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        一道常見力學題的解

        2021-06-09 09:21:50蘇國珍
        大學物理 2021年6期
        關鍵詞:振動

        蘇國珍

        (廈門大學 物理科學與技術學院,福建 廈門 361005)

        很多《力學》或《普通物理學》教科書[1,2]中都有以下這樣一道有關簡諧振動的題目:

        如圖1所示,兩個半徑均為r的圓柱以大小ω0恒定角速度沿相反方向作定軸轉動,兩軸在同一水平面內,相互平行,相距為2l.一質量為m的勻質長木板放在兩圓柱上,木板與圓柱之間的滑動摩擦系數(shù)為μk.設初始時刻木板的速度為零,其質心C偏離平衡位置距離為x0(0

        圖1

        大部分的解答都認為之后木板作簡諧振動,但仔細分析,發(fā)現(xiàn)木板作簡諧振動是有條件的,在有些情況下木板的運動不再是簡諧振動.本文將分析不同情況下木板可能的運動規(guī)律.

        1 ω0足夠大時,木板的運動規(guī)律

        以處于平衡位置時木板的質心為坐標原點O,水平向右為x軸正方向,建立圖2所示的坐標系.當質心C離開平衡位置x時,木板的受力情況如圖中標示,其中FN1和Ff1為右圓柱對木板的正壓力和摩擦力,F(xiàn)N2和Ff2為左圓柱對木板的正壓力和摩擦力,F(xiàn)G為木板受到的重力,其大小為FG=mg,g為重力加速度.由于木板只在x方向作平動,因此

        圖2

        FN1+FN2=mg

        (1)

        FN1(l-x)=FN2(l+x)

        (2)

        根據(jù)式(1)和(2)可解得

        (3)

        (4)

        于是木板在x方向所受的合力為

        Fx=Ff2-Ff1=μk(FN2-FN1)

        (5)

        x(t)=x0cosωt

        (6)

        以上是大部分參考書中給出的解[3].需要指出的是,上述解成立的條件是木板與圓柱之間始終有相對滑動,這一條件要求vmax=ωx0≤ω0r,即

        (7)

        所以參考書上給出的只是ω0≥ωc條件下的解.

        下面我們重點討論ω0<ωc時,可能出現(xiàn)的解.

        2 ω0<ωc,靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時木板的運動規(guī)律

        若ω0<ωc,則當v(t1)=-ωx0sinωt1=-ω0r,即

        (8)

        時,木板與右圓柱之間無相對滑動,此時木板的質心坐標:

        (9)

        假設之后木板與右圓柱之間能繼續(xù)保持無相對滑動,則木板將以速度ω0r向左作勻速運動.在勻速運動過程中,右圓柱對木板的靜摩擦力等于左圓柱對木板的滑動摩擦力,即

        (10)

        當靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時,木板與右圓柱之間能保持無相對滑動的條件是

        Ff1<μkFN1

        (11)

        將式(3)和式(10)代入式(11)可得:x>0.這一結果表明,只要x>0,上述關于木板與右圓柱之間無相對滑動的假設是正確的.

        當x≤0時,木板與兩圓柱之間又開始相對滑動,開始滑動的時刻:

        (12)

        當t≥t2時,木板又恢復作簡諧振動.根據(jù)x(t2)=0,v(t2)=-ω0r,可得木板的運動方程為

        (13)

        任意t時刻的速度為

        v(t)=-ω0rcos [ω(t-t2)]

        (14)

        由于v(t)≤ω0r,此后木板將一直作簡諧振動.

        圖3

        3 ω0<ωc,靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)不等時木板的運動規(guī)律

        一般情況下,兩物體間的靜摩擦系數(shù)μs不等于動摩擦系數(shù)μk,通常μs>μk.在μs≠μk的情況下,前兩個階段木板的運動規(guī)律仍然依次為不完整的簡諧振動和勻速運動,但與μs=μk的情況相比,第二階段持續(xù)的時間不同,第二階段以后的運動規(guī)律更復雜.下面我們作具體分析.

        當μs≠μk時,木板與右圓柱之間保持無相對滑動的條件應改為

        Ff1<μsFN1

        (15)

        將式(3)和式(10)代入式(15)可解得

        (16)

        當x≤-x2時,木板與右圓柱之間產生相對滑動,開始滑動的時刻:

        (17)

        當t≥t2時,木板恢復作簡諧振動,其振動方程可表為

        x(t)=A′cos [ω(t-t2)+φ′)]

        (18)

        其中A′和φ′可由x(t2)=-x2和v(t2)=-ω0r確定,結果分別為:

        (19)

        (20)

        當木板質心再次回到x=-x2時,木板的速度v=ω0r,此時木板與左圓柱之間無相對滑動,對應的時刻可求得為

        (21)

        t=t3以后木板的運動可作類似分析,具體過程不再贅述.結果是:時間從t3到t4,其中t4為

        (22)

        對應質心坐標從-x2到x2,木板以速度ω0r向右作勻速運動;時間從t4到t5,其中t5為

        (23)

        對應質心坐標從x2到A′,再從A′到x2,木板作簡諧振動,振動方程為

        x(t)=-A′cos [ω(t-t4)+φ′)]

        (24)

        時間從t5到t6,其中t6為

        (25)

        對應質心坐標從x2到-x2,木板以速度ω0r向左作勻速運動.

        從t=t2到t=t6,木板完成一個周期的運動,其周期大小:

        (26)

        t=t6以后木板不斷地重復該周期內的運動.

        圖4

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