康秀英

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

物理擺運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中普遍存在，在大學(xué)物理教學(xué)中，物理擺也常常作為一類拓展項(xiàng)目，來訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立科研能力[1-3].與簡諧振動(dòng)這樣的線性系統(tǒng)不同，當(dāng)物理擺大角度擺動(dòng)時(shí)，恢復(fù)力與位移并不成正比，屬于非線性物理系統(tǒng)，例如其運(yùn)動(dòng)周期與擺幅明顯存在著依賴關(guān)系，并且在足夠大的擺幅下存在相對普通振動(dòng)而言更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)模式.另一方面，利用經(jīng)典力學(xué)的基本定律可以對物理擺的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，并利用數(shù)值積分進(jìn)行計(jì)算，從而探知物理擺系統(tǒng)的內(nèi)部規(guī)律.物理擺系統(tǒng)盡管是一常規(guī)研究課題，但在探討擺運(yùn)動(dòng)的阻尼方面還有待作進(jìn)一步深入研究.

本文借助于PASCO實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)，利用其所屬的轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器可以測得物理擺系統(tǒng)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)過程和機(jī)械能變化，并根據(jù)相應(yīng)理論在Matlab中建立了一套模擬物理擺運(yùn)動(dòng)的模型用以進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對照給出系統(tǒng)的阻尼參數(shù).

1 考慮軸承摩擦和空氣阻力時(shí)物理擺運(yùn)動(dòng)方程

物理擺如圖1所示.在不考慮阻尼的情況下，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，物理擺的運(yùn)動(dòng)方程為

圖1 物理擺示意圖

(1)

其中θ為擺角，m為系統(tǒng)質(zhì)量，g為重力加速度，L為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離，J為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

式(1)中，當(dāng)θ→0時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)模式簡化為簡諧振動(dòng)，振動(dòng)周期為

(2)

(3)

設(shè)初始擺動(dòng)幅度為θ0，可以得到擺幅θ0對應(yīng)的物理擺周期與T0之間的比值為[4]

(4)

由于未考慮能量耗散，可以看出:θ0→π,T(θ0)→∞.而且擺幅越小，周期就越接近于小角度下的類簡諧運(yùn)動(dòng)的周期.

本文所用的PASCO實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，物理擺與轉(zhuǎn)動(dòng)中心通過軸承連接，如圖2所示.系統(tǒng)中能量耗散主要來源于軸承轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力以及擺動(dòng)過程中的空氣黏滯阻力.

圖2 物理擺受力分析

假設(shè)在擺動(dòng)過程中，軸承的壓力與摩擦阻尼成正比，即

F=Nf

(5)

其中N是對軸承施加的壓力，f為軸承轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù)，黏滯阻力與速度平方成正比，即

(6)

這里C為空氣阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，S為物體迎風(fēng)面積，v為物體與空氣的相對運(yùn)動(dòng)速度，此時(shí)式(1)變?yōu)?/p>

(7)

其中r為物理擺軸承半徑，M(F′)是F′對軸承的阻力矩大小.式(7)等號右邊的第二項(xiàng)為摩擦力矩，第三項(xiàng)為空氣黏滯阻力矩，方向都與擺動(dòng)方向相反.

為了求解式(7)，需要給出壓力N的表達(dá)式，為此，對物理擺系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[5]:

(8)

(9)

根據(jù)式(5)、(8)和(9)可得

(10)

2 PASCO實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本研究實(shí)驗(yàn)部分使用PASCOScientific生產(chǎn)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)，其中主要部件是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器，如圖3所示，它可直接測量隨時(shí)間變化的轉(zhuǎn)角信息，同時(shí)計(jì)算出角速度、角加速度、機(jī)械能等相關(guān)物理量的動(dòng)態(tài)變化.圖中傳感器的轉(zhuǎn)軸就是物理擺的轉(zhuǎn)動(dòng)軸.

圖3 PASCO實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)裝置圖

對于由細(xì)桿和作為配重的金屬塊組成的物理擺，根據(jù)式(6)，其空氣黏滯阻力和阻力矩可以近似計(jì)算為

(11)

(12)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本物理擺系統(tǒng)的儀器參數(shù)如下(如圖3)：擺細(xì)圓桿：長l=35.6 cm，質(zhì)量為26.2 g，直徑a=8.10 mm，轉(zhuǎn)軸位于其中一端；配重金屬塊：高2.0 cm，直徑2.0 cm，質(zhì)量75.4 g，位于擺的末端；軸承直徑2r=5.3 mm.模擬中，取空氣密度為1.293 kg/m3.

