尹明富 朱 洋 趙鎮(zhèn)宏 趙 帥

(天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387)

0 引言

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)因結(jié)構(gòu)緊湊、分度精度高、動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)良等特點(diǎn)，在自動(dòng)化機(jī)械和裝備領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛[1]。弧面凸輪機(jī)構(gòu)由基體為圓弧回轉(zhuǎn)體的主動(dòng)凸輪和裝有滾子的從動(dòng)盤(pán)構(gòu)成。該機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，與其他間歇機(jī)構(gòu)相比，其噪聲和振動(dòng)都較小，故多用于高速機(jī)床、包裝機(jī)和多色印刷機(jī)上[2-5]。

目前，弧面凸輪加工可分為兩大類(lèi)[6]：第1類(lèi)是等徑加工法，即采用與滾子尺寸相同的刀具，使刀具與工件再現(xiàn)機(jī)構(gòu)嚙合運(yùn)動(dòng)，從而進(jìn)行弧面分度凸輪的加工。加工時(shí)除常規(guī)的三軸聯(lián)動(dòng)外，還需要工件旋轉(zhuǎn)與刀具擺動(dòng)，一般采用五軸數(shù)控機(jī)床[7]。這種方法運(yùn)算簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、沒(méi)有理論誤差[8-9]，但由于需要特質(zhì)刀具，故適用范圍小，而且刀具在加工過(guò)程中產(chǎn)生的磨損會(huì)直接影響凸輪的廓面精度。在實(shí)際加工過(guò)程中，凸輪槽逆銑一側(cè)的表面加工質(zhì)量差，也降低了機(jī)構(gòu)精度[10-12]。第2類(lèi)是非等徑加工方法。非等徑加工方法一般分為3種：①使用端面銑刀或者球銑刀進(jìn)行點(diǎn)位加工的仿自由曲面法，這種方法將凸輪廓面視為空間自由曲面，加工后機(jī)構(gòu)失去包絡(luò)性質(zhì)，而且效率低、精度低。②兩重包絡(luò)法，其優(yōu)點(diǎn)是刀具半徑可選范圍較大，理論誤差為零，但需要處理的數(shù)據(jù)量大，加工效率不高[13-15]。③刀位補(bǔ)償法，使刀具通過(guò)一定的補(bǔ)償方法與凸輪再現(xiàn)機(jī)構(gòu)嚙合運(yùn)動(dòng)，從而進(jìn)行工件加工，該方法加工速度快，刀徑可選擇范圍大[16-17]。

基于上述加工方法，研究既滿(mǎn)足相應(yīng)工藝精度要求同時(shí)又具有良好經(jīng)濟(jì)性的加工方法具有重要意義和應(yīng)用價(jià)值。本文提出單側(cè)面加工多重原理，并進(jìn)行實(shí)例仿真計(jì)算和分析，以驗(yàn)證方法的有效性。

1 弧面凸輪理論廓面方程

建立圖1所示的弧面分度凸輪坐標(biāo)系，其中oxyz為固定坐標(biāo)系，與機(jī)架固結(jié)；o1x1y1z1和o2x2y2z2為動(dòng)坐標(biāo)系，分別與凸輪和從動(dòng)件固結(jié)。

利用空間嚙合原理和旋轉(zhuǎn)變換矩陣[18]推導(dǎo)出弧面凸輪的理論工作廓面為

(1)

凸輪機(jī)構(gòu)嚙合方程為

(2)

式中a——中心距φ1——凸輪角位移

φ2——從動(dòng)件角位移

h——任意截面到滾子內(nèi)側(cè)端面的距離

h0——滾子內(nèi)側(cè)端面到從動(dòng)盤(pán)回轉(zhuǎn)中心的距離

r——滾子半徑

β——凸輪上廓面理論接觸角

2 單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理

由于缺乏整體性導(dǎo)致單側(cè)面加工凸輪廓面誤差較大[19]，影響廓面的整體加工精度；本文提出的單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理通過(guò)多次分析實(shí)際接觸線(xiàn)和理論接觸線(xiàn)的位置關(guān)系，保證加工后的廓面誤差最小，使得加工精度進(jìn)一步提高。

