摘? ?要： 對(duì)流固界面的耦合程度為增材制造技術(shù)帶來的挑戰(zhàn)進(jìn)行報(bào)道。以流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)各向同性固體模型為基準(zhǔn)，在角頻率—波數(shù)域建立流體滿足的聲波方程、固體滿足的彈性波方程和流固耦合邊界條件。引入流固耦合度這一概念，導(dǎo)出法向位移斷續(xù)、法向應(yīng)力斷續(xù)、切向應(yīng)力為零的流固界面不完全耦合邊界條件，考察不同中心頻率的單極子聲源在模型中激發(fā)的頻散特征和波形特征。流體柱體與硬性固體相耦合，降低了各階模式的截止頻率，壓制了各階模式的傳播速度，法向位移耦合度或法向應(yīng)力耦合度的增大，分別使得各階模式更加遠(yuǎn)離或靠近流體柱體外圍不存在硬性固體的情形;流體柱體與軟性固體相耦合，頻散波僅存在一個(gè)具有較低截止頻率的0階模式，法向位移耦合度或法向應(yīng)力耦合度的減小，均使得0階模式更加遠(yuǎn)離流體柱體外圍不存在軟性固體的情形，且截止頻率持續(xù)降低直至消失，甚至可能導(dǎo)致0階模式發(fā)生反轉(zhuǎn)。法向應(yīng)力耦合度為零時(shí)的復(fù)雜波串并非頻散曲線中的某階模式，而是某種其他非頻散波。留存于流體柱體內(nèi)的“滯能縱波”和近乎于流體柱體外圍繞橫向各向同性固體時(shí)的傳播特性，是流體柱體與軟性固體相耦合時(shí)產(chǎn)生的特殊數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 增材制造;流固耦合度;角頻率—波數(shù)域;流固界面不完全耦合邊界條件;單極子聲源;頻散特征;截止頻率;0階模式;反轉(zhuǎn);非頻散波;“滯能縱波”;橫向各向同性

引言

聲波、彈性波的傳播特性，是評(píng)價(jià)增材制造工藝效果的基礎(chǔ)指標(biāo)，是檢驗(yàn)增材制造技術(shù)制備所得物品性能的得力工具[1]。將聲波、彈性波的傳播特性研究貫穿于增材制造全生命周期始終，將有力推動(dòng)增材制造行業(yè)精益生產(chǎn)，促進(jìn)增材制造產(chǎn)品質(zhì)量和競(jìng)爭(zhēng)力提升[2]。

