何吉祥 ，徐有杰 ，高陽 ，劉啟國(guó)

（1.中國(guó)石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000；2.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500）

0 引言

致密油藏作為一種重要的非常規(guī)油氣藏，其滲流機(jī)理與常規(guī)砂巖油氣藏存在很大的差別［1-2］。致密油藏滲透率和孔隙度極低，只能選用水力壓裂來實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)開采價(jià)值［3］。 根據(jù)賈承造等［4］的研究，覆壓滲透率低于0.1×10-3μm2是致密油藏的主要特征。由于儲(chǔ)層致密，致密油在納米孔隙介質(zhì)中的流動(dòng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的低速非線性滲流特征。國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)研究證明，致密油藏表現(xiàn)出很明顯的啟動(dòng)壓力梯度和滲透率應(yīng)力敏感效應(yīng)［5-6］。

致密油藏在水平井多段壓裂過程中，壓裂裂縫往往沿著最大主應(yīng)力方向延伸，產(chǎn)生的水力壓裂裂縫也沿著不同方向延伸，導(dǎo)致壓裂裂縫分布極其復(fù)雜［7-9］。試井分析方法作為一種地層參數(shù)反演的重要手段，選擇合適的模型對(duì)于地層參數(shù)獲取與油藏評(píng)價(jià)具有重要的實(shí)際意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了許多種多段壓裂水平井試井解釋數(shù)學(xué)模型［9-17］。盡管這些模型豐富了試井解釋模型庫，提高了地層參數(shù)反演準(zhǔn)確度，但是沒有考慮應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度的影響，在對(duì)低滲致密油藏試井分析時(shí)顯得略有不足。在考慮儲(chǔ)層應(yīng)力敏感影響方面：歐陽偉平等［18］建立了滲透率隨有效應(yīng)力呈冪率形式變化的多級(jí)壓裂水平井三維數(shù)值試井解釋模型，利用混合有限元方法對(duì)試井解釋模型進(jìn)行了求解；王歡等［19］考慮縫網(wǎng)特征，建立考慮應(yīng)力敏感的影響多段壓裂水平井試井解釋模型。在考慮啟動(dòng)壓力梯度影響方面，姜瑞忠等［20］基于線性流模型，建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度影響的多級(jí)壓裂水平井試井解釋模型。

然而，目前關(guān)于綜合考慮應(yīng)力敏感、啟動(dòng)壓力梯度、不規(guī)則裂縫分布的多段壓裂水平井試井解釋模型方面還沒有相關(guān)研究。本文在前人研究的基礎(chǔ)上同時(shí)考慮了應(yīng)力敏感、啟動(dòng)壓力梯度，以及水力壓裂產(chǎn)生的不規(guī)則裂縫分布，建立并求解了流體在儲(chǔ)層和壓裂裂縫中流動(dòng)的試井?dāng)?shù)學(xué)模型，離散壓裂裂縫，并耦合儲(chǔ)層與裂縫模型解，最終求得Laplace空間井底壓力并通過Stehfest數(shù)值反演，得到實(shí)空間井底壓力與時(shí)間關(guān)系雙對(duì)數(shù)曲線，分析了裂縫分布模式、應(yīng)力敏感系數(shù)和啟動(dòng)壓力梯度等因素對(duì)壓力動(dòng)態(tài)特征曲線的影響。

1 物理模型描述

由于儲(chǔ)層條件的復(fù)雜性，導(dǎo)致水平井壓裂過程中裂縫沿任意方向延伸，形成不規(guī)則裂縫分布。多段壓裂水平井不規(guī)則裂縫分布物理模型共有2M條裂縫翼，每條裂縫翼的長(zhǎng)度和夾角都不相等（見圖1）。為了求解方便，井筒上方裂縫用奇數(shù)編號(hào)，井筒下方裂縫用偶數(shù)編號(hào)。假設(shè)儲(chǔ)層由天然裂縫和基質(zhì)組成，基質(zhì)裂縫竄流模型用Warren-Root模型描述；水平井位于側(cè)向無限大板狀油藏中心；每條壓裂裂縫寬度相等，第i條裂縫與井筒的夾角為θi，且長(zhǎng)度為L(zhǎng)Fi；數(shù)學(xué)模型建立過程不考慮儲(chǔ)層溫度變化。

圖1 多級(jí)壓裂水平井裂縫分布物理模型示意

2 多段壓裂水平井滲流數(shù)學(xué)模型

2.1 單一裂縫滲流數(shù)學(xué)模型

考慮儲(chǔ)層應(yīng)力敏感效應(yīng)時(shí)，滲透率K隨地層壓力p呈冪率形式變化：

根據(jù)Pascal給出的啟動(dòng)壓力梯度滲流表達(dá)式，結(jié)合式（1）得到同時(shí)考慮應(yīng)力敏感系數(shù)γ和啟動(dòng)壓力梯度λ的裂縫系統(tǒng)滲流速度v：