如圖2所示，一重包絡(luò)加工后通過(guò)分析凸輪廓面法向最大誤差以確定二重包絡(luò)加工時(shí)非等徑刀具位置，二重包絡(luò)后再次分析凸輪廓面法向最大誤差以確定三重包絡(luò)加工時(shí)非等徑刀具位置；通過(guò)多次改變非等徑刀具位置來(lái)實(shí)現(xiàn)弧面分度凸輪的多重包絡(luò)加工。

2.1 多重包絡(luò)刀位補(bǔ)償

弧面凸輪廓面和滾子的理論接觸線(xiàn)在停歇段時(shí)為直線(xiàn)，其他位置時(shí)均為圖3所示的空間曲線(xiàn)MN[20-21]，且隨著機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，嚙合點(diǎn)的變化，MN也隨之改變；同理將刀具與凸輪加工廓面相互接觸的空間曲線(xiàn)PQ稱(chēng)為實(shí)際接觸線(xiàn)。

由圖3可看出，無(wú)論怎樣調(diào)整刀具位置都無(wú)法使得兩曲線(xiàn)完全重合，肯定會(huì)存在理論誤差[22]，若使刀具的中心始終位于滾子寬度一半(H/2)的接觸角β0上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR(ΔR=r-rt)，這樣雖然兩條空間曲線(xiàn)MN和PQ仍在不同柱面上，但在滾子接觸長(zhǎng)度一半處兩曲線(xiàn)相切于點(diǎn)A，此時(shí)在切點(diǎn)A處凸輪的廓面法向誤差為Δna=0，兩接觸線(xiàn)彼此之間的距離最近，誤差最小[23]。

通過(guò)這種刀位補(bǔ)償法即可實(shí)現(xiàn)廓面誤差最小的目的，同時(shí)這種方法使得誤差補(bǔ)償方向固定，并且有效地避免了廓面誤差分布的不規(guī)律性[24]，圖4為刀具與滾子相互位置關(guān)系，ot為刀具中心。

由于一重包絡(luò)加工使得滾子接觸長(zhǎng)度一半處凸輪廓面法向誤差為零，但是在滾子兩端處誤差較大。因此二重包絡(luò)時(shí)使刀具中心始終位于滾子寬度1/4(H/4)的接觸角β1上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR，此時(shí)在滾子接觸長(zhǎng)度四分之一處兩接觸線(xiàn)相切于點(diǎn)B，且在切點(diǎn)B處凸輪的廓面法向誤差Δnb=0，如圖5所示。

三重包絡(luò)時(shí)將刀具中心置于滾子寬度四分之三(3H/4)的接觸角β2上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR，此時(shí)在滾子接觸長(zhǎng)度四分之三處兩接觸線(xiàn)相切于點(diǎn)C，且在切點(diǎn)C處凸輪廓面法向誤差Δnc=0，如圖6所示；通過(guò)多重包絡(luò)加工使得滾子兩端處誤差得到有效減小，提高了弧面分度凸輪的整體精度。

2.2 多重包絡(luò)刀位控制

一重包絡(luò)加工時(shí)在中心距、從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律等參數(shù)不變的情況下，將刀具中心ot置于滾子接觸長(zhǎng)度一半(H/2)的接觸角β0上，且與滾子中心ot相距ΔR，如圖7所示。

此時(shí)在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點(diǎn)M的矢徑為

(3)

式中βp——凸輪與滾子實(shí)際接觸角

此時(shí)弧面凸輪實(shí)際工作廓面為

(4)

其中

(5)

二重包絡(luò)時(shí)各參數(shù)不變，將刀具中心ot置于滾子接觸長(zhǎng)度1/4(H/4)的接觸角β1上，且與滾子中心o2相距ΔR，如圖8所示。

此時(shí)在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點(diǎn)M的矢徑為

(6)

弧面凸輪的實(shí)際工作廓面為

(7)

其中

(8)

三重包絡(luò)時(shí)各參數(shù)保持不變，將刀具中心ot置于滾子寬度3/4(3H/4)的接觸角β2上，且與滾子中心ot相距ΔR，如圖9所示。

此時(shí)在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點(diǎn)M的矢徑為

(9)