2017年，我國(guó)提出行動(dòng)計(jì)劃，明確要求提升增材制造裝備、核心器件及軟件質(zhì)量[3]，其中數(shù)學(xué)物理方法和算法是支撐增材制造工藝智能規(guī)劃、在線檢測(cè)、過程控制等軟件功能的核心[4]。聲波、彈性波傳播的數(shù)學(xué)物理研究方法涵蓋理論法和數(shù)值法兩種，理論法包括基于并矢格林函數(shù)的求解方法、角頻率—波數(shù)域分析法等，數(shù)值法包括各時(shí)空域的有限差分法、有限元法等。文獻(xiàn)[5]采用融合了完全匹配層全吸收邊界的、適用于斜向各向同性（屬于一種各向異性）介質(zhì)的時(shí)域交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法，對(duì)彈性材料的各向異性為增材制造技術(shù)帶來的挑戰(zhàn)進(jìn)行了報(bào)道，呼吁科研人員重視各向異性介質(zhì)的Thomsen參數(shù)大小以及介質(zhì)在各個(gè)方位的傳播速度差異程度對(duì)彈性波傳播特性的影響;文獻(xiàn)[6]采用彈性波傳播的并矢格林函數(shù)解，以增材制造工藝中常見的負(fù)泊松比超材料為研究對(duì)象，初步探索了超材料彈性參數(shù)線性化的普適方法，為增材制造領(lǐng)域共性技術(shù)創(chuàng)新提供了驅(qū)動(dòng)力;文獻(xiàn)[7]采用頻域有限元方法，以1.5維聲波、彈性波方程為例，對(duì)內(nèi)在機(jī)理相對(duì)復(fù)雜、細(xì)節(jié)把控要求較高、求解具有一定技術(shù)門檻的半整數(shù)維波動(dòng)方程進(jìn)行了考察，尤其是對(duì)完全匹配層拉伸尺度選取、等效積分弱形式推導(dǎo)、流固耦合邊界條件設(shè)置、極點(diǎn)規(guī)避等技術(shù)細(xì)節(jié)進(jìn)行了注記，為更高維空間波傳播特性的研究打開了局面;文獻(xiàn)[8-9]基于聲波和彈性波在流固界面的雙向轉(zhuǎn)換機(jī)制，推導(dǎo)了應(yīng)用于時(shí)域有限元方法的，帶有完全匹配層的聲波—彈性波耦合（即流固耦合）方程的等效積分弱形式，并立足于增材制造技術(shù)應(yīng)用需求，構(gòu)思了若干聲波—彈性波耦合模型，研討了遠(yuǎn)場(chǎng)、近場(chǎng)條件下聲波—彈性波耦合對(duì)波場(chǎng)傳播的影響，得到了大量具有實(shí)際價(jià)值的結(jié)論和啟示。文獻(xiàn)[10]為流固耦合問題提出了一種來源于經(jīng)驗(yàn)的傳遞矩陣校正方法，為流固耦合模型頻散曲線的智能求取提供了便利。上述文獻(xiàn)雖然覆蓋了各維度、各時(shí)空域下基于各種數(shù)學(xué)物理方法和算法的聲波、彈性波及二者之間相互耦合機(jī)制的研究，但并未考慮到聲波、彈性波之間的耦合程度對(duì)波場(chǎng)傳播的影響，而增材制造工藝的固有特點(diǎn)又是導(dǎo)致這種耦合程度的不確定性的根源所在。據(jù)此，本文引入流固耦合度這一概念，在角頻率—波數(shù)域考察不同流固耦合度下波場(chǎng)傳播的頻散特征和波形特征，以期為增材制造工藝效果評(píng)價(jià)和物品制備性能檢驗(yàn)提供更加嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)。

1? 流體柱體中聲波的傳播

式（40）稱作流固界面不完全耦合邊界條件。其中，、分別稱作法向位移耦合度、法向應(yīng)力耦合度，處于區(qū)間[0， 1];稱作切向應(yīng)力耦合度，僅取0或1。當(dāng)、、均為0時(shí)，式（40）退化為第1章所討論的流體柱體中聲波的傳播情形;當(dāng)三者均為1時(shí)，式（40）退化為第2章所討論的流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)固體，且流固界面完全耦合時(shí)，流體柱體內(nèi)聲波的傳播情形;對(duì)于、（二者可以不相等）且的情形，本文將邊界條件描述為：法向位移斷續(xù)、法向應(yīng)力斷續(xù)、切向應(yīng)力為零。

4? 應(yīng)用與討論

4.1? 模型與參數(shù)

將第1章所述流體柱體的情形記作模型1，將第2章所述流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)固體的情形記作模型2。限于篇幅，本文僅對(duì)單極子聲源激發(fā)的波場(chǎng)進(jìn)行考察。多極子聲源情形的研究結(jié)論必然有所不同，但研究思路類似。

模型基本參數(shù)如表1所示，其中硬性固體指橫波速度大于相鄰流體中聲波傳播速度的固體，軟性固體反之。

4.2? 頻散特征計(jì)算與討論

所有滿足式（46）的點(diǎn)集構(gòu)成模型2的頻散曲線。對(duì)于式（46），可根據(jù)文獻(xiàn)[10]，首先在給定的波源頻率和軸向相速度范圍內(nèi)對(duì)二維譜進(jìn)行大體觀察，判斷二維譜的極性翻轉(zhuǎn)特性，然后針對(duì)不同表現(xiàn)形式的極性翻轉(zhuǎn)特性，采用校正因子實(shí)施“反翻轉(zhuǎn)”，最后根據(jù)“反翻轉(zhuǎn)”過程整理得到傳遞矩陣校正圖譜，從而通過牛頓迭代法[11]求解。牛頓迭代法詳見附錄B。