根據(jù)上述無因次變量的定義，可得到無因次滲流微分方程和邊界條件。

裂縫滲流微分方程：

基質(zhì)滲流微分方程：

初始條件：

頂?shù)追忾]邊界：

側(cè)向無限大外邊界：

內(nèi)邊界：

對(duì)式（3）—（8）先進(jìn)行攝動(dòng)變換，然后再關(guān)于 tD進(jìn)行Laplace變換。攝動(dòng)變換方程為

變換之后的Laplace空間滲流微分方程：

其中

對(duì)式（10）關(guān)于zD從0到hD進(jìn)行傅里葉余弦變換：

其中

式（11）有2個(gè)情況下的解：

系數(shù)A和B可結(jié)合內(nèi)外邊界條件求得，對(duì)方程解進(jìn)行傅里葉余弦變換，可以得到考慮應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度的頂?shù)追忾]、側(cè)向外邊界無限大點(diǎn)源解［21］：

其中

為了求得井底壓力解，需要對(duì)式（12）給出的點(diǎn)源解沿x和z方向積分，得到第i條壓裂裂縫井底壓力：

式（13）即為經(jīng)過攝動(dòng)變換之后考慮啟動(dòng)壓力梯度的第i條壓裂裂縫均勻流量面源解。

2.2 多段壓裂水平井耦合數(shù)學(xué)模型

多段壓裂水平井由2M條裂縫組成，總壓降可以表示為

根據(jù)Cinco-Ley等［22］的研究，流體在壓裂裂縫中的滲流微分方程解為

將式（13）、（14）代入式（15）可得：

從整體大環(huán)境來看，珠三角科技創(chuàng)新的生態(tài)系統(tǒng)非常發(fā)達(dá)，雙創(chuàng)氛圍濃厚，許多高端人才和領(lǐng)軍企業(yè)都聚集在粵港澳大灣區(qū)。各地企業(yè)、中介、高等院校、政府應(yīng)加強(qiáng)創(chuàng)新資源和要素的運(yùn)用與共享，發(fā)揮各自比較優(yōu)勢(shì)并進(jìn)行不同形式的協(xié)同，大力發(fā)展科技中介服務(wù)，推動(dòng)形成穗深港的科學(xué)技術(shù)優(yōu)勢(shì)與腹地制造業(yè)互補(bǔ)互通、交錯(cuò)發(fā)展的產(chǎn)業(yè)格局；同時(shí)建立更加有效的區(qū)域協(xié)同發(fā)展的新政策、新平臺(tái)，提升高科技產(chǎn)業(yè)實(shí)力，抓住“一帶一路”戰(zhàn)略機(jī)遇，依托大灣區(qū)的高端制造、金融服務(wù)業(yè)、消費(fèi)升級(jí)、自貿(mào)區(qū)政策紅線等優(yōu)勢(shì)激發(fā)企業(yè)將科技創(chuàng)新成果向現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)力轉(zhuǎn)化的潛力。

根據(jù)杜哈美原理得到考慮井筒儲(chǔ)集和表皮效應(yīng)的井底壓力解：

利用Stehfest數(shù)值反演對(duì)式（18）進(jìn)行計(jì)算得到實(shí)空間攝動(dòng)變化之后的井底壓力解，將式（18）代入式（9）得到同時(shí)考慮應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度的多級(jí)壓裂水平井不規(guī)則裂縫井底壓力解：

3 模型驗(yàn)證與計(jì)算結(jié)果分析

3.1 模型驗(yàn)證

如果γ取值無限小，λ取值為0，本文模型就可以簡(jiǎn)化為不考慮應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度的多段壓裂水平井不規(guī)則裂縫分布模型。

為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，本文模型和Saphir模型數(shù)值解基本參數(shù)取值為：λmf=1×10-10，Lh=4 000 m，h=10 m，ω=0.1，rw=0.1 m，Lref=100 m，φ=0.1，μ=1 mPa·s，CFD=20，Ctf+Ctm=1×10-4MPa-1。 需要特別說明的是：本文模型裂縫條數(shù)（M=12）是Saphir模型數(shù)值解的2倍，本文模型裂縫長(zhǎng)度等于Saphir模型數(shù)值解裂縫半長(zhǎng)（LF=20 m），并且本文模型奇數(shù)編號(hào)裂縫與井筒夾角為90°，偶數(shù)編號(hào)裂縫與井筒夾角為270°。本文模型計(jì)算結(jié)果與Saphir模型計(jì)算結(jié)果吻合，驗(yàn)證了本文模型的正確性（見圖2）。

