劉曉飛 唐艷華 劉 鑫 李 祺 趙永生

(1.燕山大學(xué)并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004;2.天津航天機(jī)電設(shè)備研究所天津市宇航智能裝備技術(shù)企業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300301)

0 引言

相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更高的剛度、承載力和精度[1]，在工業(yè)領(lǐng)域得到越來(lái)越多的應(yīng)用。由于存在奇異位形導(dǎo)致有效工作空間較小等原因，使傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用受到限制[2]。冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有可消除奇異位形[3-5]、增大有效工作空間，增加機(jī)構(gòu)的整體剛度與承載力[6]，改善動(dòng)力學(xué)特性[7-8]、消除間隙[9]、優(yōu)化驅(qū)動(dòng)力分配[10]等優(yōu)點(diǎn)，因而受到越來(lái)越多的關(guān)注。

實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)冗余驅(qū)動(dòng)主要有兩種方式：①在原有機(jī)構(gòu)上增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈，或者將原有被動(dòng)關(guān)節(jié)替換為主動(dòng)關(guān)節(jié)。②在非冗余全驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)上增加約束支鏈或關(guān)節(jié)，以降低原有機(jī)構(gòu)自由度。目前，對(duì)增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈或主動(dòng)關(guān)節(jié)的冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的相關(guān)研究較多[11-20]，而對(duì)增加約束支鏈或關(guān)節(jié)的研究較少[21-24]。不同的冗余驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)方式對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的影響不同，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行評(píng)價(jià)分析、優(yōu)選出性能良好的構(gòu)型是冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的核心問(wèn)題之一。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能是其重要特性，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、尺寸優(yōu)化方面具有重要作用。對(duì)傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，評(píng)價(jià)其動(dòng)力學(xué)性能的指標(biāo)主要是條件數(shù)與操作度橢球。對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，由于速度雅可比矩陣和廣義慣性矩陣不再為方陣，使條件數(shù)與操作度橢球的評(píng)價(jià)指標(biāo)無(wú)法直接使用。目前，關(guān)于冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的研究還相對(duì)較少，且都是針對(duì)具體的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。ZHAO等[8，25]基于矩陣的無(wú)窮范數(shù)計(jì)算冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的單位加速度、速度所需最大驅(qū)動(dòng)力，并作為動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了性能評(píng)價(jià)。BEDOUSTANI等[26]基于操作動(dòng)力學(xué)對(duì)一種彈性繩索驅(qū)動(dòng)的冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。JIANG等[27]通過(guò)計(jì)算位置誤差映射矩陣的條件數(shù)，對(duì)平面冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了分析。LIANG等[28]以機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的單位加速度、速度所需最大驅(qū)動(dòng)力為動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)，對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。FONTES等[29]以最大輸入力矩作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)不同冗余驅(qū)動(dòng)情況下的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了對(duì)比，獲得主動(dòng)過(guò)約束機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化的條件。

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

非獨(dú)立位姿參數(shù)γ與獨(dú)立位姿參數(shù)間的速度映射關(guān)系可以表示為

(1)

于是可以構(gòu)建廣義坐標(biāo)與獨(dú)立廣義坐標(biāo)間的速度映射關(guān)系，即

(2)

其中

式中E5——單位矩陣，E5∈R5×5

構(gòu)建廣義坐標(biāo)與獨(dú)立廣義坐標(biāo)間的加速度映射關(guān)系，即

(3)

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

在笛卡爾坐標(biāo)系下，假定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的廣義運(yùn)動(dòng)速度(包括線速度與角速度)為υd∈R6×1，連桿AiBi的廣義運(yùn)動(dòng)速度為υLi∈R6×1，滑塊廣義運(yùn)動(dòng)速度為υHi∈R6×1，這些構(gòu)件在廣義坐標(biāo)系q下的速度雅可比矩陣分別為Jd∈R6×6、JLi∈R6×6和JHi∈R6×6，可得

(4)

假定機(jī)構(gòu)在廣義坐標(biāo)系下產(chǎn)生無(wú)限小的廣義位移(包括線位移和角位移)為δq∈R6×1，對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)廣義位移為δqd∈R6×1，連桿AiBi的廣義位移為δqLi∈R6×1，滑塊的廣義位移為δqHi∈R6×1，可得

(5)

τi=niτi

(6)

(7)

將式(5)、(6)代入式(7)，可得

(8)

通過(guò)參數(shù)分離，可以將機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件在廣義坐標(biāo)q下的廣義慣性力分解為

(9)

整理式(8)可得

(10)

(11)

(12)

將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力按加速度因素、速度因素、重力因素以及負(fù)載外力因素分類整理，可得

τN=τNa+τNυ+τNg+τNe

(13)

其中

它們分別表示機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)受不同因素影響作用的結(jié)果。

2.2 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

在笛卡爾坐標(biāo)系下，假定中間約束分支上下連桿的廣義運(yùn)動(dòng)速度分別為υzu∈R6×1和υzd∈R6×1，其在廣義坐標(biāo)系q下的速度雅可比矩陣分別為Jzu∈R6×6和Jzd∈R6×6，可得

筆者循誦《中峰集》幾過(guò)，得到這樣一個(gè)印象：董玘對(duì)不同的文章體裁是區(qū)別對(duì)待的。也就是說(shuō)，他還是有一定的文體意識(shí)的。比如他的奏疏、書札就寫得明白曉暢，因?yàn)檫@是一種應(yīng)用文體，必須看了讓人徹底明白自己的主張。而序、記、賦、志銘則寫得相對(duì)古奧，因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)理學(xué)家，董氏要在這些體裁的文章中寄托自己的儒家理想，故文字不辭以模仿經(jīng)籍來(lái)出之。如《陳情乞恩給假省親疏》：