4.2.1? 流固界面完全耦合

首先，在模型2的流體柱體外圍選用硬性固體，且將流固界面設(shè)定為完全耦合（即），繪制頻散曲線，并與模型1相對(duì)比，如圖1a所示。對(duì)比得知，在0～25 kHz頻段，兩個(gè)模型均具有0階、1階、2階模式，其中0階模式無截止頻率，其他階模式具有較高的截止頻率。此外，流體柱體與硬性固體相耦合，不僅降低了各階模式的截止頻率，而且壓制了各階模式的傳播速度。在模型2中，1階以上（含）模式在截止頻率下傳播速度最大，等于硬性固體的橫波速度，而在模型1中，1階以上（含）模式在截止頻率下傳播速度無限大（事實(shí)上，模型1的流體柱體模型是一個(gè)典型的“剛性壁”波導(dǎo)問題，其等效于流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)“波速無限大的超硬性固體”的情形）。

其次，在模型2的流體柱體外圍選用軟性固體，仍將流固界面設(shè)定為完全耦合，繪制頻散曲線，并與模型1相對(duì)比，如圖1b所示。與圖1a截然不同的是，模型2的頻散曲線似乎與模型1毫無相關(guān)性。在0～25 kHz頻段對(duì)模型2的頻散曲線進(jìn)行求解，僅可得到0階模式，且該模式具有一個(gè)較低的截止頻率（<1 kHz）。0階模式在截止頻率下傳播速度最大，等于軟性固體的橫波速度。

4.2.2? 流固界面不完全耦合

令人出乎意料的是，對(duì)于任意滿足式（47）的流固耦合度，無論模型2采用硬性固體還是軟性固體，計(jì)算得到的頻散曲線均與流固界面完全耦合的情形重合。

進(jìn)一步，考察法向位移耦合度、法向應(yīng)力耦合度不同的情形。不失一般性，以下僅討論0階、1階模式，并且為便于對(duì)比，模型1的上述模式也將在頻散特征分析圖中用虛線繪出。

（1）硬性固體

① 法向位移耦合度不變，法向應(yīng)力耦合度變化

令不變，將分別取值為0.25、0.5、0.75、1，計(jì)算結(jié)果如圖2a所示。在的不同取值下，計(jì)算結(jié)果完全相同，其中模型1和模型2的0階模式發(fā)生了重合，1階模式發(fā)生了交叉。與圖1a對(duì)比得知，頻散曲線交叉現(xiàn)象似乎是由模型2的1階以上（含）模式之間相互交融而引起的。

令不變，將分別取值為0、0.25、0.5、0.75、1，計(jì)算結(jié)果如圖2b所示。當(dāng)時(shí)，模型2的0階模式不存在，1階模式在截止頻率下傳播速度無限大。隨著的增大，模型2的0階模式開始顯現(xiàn)，并不斷趨近于模型1的0階模式。在的不同取值下，模型2的1階模式近乎巧合地交于一點(diǎn)，當(dāng)實(shí)際頻率一定，且大于這一巧合交點(diǎn)所在的頻率時(shí)，傳播速度隨著的增大而增大，反之亦然。初步推斷這一巧合交點(diǎn)所在的頻率為模型1的1階模式的截止頻率，該截止頻率有理論解[12]，即

其中，為截止頻率，為第一類變形Bessel函數(shù)的第一個(gè)虛部大于0的根[13]。將相關(guān)參數(shù)代入式（48），求得。采用牛頓迭代法在該截止頻率附近對(duì)的不同取值進(jìn)行精算，發(fā)現(xiàn)確鑿如此。

分別令、、不變，取值同上，計(jì)算結(jié)果分別如圖2c、2d、2e所示。除數(shù)值必然不同外，上述結(jié)果與時(shí)的規(guī)律相似，其中一個(gè)顯著的區(qū)別是，當(dāng)一定時(shí)， 的增大，使得模型2的0階模式更加遠(yuǎn)離模型1。

② 法向應(yīng)力耦合度不變，法向位移耦合度變化

限于篇幅，僅討論的情形。將分別取值為0、0.25、0.5、0.75、1，計(jì)算結(jié)果如圖2f所示。顯而易見，當(dāng)一定時(shí)，的增大，除了使得模型2的0階模式更加遠(yuǎn)離模型1以外，也使得模型2的1階模式更加稍微遠(yuǎn)離模型1。