圖2 2種模型驗(yàn)證對(duì)比

3.2 流動(dòng)階段曲線特征

6種壓裂裂縫分布方式見圖3（紅線表示水平井井筒，灰線表示水力壓裂裂縫），分布2模式下的裂縫性致密油藏多級(jí)壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)特征曲線見圖4。模型主要參數(shù)：CD=0.000 1，S=0.01，CfD=10，LhD=2 000，λmf=1×10-4，LrefD=40，ω=0.1，M=10。 根據(jù)壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，井底壓力響應(yīng)曲線可以分為9個(gè)流動(dòng)階段，每個(gè)流動(dòng)階段流動(dòng)特征及曲線特征見表1。

圖3 裂縫分布形式示意

圖4 裂縫性致密油藏多級(jí)壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)特征曲線

表1 流動(dòng)階段及壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征

需要特別說明的是：不考慮儲(chǔ)層應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度影響時(shí)，晚期徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5的水平線；考慮儲(chǔ)層應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度影響時(shí)，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈不同幅度的上翹。

3.3 裂縫參數(shù)的影響

分析圖5b可知：1）和分布1、分布3相比，分布2的早期壓力曲線最低。這是因?yàn)?，分?的單井控制面積大，流體流動(dòng)所需要的壓力消耗小。2）和分布1、分布2相比，分布5的每個(gè)裂縫翼相當(dāng)于一條單一的壓裂裂縫，由于每條壓裂裂縫沿井筒方向位置不同，因此，分布5的早期徑向流階段壓力曲線最低。3）分布4、分布6都降低了壓裂水平井單井控制面積，但是和分布4相比，分布6的裂縫之間的干擾性強(qiáng)，早期階段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線最高。綜合上述分析，當(dāng)裂縫交錯(cuò)分布（即分布2）時(shí)，早期線性流及雙線性流階段的壓力曲線最低，改善效果最好。

圖5 裂縫參數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)特征曲線的影響

3.4 儲(chǔ)層參數(shù)的影響

圖6為儲(chǔ)層參數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)特征曲線的影響。由圖可知：竄流系數(shù)越大，基質(zhì)與天然裂縫之間的壓差就越大，天然裂縫導(dǎo)流性越好，壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”開始的時(shí)間越早；彈性儲(chǔ)容比越小，壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”越寬、越深，竄流階段之前的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線越高；應(yīng)力敏感系數(shù)和啟動(dòng)壓力梯度都會(huì)使中后期壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹，γ越大，曲線上翹越明顯，λ越大，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹時(shí)間越早且上翹越明顯。結(jié)果表明，在γ和λ雙重作用影響下，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹程度比單一因素作用更加明顯。

圖6 儲(chǔ)層參數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)特征曲線的影響

4 結(jié)論

1）考慮應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度影響時(shí)，裂縫性致密油藏多段壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)曲線表現(xiàn)出9個(gè)流動(dòng)階段；在應(yīng)力敏感和啟動(dòng)壓力梯度雙重作用影響下，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹程度比單一因素作用更加明顯。

2）裂縫參數(shù)和儲(chǔ)層參數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線早期、中期和晚期有很大影響。裂縫呈交錯(cuò)分布時(shí)，壓裂改造效果最好，早期壓力曲線最低。

3）彈性儲(chǔ)容比越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”越深；竄流系數(shù)越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”越靠右。

5 符號(hào)注釋

Ke為原始地層壓力下的滲透率，μm2；pe為原始地層壓力，MPa；μ 為儲(chǔ)層流體黏度，mPa·s；▽p 為壓力梯度，MPa/m；h為儲(chǔ)層厚度，m；qsc為地下生產(chǎn)總流量，m3/d；l為單位長(zhǎng)度線流量，m2/d；t為生產(chǎn)時(shí)間，d；φ 為孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa－1；Lh為水平井長(zhǎng)度，m；L為參考長(zhǎng)度，m；r為任意位置徑向距離，m；CF為裂縫導(dǎo)流能力，μm2·m；pw為考慮井筒儲(chǔ)集和表皮效應(yīng)的井底壓力，MPa；pwH為攝動(dòng)變換后不考慮井筒儲(chǔ)集和表皮效應(yīng)的井底壓力，MPa；C為井筒儲(chǔ)集系數(shù)，m3/MPa；LF為壓裂裂縫長(zhǎng)度，m；WF為壓裂裂縫寬度，m；p為任意時(shí)刻壓力，MPa；ω為彈性儲(chǔ)容比；λmf為竄流系數(shù)；αm為基質(zhì)塊形狀因子；ε為垂向無窮小長(zhǎng)度，m；δ為徑向無窮小長(zhǎng)度，m；s為 Laplace 變量；fD0為攝動(dòng)變換取零階的中間變量；k為階數(shù)；n為累加系列數(shù)；τ為積分變量；K0（x），I0（x）分別為零階第二類、零階第一類修正貝塞爾函數(shù)；xw，yw，zw分別為 x，y，z在點(diǎn)源三軸坐標(biāo)系上的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)；下標(biāo)ζ代表m，f，F(xiàn)，分別表示基質(zhì)、天然裂縫、壓裂裂縫；下標(biāo)D表示無因次。