弧面凸輪的實(shí)際工作廓面為

(10)

其中

(11)

3 弧面凸輪廓面法向誤差模型

理想情況下凸輪廓面與加工后凸輪的實(shí)際廓面之間的對(duì)比即法向誤差模型，對(duì)比每一刻的刀具切削線(xiàn)與理想接觸線(xiàn)，即實(shí)際廓面與理論廓面的法向誤差[25-26]。

如圖10所示，過(guò)實(shí)際工作廓面上的一點(diǎn)m作法線(xiàn)，與理論工作廓面交于點(diǎn)n，Δn為凸輪廓面的法向誤差。

在定坐標(biāo)oxyz中，過(guò)點(diǎn)m的單位法向矢量為

(12)

在o1x1y1z1中該法線(xiàn)矢量為

nm1=M10+nm0

(13)

式中M10——定坐標(biāo)系oxyz到動(dòng)坐標(biāo)系o1x1y1z1的交換矩陣

過(guò)點(diǎn)m的法線(xiàn)方程為

(14)

由凸輪廓面形成原理可知，實(shí)際工作廓面中點(diǎn)m處于嚙合狀態(tài)時(shí),理論工作輪廓上的點(diǎn)n尚未處于或已經(jīng)越過(guò)嚙合狀態(tài)，未知量為參數(shù)φ1及h。

聯(lián)立式(1)、(14)可得一組非線(xiàn)性方程，使用牛頓迭代法求解[27]。

將求解的法線(xiàn)交點(diǎn)n所對(duì)應(yīng)的φn及hn代入式(1)可得交點(diǎn)n的坐標(biāo)值，其法向誤差為

(15)

4 計(jì)算實(shí)例

現(xiàn)加工一右旋蝸形凸輪，其滾子半徑r=20 mm，中心距a=180 mm，滾子內(nèi)側(cè)端面到從動(dòng)盤(pán)回轉(zhuǎn)中心的距離h0=20 mm，滾子寬度H=20 mm，加工刀具半徑rt=17 mm，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為修正正弦加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

刀具半徑補(bǔ)償ΔR=3 mm時(shí)，一重包絡(luò)加工后凸輪廓面法向誤差為Δn1，分布見(jiàn)圖11。若使用等徑法加工，令其加工后凸輪廓面法向誤差為Δn0，由于刀具的誤差對(duì)凸輪廓面法向誤差的影響是1∶1，則凸輪廓面任意位置的法向誤差Δn0=ΔR=3 mm，而一重包絡(luò)加工后，凸輪廓面法向誤差在滾子接觸長(zhǎng)度一半處(H/2)為零，其兩端誤差較大；且法向誤差在滾子中點(diǎn)兩側(cè)規(guī)律分布。

二重包絡(luò)加工后的凸輪廓面法向誤差為Δn2，如圖12所示，相較于一重包絡(luò)而言二重包絡(luò)大大降低了凸輪廓面一端的誤差，且在滾子接觸1/4(H/4)處誤差為零。

三重包絡(luò)加工后凸輪廓面法向誤差為Δn3，如圖13所示，可以看出經(jīng)過(guò)三重包絡(luò)加工后凸輪廓面最大法向誤差Δn3max=0.002 712 mm，且在滾子接觸長(zhǎng)度3/4(3H/4)處法向誤差為0。

綜合分析可得，利用本文所提出的多重包絡(luò)原理可顯著減小凸輪廓面法向誤差，減小刀具對(duì)凸輪廓面的影響，提高弧面凸輪的加工精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)刀位補(bǔ)償法存在問(wèn)題進(jìn)行分析，根據(jù)接觸線(xiàn)關(guān)系提出了單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理，利用該原理可以顯著減小凸輪廓面法向誤差，降低刀具誤差對(duì)凸輪廓面法向誤差的影響，使加工誤差更小，加工效果更為理想。由于弧面凸輪定位段處滾子與凸輪廓面的接觸線(xiàn)為直線(xiàn)，因此定位段處凸輪廓面沒(méi)有法向誤差，機(jī)構(gòu)分度精度和定位精度得到有效保障。