3.1 不同初始擺角物理擺的周期

圖4 物理擺的周期隨初始擺角的變化

3.2 物理擺系統(tǒng)軸承處摩擦系數(shù)的確定

物理擺系統(tǒng)中的阻力主要來源于軸承轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力以及擺動(dòng)過程中的空氣黏滯阻力.當(dāng)擺角不大時(shí)，擺的運(yùn)動(dòng)速度較小，摩擦力占主要因素，可以不考慮黏滯阻力的影響(即在Matlab程序中設(shè)空氣阻力系數(shù)C= 0).因此通過PASCO系統(tǒng)測得的擺角隨時(shí)間的變化關(guān)系，與Matlab數(shù)值模型結(jié)果對比，可以模擬出物理擺系統(tǒng)的摩擦系數(shù)的參考值.模擬中，取初始擺角θ0=10°，在Matlab模型中調(diào)節(jié)摩擦系數(shù)f的值，找到實(shí)驗(yàn)測得值誤差最小時(shí)f值，如圖5，即實(shí)驗(yàn)中PASCO系統(tǒng)軸承摩擦系數(shù)的參考值.

圖5 θ0=10°時(shí)擺角隨時(shí)間的變化

本研究中數(shù)值模擬的摩擦系數(shù)為f= 0.025,將此結(jié)果分別應(yīng)用于同一物理擺不同初始擺角的情況，θ0=30°、90°、160°，結(jié)果如圖6所示.

圖6 僅計(jì)摩擦θ0=30°、90°、160°時(shí)擺角隨時(shí)間的變化

隨著初始擺角的增大，擺動(dòng)的速度加快，空氣黏滯阻力逐漸增大，而摩擦阻力幾乎不變，圖6可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果衰減明顯比計(jì)算得到的要快，因此需要進(jìn)一步考慮黏滯阻力的影響.

3.3 空氣黏滯阻力系數(shù)的確定

同樣計(jì)入空氣黏滯阻力的影響，即在Matlab模型中調(diào)節(jié)式(6)中的參數(shù)C，摩擦系數(shù)仍然f=0.025，對比PASCO系統(tǒng)測得的擺角隨時(shí)間的變化關(guān)系，給出誤差最小時(shí)C的參考值.模擬得到空氣阻力系數(shù)為C=0.68，實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果的對比如圖7所示.對比圖7和圖6(b)—(c)，明顯看出加入黏滯阻力，擬合結(jié)果得到明顯地改善.查資料顯示[6]，圓柱體空氣阻力系數(shù)為0.73.由于空氣阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)中物體的形狀有關(guān)，且受環(huán)境影響，因此數(shù)值分布有一定范圍,本模擬中得出的值符合常規(guī)范圍.

圖7 計(jì)入摩擦和空氣阻力θ0=90°、160°時(shí)擺角隨時(shí)間的變化

3.4 物理擺系統(tǒng)機(jī)械能損耗

下面考察物理擺系統(tǒng)機(jī)械能在大擺角擺動(dòng)過程中的衰減情況.為此，改變物理擺系統(tǒng)的配重，即增加金屬塊，塊數(shù)分別為0、1、2、3個(gè)，(配重0個(gè)意味只有細(xì)桿，如圖3)，利用PASCO系統(tǒng)給出的機(jī)械能隨時(shí)間的變化，與摩擦系數(shù)f=0.025和空氣阻力系數(shù)C=0.68時(shí)Matlab數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖8所示，從而驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性.模擬中對于不同配重的擺，需要微調(diào)迎風(fēng)面積.

圖8顯示，實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果相一致，驗(yàn)證本文的理論模型正確可行，完全適用于分析本研究所用的物理擺系統(tǒng)的能量耗散.

圖8 不同配重時(shí)物理擺系統(tǒng)的機(jī)械能隨時(shí)間變化

4 結(jié)論

本文使用PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器自動(dòng)采集功能，探究了物理擺在大擺角情況下的非線性動(dòng)力過程，考慮摩擦阻力和空氣阻力引起的擺的能量耗散，研究了不同初始擺角和不同配重的物理擺的擺角和機(jī)械能隨時(shí)間的衰減過程，并利用matlab進(jìn)行了數(shù)值模擬，對比實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果，給出了本物理擺系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸的摩擦系數(shù)為0.025，當(dāng)取擺桿的圓柱表面面積的一半近似為式(6)中的迎風(fēng)面積時(shí)，測試環(huán)境的空氣阻力系數(shù)的參考值為0.68.本課題采用的方法和結(jié)論將為研究軸承或鉸鏈等動(dòng)力學(xué)建模問題提供參考.