(14)

假定與機(jī)構(gòu)在廣義坐標(biāo)系下無(wú)限小廣義位移相對(duì)應(yīng)的中間約束分支上下連桿的廣義位移分別為δqzu∈R6×1和δqzd∈R6×1，可得

(15)

(16)

整理得到

(17)

其中

QN+QZ+F}

(18)

(19)

其中(JHG)+T為矩陣(JHG)T的廣義偽逆，式(19)所獲得的驅(qū)動(dòng)力解為最小二范數(shù)解。

基于式(19)可得到通過(guò)增加約束支鏈的冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力受不同因素影響作用的結(jié)果，即

τC=τCa+τCυ+τCg+τCe

(20)

τCg=(JHG)+TGT(QN+QZ)

τCe=(JHG)+TGTF

通過(guò)對(duì)式(13)、(20)中機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力結(jié)果的對(duì)比可以看出，增加的約束支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力分配結(jié)果的影響，既包括支鏈運(yùn)動(dòng)約束所帶來(lái)的影響，也包括支鏈慣性量的影響。構(gòu)建動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，可以更好地對(duì)比不同因素的影響。

3 動(dòng)力學(xué)評(píng)價(jià)

對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行分析，以及對(duì)比非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能，需要綜合考慮不同機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型特征。將機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型中不同影響因素進(jìn)行運(yùn)算分析，提出可以方便直接應(yīng)用的動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3.1 加速度因素對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

(21)

由于動(dòng)平臺(tái)在空間中任意單位加速度運(yùn)動(dòng)所需的驅(qū)動(dòng)力均可由τNai通過(guò)線性組合獲得，于是機(jī)構(gòu)所需最大驅(qū)動(dòng)力向量的模可表示為

(i=1,2,…，6)

(22)

其中‖·‖2表示向量在線性空間上的2-范數(shù)，[·]i表示矩陣的第i個(gè)列向量。

τCamax=max(‖[(JNG)+TGT(MN+MZ)G]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(23)

忽略中間約束分支質(zhì)量，將其視為約束關(guān)節(jié)，則式(21)轉(zhuǎn)換為

(i=1,2,…，5)

(24)

3.2 速度因素對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

(25)

因此，當(dāng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在空間中發(fā)生任意方向上的單位勻速移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)所需要施加的最大驅(qū)動(dòng)力向量的模為

(i=1,2,…,6)

(26)

(CN+CZ)G)]i‖2)(i=1,2,…，5)

(27)

忽略中間約束分支的質(zhì)量，則式(27)的形式為

(i=1,2,…，5)

(28)

3.3 重力因素對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

(29)

τCg=‖(JNG)+TGT(QN+QZ)‖2

(30)

忽略中間約束分支的質(zhì)量，則等式(30)的形式為

(31)

3.4 負(fù)載外力因素對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

(32)

式中Fi——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)所承受的沿笛卡爾坐標(biāo)系不同坐標(biāo)軸方向的單位負(fù)載外力或外力矩，且Fi∈R6×1

因此，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)承受空間任意方向單位負(fù)載外力或外力矩時(shí)，機(jī)構(gòu)所需的最大驅(qū)動(dòng)力向量的模為

(33)

τCemax=max(‖[(JNG)+TGT]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(34)

將τNemax和τCemax作為機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)評(píng)價(jià)參數(shù)，用來(lái)對(duì)比分析在不考慮重力時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)的一般非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)與冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐負(fù)載外力的性能。

可以發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)外力負(fù)載性能指標(biāo)與中間約束分支慣性量無(wú)關(guān)，即在關(guān)節(jié)速度雅可比相同的情況下，增加約束分支和約束關(guān)節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)的外力負(fù)載性能影響相同。

4 數(shù)值算例

約束分支UPU對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響，既包含其對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的運(yùn)動(dòng)約束所帶來(lái)的影響，也包含中間分支質(zhì)量的影響。兩種機(jī)構(gòu)相同部分采用相關(guān)的結(jié)構(gòu)尺寸與慣性參數(shù)，機(jī)構(gòu)相關(guān)的幾何尺寸如表1所示，相關(guān)物理參數(shù)如表2所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何尺寸

表2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)相關(guān)物理參數(shù)

4.1 約束分支對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響

兩種機(jī)構(gòu)由加速度因素、速度因素、重力因素以及外力負(fù)載因素等影響的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)分布與對(duì)比分別如圖4～7所示。

4.2 約束關(guān)節(jié)對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響

將約束分支視為無(wú)質(zhì)量分支，可以得到增加約束關(guān)節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。忽略約束分支質(zhì)量后，兩種機(jī)構(gòu)由加速度因素、速度因素、重力因素等影響的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)分布與對(duì)比如圖8～10所示。由前述分析可知，在約束關(guān)節(jié)速度雅可比相同的情況下，增加冗余約束分支和冗余約束關(guān)節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)的外力負(fù)載性能影響相同，故本節(jié)不對(duì)外力負(fù)載性能進(jìn)行對(duì)比。

4.3 約束分支與約束關(guān)節(jié)對(duì)比

對(duì)比圖4c和圖8b、圖5c和圖9b、圖6c和圖10b可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)增加約束關(guān)節(jié)能夠增加機(jī)構(gòu)加速度性能、速度性能與重力性能，而增加冗余約束分支卻降低了機(jī)構(gòu)相關(guān)性能。進(jìn)而可以得出，冗余驅(qū)動(dòng)分支的約束提高了機(jī)構(gòu)性能，但分支質(zhì)量降低了機(jī)構(gòu)相關(guān)性能，降低的量與分支質(zhì)量相關(guān)。

5 結(jié)束語(yǔ)