（2）軟性固體

章節(jié)4.2.1揭示了流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)軟性固體時(shí)頻散特性的捉摸不定。因此，以下從流固耦合度由大至小開展試探性分析。

① 法向位移耦合度不變，法向應(yīng)力耦合度變化

令不變，將分別取值為1、0.75、0.5、0.25、0，計(jì)算結(jié)果如圖3a所示。剛減小到0.75，模型2的0階模式的截止頻率即消失;當(dāng)減小到0.25時(shí)，模型2的0階模式甚至發(fā)生了反轉(zhuǎn);當(dāng)時(shí)，模型2的0階模式不復(fù)存在。

令不變，取值同上，計(jì)算結(jié)果如圖3b所示。與時(shí)不同，當(dāng)減小到0.5時(shí)，模型2的0階模式的截止頻率方消失;和時(shí)的頻散特性與時(shí)相似。

令不變，取值同上，計(jì)算結(jié)果如圖3c所示。與以上情形不同，當(dāng)減小到0.25時(shí)，模型2的0階模式的截止頻率方消失，且模型2的0階模式未再發(fā)生反轉(zhuǎn)。

令不變，取值同上，計(jì)算結(jié)果如圖3d所示。在的不同取值下，模型2的0階模式的截止頻率均未消失，且模型2的0階模式均未發(fā)生反轉(zhuǎn)。此外，模型2的0階模式對(duì)的敏感度已變得非常弱。

令不變，將分別取值為1、0.75、0.5、0.25，計(jì)算結(jié)果如圖3e所示。在的不同取值下，計(jì)算結(jié)果完全相同，模型2的0階模式頻散極其輕微，且其截止頻率在以上情形中最大（≈3 kHz）。

② 法向應(yīng)力耦合度不變，法向位移耦合度變化

限于篇幅，僅討論的情形。將分別取值為0.25、0.5、0.75、1，計(jì)算結(jié)果如圖3f所示。顯而易見，當(dāng)一定時(shí)，的增大，使得模型2的0階模式更加接近流固界面完全耦合的情形。

4.3? 波形特征計(jì)算與討論

結(jié)合章節(jié)4.2計(jì)算得到的頻散特征，考察代表性中心頻率3 kHz和10 kHz的單極子聲源在模型1和模型2中激發(fā)的波形。聲源與接收器之間的距離取1.0～2.0 m，接收器之間的間隔取0.2 m。

4.3.1? 流固界面完全耦合

（1）硬性固體

繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源在模型1中激發(fā)的波形，并與其中直達(dá)波的貢獻(xiàn)相對(duì)比，如圖4a所示。在模型1中，直達(dá)波的貢獻(xiàn)較為微弱，且衰減較快;反射波占據(jù)主要地位，為純粹的0階模式。進(jìn)一步，繪制該聲源在模型2中激發(fā)的波形，并與模型1相對(duì)比，如圖4b所示。流體柱體外圍硬性固體的存在，使得流體柱體內(nèi)的模式波發(fā)生了遲滯，即傳播速度降低，這與圖1a所示的頻散曲線相符合。

同理，繪制中心頻率為10 kHz的單極子聲源在模型1中激發(fā)的波形，并與其中直達(dá)波的貢獻(xiàn)相對(duì)比，如圖5a所示。在模型1中，直達(dá)波的貢獻(xiàn)較為微弱，且衰減更快，但直達(dá)波與反射波的幅度比大于聲源中心頻率為3 kHz的情形。盡管如此，反射波依舊占據(jù)主要地位，且在一個(gè)0階模式脈沖后有復(fù)雜波串緊隨，這些波串很容易被認(rèn)作1階模式。進(jìn)一步，繪制該聲源在模型2中激發(fā)的波形，如圖5b所示。如同章節(jié)4.2.1所提到的，流體柱體外圍硬性固體的存在，壓制了各階模式的傳播速度，充其量不會(huì)超過硬性固體的橫波速度，這使得模式波特征得到了很大程度的簡(jiǎn)化。事實(shí)上，圖5b的波串中也蘊(yùn)含著多種模式，且以非頻散波為主，但這已超出本文的討論范疇，感興趣的讀者可與筆者私下討論。

