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        圓中易錯點分析

        2021-06-07 05:30:42耿恒考特級教師
        初中生世界 2021年19期
        關(guān)鍵詞:錯因圓周角勾股定理

        文 耿恒考(特級教師)

        “圓”是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一,也是許多同學學習的難點。由于對“圓”的認識、理解和掌握難度較大,因此,同學們在學習中應(yīng)及時匯總自己的常錯問題,精心選擇有代表性的題目,通過細心分析歸納來化解難點。

        一、忽略了點與圓的不同位置關(guān)系

        例1平面內(nèi)有一個⊙O和一點P,若點P到⊙O上的點的最大距離為8cm,最小距離為2cm,求⊙O的半徑長。

        【錯因分析】對于這個問題,同學們更多的關(guān)注點在“點到圓上的最大距離和最小距離”上,無暇顧及點與圓的不同位置關(guān)系,往往只會考慮點P在圓外的一種情況,而忽略了點P在圓內(nèi)的情形。

        【正確解答】當點P在⊙O外時(如圖1),直線PO交⊙O于點A、B,點P到⊙O上的點的最大距離PB=8cm,最小距離PA=2cm,所以⊙O的半徑r=3cm;當點P在⊙O內(nèi)時(如圖2),直線PO交⊙O于點A、B,點P到⊙O上的點的最大距離PB=8cm,最小距離PA=2cm,所以⊙O的半徑r=5cm。

        圖1

        圖2

        二、忽略了一條弦所對的弧有兩條、所對的圓周角有兩組

        例2如圖3,AB是直徑為8cm 的⊙O的一條弦,如果AB=4cm,那么弦AB所對的弧長為______,弦AB所對的圓周角為______°。

        圖3

        【錯因分析】同學們關(guān)注較多的是劣弧,往往忽略一條弦所對的弧有兩條,且兩條弧的和為一個圓周長;一條弦所對的圓周角有兩組,且它們是互補關(guān)系。

        【正確解答】⊙O中弦AB所對的劣弧長為,弦AB所對的優(yōu)弧長為?!袿中弦AB所對的圓周角為30°或150°。

        三、忽略了弦與圓心的不同位置關(guān)系

        例3已知,內(nèi)直徑為100cm 的下水管道的橫截面是圓,截面圓中水面的寬度為80cm,求管道內(nèi)水面的深度。

        【錯因分析】同學們的思維常將水面定位于圓心的下方(如圖4),忽視了水面在圓心上方的情形(如圖5)。

        【正確解答】如圖4、圖5,過點O作OD⊥AB,垂足為點C,交⊙O于點D,則AC=BC=40cm。連接OA,根據(jù)勾股定理,得OC=。

        圖4

        圖5

        當水面在圓心O的下方時,管道內(nèi)水面的深度為50-30=20(cm);

        當水面在圓心O的上方時,管道內(nèi)水面的深度為50+30=80(cm)。

        例4已知,線段AB、CD是半徑為5cm的⊙O中的兩條弦,且AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求兩條弦AB、CD之間的距離。

        【錯因分析】對于這類問題,同學們習慣于關(guān)注兩條平行弦在圓心同側(cè),忽略了兩條平行弦在圓心異側(cè)的情形,導致漏解。

        【正確解答】如圖6、圖7,過點O作OE⊥AB,垂足為點E,交CD于點F,則OF⊥CD,則AE=3cm,CF=4cm。連接OA、OC,根據(jù)勾股定理,得3(cm)。

        圖6

        圖7

        當平行弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時,弦AB、CD之間的距離為4-3=1(cm);

        當平行弦AB、CD在圓心O的異側(cè)時,弦AB、CD之間的距離為4+3=7(cm)。

        四、忽略了圓的軸對稱性質(zhì)

        例5已知⊙O的半徑為5cm,AB為直徑,弦CD⊥AB,垂足為點E,CD=6,求AC的長。

        【錯因分析】對于這個問題,根據(jù)題意,同學們習慣于畫出圖8,而忽略了與之對稱的圖9。

        圖8

        【正確解答】如圖8,連接AC、OC。根據(jù)勾股定理,得OE=4cm,AE=5-4=1(cm)。在Rt△AEC中,由勾股定理得。如圖9,連接AC、OC。根據(jù)勾股定理,得OE=4cm,AE=5+4=9(cm)。在Rt△AEC中,由勾股定理,得。

        圖9

        本題也可以通過連接AC、OC、BC,利用相似三角形或射影定理來解決。

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