shù)值格式，分析了該格式解的存在性、穩(wěn)定性以及收斂性，并通過數(shù)值試驗來驗證格式的有效性。

考慮帶Robin階邊界條件初邊值問題的分數(shù)階對流彌散方程：

(1)

Robin初邊值條件為

(2)

u(x,0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中：Γ(·)為Gamma函數(shù)。XIE等[12]討論了式(1)帶Dirichelet邊界條件的有限差分方法，本文考慮式(1)帶Robin邊界條件的有限差分方法，且只討論β>0時的情況。

1 移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的差分方法

引進移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子[15]：

(5)

(6)

用移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子對式(1)中Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)進行離散，一階向后差分算子對Robin邊界條件式(2)中導(dǎo)數(shù)進行離散，對式(1)～(3)建立隱性Euler差分格式如下：

(7)

(8)

(9)

當(dāng)1≤i≤N-1時，局部截斷誤差為

(10)

當(dāng)i=N時，局部截斷誤差為

(11)

由此可知，所建立隱式差分格式與方程是相容的。

2 含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的差分方法穩(wěn)定性和收斂性分析

(12)

(13)

進一步將分數(shù)階方程改寫成下列矩陣的形式：

AUm=Um-1+Fm,1≤m≤M

(14)

(15)

定理1 含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的差分格式差分格式(7)～(9)的解存在且唯一。

(16)

(17)

(18)

(19)

定理2 含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的差分格式(7)～(9)是無條件穩(wěn)定的。

證明由式(17)可得

(20)

(21)

運用式(21)m-1次，可得

‖εm‖∞<‖ε0‖∞,1≤m≤M

綜上所得，含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的差分格式(7)～(9)是無條件穩(wěn)定的。

‖em‖∞≤C(Δt+h),1≤m≤M

(22)

由式(19)可知

因此，存在一個正的常數(shù)C1,有

(23)

(24)

運用式(24)共m-1次，則有

‖em‖∞≤(m-1)ΔtC2(Δt+h)

又因為(m-1)Δt≤T，T為t的右邊界，見式(1)，所以，存在1個常數(shù)C3=C2T，使得

‖em‖∞≤C3(Δt+h)

因此，此格式是收斂的，

取C=max{C1,C3}，且存在這樣的一個正常數(shù)C，使得

‖em‖∞≤C(Δt+h)

3 數(shù)值試驗

考慮如下的分數(shù)階對流-彌散方程:

(25)

Robin初邊值條件為

u(x,0)=5x(1-x)，0≤x≤1

式(25)的精確解為:u(x,t)=5e-t(x-x2)。

表1 當(dāng)T=1時隱式差分格式的誤差值Table 1 Error behaviors for the implicit finite difference solution under T=1

從表1可以看出，含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似差分方法的收斂階為O(Δt+h)。

4 結(jié)論

本文考慮帶Robin邊界條件此類對流彌散方程有限差分方法，建立了含移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子近似的隱性Euler差分格式，分析了該格式解的存在性、穩(wěn)定性以及收斂性，并通過數(shù)值例子來驗證了Euler差分格式的有效性。