（2）軟性固體

繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源在模型2中激發(fā)的波形，并與模型1相對(duì)比，如圖6a所示。流體柱體外圍軟性固體的存在，使得流體柱體內(nèi)的模式波受到了對(duì)沖，幅度嚴(yán)重衰減，其他模式波的幅度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及流體柱體外圍不存在軟性固體的情形。事實(shí)上，模型2的波串中蘊(yùn)含著兩種模式，一是傳播速度較快的，以固體縱波速度傳播的非頻散波，未在圖1b中展示;二是傳播速度較慢的，以低于固體橫波速度傳播的頻散波，即圖1b中的0階模式。

同理，繪制中心頻率為10 kHz的單極子聲源在模型2中激發(fā)的波形，如圖6b所示。此時(shí)，波串中仍蘊(yùn)含著兩種模式，一是幅度較大、傳播速度較快的，以固體縱波速度傳播的非頻散波;二是衰減較嚴(yán)重的，與上述非頻散波相交融的，以更加稍微低于固體橫波速度傳播的頻散波。此外，將模型2中的波形與模型1（即圖5a中實(shí)線）相對(duì)比，發(fā)現(xiàn)流體柱體外圍繞軟性固體時(shí)產(chǎn)生的非頻散波，似乎是將流體柱體外圍不存在軟性固體時(shí)產(chǎn)生的反射波的一部分釋放出去的結(jié)果，這使得留存在流體柱體內(nèi)的這一部分持續(xù)了約1 ms左右即趨于平穩(wěn)。部分文獻(xiàn)將這一非頻散波稱作“漏能縱波”（Leaky P-wave），但按照上述分析，將留存在流體柱體內(nèi)的這一部分稱作“滯能縱波”（Hysteresis P-wave）似乎更為貼切。

4.3.2? 流固界面不完全耦合

首先考察法向位移耦合度、法向應(yīng)力耦合度相同的情形。與章節(jié)4.2.2的分析相一致，對(duì)于任意滿足式（47）的流固耦合度，無論模型2采用硬性固體還是軟性固體，計(jì)算得到的波形均與流固界面完全耦合的情形重合。進(jìn)一步，考察法向位移耦合度、法向應(yīng)力耦合度不同的情形。

（1）硬性固體

令不變，將分別取值為0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，計(jì)算結(jié)果與模型1完全相同。進(jìn)一步，將單極子聲源中心頻率調(diào)整至10 kHz，依舊如是。

令不變，將分別取值為0、0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖如圖7a和7b所示。當(dāng)時(shí)，復(fù)雜波串再次顯現(xiàn)，根據(jù)圖2c，3 kHz的中心頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于模型2的1階模式的截止頻率，排除了這一復(fù)雜波串為1階模式的可能，它可能是0階模式或某種其他非頻散波。隨著的增大，上述復(fù)雜波串消失，此外流體柱體內(nèi)的模式波傳播速度相應(yīng)提高，這與圖2c所示的頻散曲線相符合。進(jìn)一步，將單極子聲源中心頻率調(diào)整至10 kHz，計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖如圖7c和7d所示。當(dāng)時(shí)，復(fù)雜波串再次顯現(xiàn)，但由于模型2的0階模式并不存在，進(jìn)一步排除了這一復(fù)雜波串為0階模式的可能，它只能是某種其他非頻散波。與聲源中心頻率為3 kHz的情形相似，隨著的增大，上述復(fù)雜波串消失，此外流體柱體內(nèi)的模式波傳播速度相應(yīng)提高，這也與圖2c所示的頻散曲線相符合。但可意外發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，波串持續(xù)時(shí)間相對(duì)更長(zhǎng)。

令不變，將分別取值為0、0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz、10 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，分析結(jié)論與時(shí)基本相同。限于篇幅，計(jì)算結(jié)果不再展示。

（2）軟性固體

令不變，將分別取值為0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，計(jì)算結(jié)果與模型1完全相同。進(jìn)一步，將單極子聲源中心頻率調(diào)整至10 kHz，依舊如是。

