文 曹 丹

一、根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)、判定解決簡單問題

四邊形是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，其包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形。這部分內(nèi)容知識點多，考查形式豐富多樣，能力要求跨度大，是同學(xué)們復(fù)習(xí)的重難點之一。

例1（2020·北京）如圖1，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，點F、G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF。

圖1

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長。

【解析】本題第（1）問中，由菱形性質(zhì)可得O是BD中點，結(jié)合E是AD的中點，由中位線定理得OE∥AB，結(jié)合OG∥EF得?OEFG，由EF⊥AB得∠EFG=90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證。第（2）問中，由菱形可知AB=AD=10，BD⊥AC，又因為E是AD的中點，得，再由線段和差關(guān)系可得BG=AB-AF-GF，將問題轉(zhuǎn)化為求AF的長，通過勾股定理可求出，從而求得BG=2。

【總結(jié)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和矩形的判定。四邊形中求線段長通常結(jié)合勾股定理、線段和差關(guān)系等方法求解。

二、四邊形與運動變化

例2（2020·浙江嘉興）如圖2，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點M、N分別在邊AB、CD上，CN=1cm?，F(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，點B、C的對應(yīng)點分別為點B'、C'。當(dāng)點B'恰好落在邊CD上時，線段BM的長為________cm；在點M從點A運動到點B的過程中，若邊MB'與邊CD交于點E，則點E相應(yīng)運動的路徑長為_____cm。

圖2

【解析】如圖3，當(dāng)點B'恰好落在邊CD上時，由折疊可知，C'N=CN=1，B'C'=BC=2，B'M=BM，∠B'MN=∠BMN，∠C'=∠C，由矩形性質(zhì)得∠C'=∠C=90°，DC∥AB，所 以∠B'NM=∠BMN，所 以∠B'MN=∠B'NM，所 以B'M=B'N。在Rt△B'C'N中，由勾股定理得B'N=，則。在點M從點A運動到點B的過程中，起始位置如圖4 所示，折疊并結(jié)合矩形性質(zhì)得AE=EN。設(shè)AE=EN=x，則DE=DC-CN-EN=4-x。在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，則有22+（4-x）2=x2，解得，所以。如圖5，當(dāng)M運動到MB'⊥AB時，DE'的值最大，DE'=5-1-2=2。

圖3

圖4

圖5

因為MB'與邊CD有交點E，當(dāng)點M運動到如圖3 所示位置，即點B'落在CD上時，為運動結(jié)束位置，。所以點E的運動軌跡為E→E'→E''，運動路徑為。

【總結(jié)】本題是矩形折疊問題，考查了翻折、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，會綜合運用矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)。此外，本題還結(jié)合了動點問題，需要我們考慮運動的起始點、轉(zhuǎn)折點和結(jié)束點，感受運動的整個過程。

三、平面直角坐標(biāo)系中的四邊形

例3（2020·江蘇蘇州）如圖6，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D（3，2）在對角線OB上，反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖像經(jīng)過C、D兩點。已知平行四邊形OABC的面積是，則 點B的坐標(biāo)為（ ）。

圖6

【總結(jié)】平面直角坐標(biāo)系中的四邊形問題往往與求點的坐標(biāo)、函數(shù)表達式、面積等知識結(jié)合來考查。

四、四邊形探究型問題

例4（2020·河南）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB'，記旋轉(zhuǎn)角為α。連接BB'，過點D作DE垂直于直線BB'，垂足為點E，連接DB'、CE。

（1）如圖7，當(dāng)α=60°時，△DEB'的形狀為____，連接BD，可求出的值為____。

圖7

（2）當(dāng)0°＜α＜360°，且α≠90°時，

①（1）中兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖8 的情形進行證明；如果不成立，請說明理由。

圖8

②當(dāng)以點B'、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值。

【解析】（1）由題意得AB=AB'=AD，所以∠AB'D=∠ADB'。又因為∠BAB'=60°，所以△ABB'是等邊三角形，且∠DAB'=30°，所以∠AB'D=（180°-30°）=75°，所以∠DB'E=180°-60°-75°=45°。又因為DE⊥BE，所以△DEB'是等腰直角三角形。連接BD，如圖9，由正方形性質(zhì)得∠BDC=∠B'DE=45°，所以∠BDC-∠B'DC=∠B'DE-∠B'DC，即∠BDB'=∠CDE，由正方形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)得，所以△BDB'∽△CDE，所以。

圖9

（2）①連接BD，如圖10，因為AB=AB'，∠BAB'=α，所以。因為∠B'AD=α-90°，AD=AB'，所以，所以∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°。又因為DE⊥BE，所以△DEB'是等腰直角三角形，所以，由正方形性質(zhì)可得，∠BDC=45°，所以。因為∠EDB'=∠BDC，所以∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB，即∠BDB'=∠CDE，所以△BDB'∽△CDE，所以。

圖10

②以點B'、E、C、D為頂點，沒有強調(diào)順序，所以應(yīng)分類討論。若E在CD右側(cè)，如圖11，以點B'、E、C、D為頂點的四邊構(gòu)成平行四邊形，由前面的相似，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得B'C=DE，。又因為，所以。

圖11

若E在CD左側(cè)，如圖12，則B'E∥CD，所以B'E與AB共線，E與A重合，則。

圖12

【總結(jié)】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，綜合性較強。