令不變，將分別取值為0、0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖如圖8a和8b所示。當(dāng)時(shí)，復(fù)雜波串再次顯現(xiàn)，只是比硬性固體的情形更規(guī)則有序一些，同樣根據(jù)圖3c，0階模式并不存在，因此這一復(fù)雜波串只能是某種其他非頻散波。隨著的增大，上述復(fù)雜波串消失，此外流體柱體內(nèi)的模式波傳播速度相應(yīng)提高，這與圖3c所示的頻散曲線相符合，但可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，、時(shí)的模式波竟至于體現(xiàn)為近乎于流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)橫向各向同性（屬于一種各向異性）固體時(shí)流體柱體內(nèi)聲波的傳播特性！這極可能造成對(duì)流體柱體外圍固體各向異性程度的誤判。進(jìn)一步，將單極子聲源中心頻率調(diào)整至10 kHz，計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖如圖8c和8d所示。當(dāng)時(shí)，復(fù)雜波串再次顯現(xiàn)，與前文分析相同，其只能是某種其他非頻散波。與聲源中心頻率為3 kHz的情形相似，隨著的增大，上述復(fù)雜波串消失，此外流體柱體內(nèi)的模式波傳播速度相應(yīng)提高，這也與圖3c所示的頻散曲線相符合，且仍可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，波串持續(xù)時(shí)間相對(duì)更長(zhǎng)。

令不變，將分別取值為0、0.5、1，繪制中心頻率為3 kHz、10 kHz的單極子聲源激發(fā)的波形，分析結(jié)論與時(shí)基本相同。限于篇幅，計(jì)算結(jié)果不再展示。

5? 結(jié)論與局限

本文以流體柱體外圍繞無限遠(yuǎn)固體模型為基準(zhǔn)，引入流固耦合度這一概念，在角頻率—波數(shù)域考察了不同流固耦合度下波場(chǎng)傳播的頻散特征和波形特征，為增材制造工藝效果評(píng)價(jià)和物品制備性能檢驗(yàn)提供了更加嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)。主要結(jié)論有：

（1） 流體柱體與硬性固體相耦合，不僅降低了各階模式的截止頻率，而且壓制了各階模式的傳播速度。法向位移耦合度的增大，使得各階模式更加遠(yuǎn)離流體柱體外圍不存在硬性固體的情形;法向應(yīng)力耦合度的增大，使得各階模式更加靠近流體柱體外圍不存在硬性固體的情形。

（2） 流體柱體與軟性固體相耦合，頻散波僅存在0階模式，且該模式具有一個(gè)較低的截止頻率。法向位移耦合度或法向應(yīng)力耦合度的減小，均使得0階模式更加遠(yuǎn)離流體柱體外圍不存在軟性固體的情形，且截止頻率持續(xù)降低直至消失，甚至可能導(dǎo)致0階模式發(fā)生反轉(zhuǎn)。

（3） 流體柱體無論是與硬性固體還是軟性固體相耦合，法向應(yīng)力耦合度為0時(shí)的復(fù)雜波串均并非頻散曲線中的某階模式，而是某種其他非頻散波。

（4） 留存于流體柱體內(nèi)的“滯能縱波”和近乎于流體柱體外圍繞橫向各向同性固體時(shí)的傳播特性，是流體柱體與軟性固體相耦合時(shí)產(chǎn)生的特殊數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象。

本研究盡管力求全面，但限于篇幅，仍存在一定的局限，包括但不限于：

（1） 當(dāng)法向位移耦合度和法向應(yīng)力耦合度相同且非零時(shí)，頻散特征和波形特征并未顯現(xiàn)出差別，表明流固耦合度的完備性有待加強(qiáng);

（2） 多極子聲源，如偶極子、四極子聲源在流固耦合模型中的傳播特性有待分析;

（3） 流體與各向異性固體相耦合時(shí)的波場(chǎng)傳播特性有待考察;

（4） 固體—固體界面的彈性耦合度勢(shì)必比流固耦合度更為復(fù)雜，有待深入;

（5） 為了有效檢驗(yàn)由增材制造技術(shù)制備所得的更為復(fù)雜的物品的性能，流固耦合度、彈性耦合度在數(shù)值法，如各時(shí)空域的有限差分法、有限元法中的數(shù)學(xué)物理表達(dá)，有待探究。

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