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        深挖教材例、習題價值

        2021-06-07 05:30:38楊春霞
        初中生世界 2021年19期
        關鍵詞:對角線原題四邊形

        文 楊春霞

        在平時的學習中,由于受課堂時間的限制,對于教材上的經典例題、習題,我們可能只是掌握了題目呈現(xiàn)形態(tài)下的解題思路,而在課后遇到類似的問題,卻會感覺很陌生。下面介紹命題人常用的三種“法寶”,同學們可以借助這些“法寶”自己嘗試變式。

        一、強化條件再探究

        “強化”能體現(xiàn)從一般到特殊的數(shù)學思想。通過強化條件,我們可以發(fā)現(xiàn)原有問題的結論會不斷地發(fā)生變化,借助強化條件與原有條件的關系可以形成更多、更具體的結論。

        例1(蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第82 頁例5)已知:如圖1,在正方形ABCD中,點A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上,且AA′=BB′=CC′=DD′。

        求證:四邊形A′B′C′D′是正方形。

        【分析】因為四邊形ABCD是正方形,所以四條邊相等、四個角是直角。又有AA′=BB′=CC′=DD′,所以用四條相等的邊去分別減這些相等的線段,就得到BA′=CB′=DC′=AD′。結合四個角是直角,就能證明所分得的四個直角三角形全等,從而得到四邊形A′B′C′D′是菱形的結論。再選擇一對全等的直角三角形Rt△A′AD′≌Rt△B′BA′,得到∠AA′D′=∠A′B′B。因為∠A′B′B+∠B′A′B=90°,所以∠AA′D′+∠B′A′B=90°,則∠D′A′B′=90°,這樣就證得了四邊形A′B′C′D′是正方形。

        從原題的證明思路中我們可以發(fā)現(xiàn),原題是從線段的數(shù)量關系出發(fā),借助三角形全等得到需證圖形的四邊數(shù)量關系。這里的AA′=BB′=CC′=DD′,只說明數(shù)量相等,沒有指明具體的AA′長度,也就是說點A′、B′、C′、D′在原正方形ABCD四邊上具有一般性。如果確定AA′與AB的數(shù)量關系,是否可以得到不一樣的結論呢?我們可以通過“強化”條件得到下面的變式題。

        已知:如圖1,在正方形ABCD中,點A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上,且AA′=。

        圖1

        求證:四邊形A′B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的。

        變式題沒有改變原題中AA′=BB′=CC′=DD′的條件,但增加了線段與正方形邊長的數(shù)量關系,因此可以先借助勾股定理表示出,再借助圖形相似性質得到小正方形與原正方形的面積比為。

        二、弱化條件要分類

        “強化”條件可以在原有結論基礎上進一步發(fā)現(xiàn)由“強化”條件所得出的新結論,而“弱化”條件則往往需要進行分類解答。

        例2(蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第69 頁例3)已知:如圖2,在?ABCD中,點E、F在AC上,且AE=CF。

        圖2

        求證:四邊形EBFD是平行四邊形。

        【分析】這道題所提供的條件是“在?ABCD中,點E、F在AC上,且AE=CF”。我們可以連接BD,由?ABCD對角線互相平分得到AO=CO,BO=DO。因為明確點E、F在AC上,且AE=CF,所以EO=FO,再根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形EBFD是平行四邊形。此處對于“點E、F在AC上”,如果“弱化”條件,我們可以進行如下變式:

        在?ABCD中,點E、F在直線AC上,且AE=CF。試判斷四邊形EBFD是不是平行四邊形。

        這里因為“點E、F在直線AC上”,相對于原題“E、F在AC上”有所弱化,因此存在以下幾種情況:

        從圖中可以直觀判斷出圖4 和圖5 均不能判斷四邊形EBFD是平行四邊形;而圖3則類似原題,借助連接對角線這一輔助線來證明。變式是由于點E、F所在位置條件的弱化導致了圖形的不確定,因而產生分類的必要性。這里判斷是不是平行四邊形也存在“證實”與“證偽”的理解。證實,我們往往是借助嚴格的推理進行證明;證偽,我們可以通過舉反例這一方法來說明。

        圖3

        圖4

        圖5

        三、互逆條件論真假

        命題存在真假,需要證實或證偽;命題也存在互逆。我們在學習命題知識時知道,并不是所有真命題的逆命題一定是真的,因此,對題目進行的另一種主要變式就是交換條件和結論,探究逆命題的真與假。

        例3(蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第75 頁例1)已知:如圖6,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC=2AB。

        圖6

        求證:△AOB是等邊三角形。

        【分析】這道題以矩形為基礎,借助對角線AC與AB的數(shù)量關系,來探究對角線相交后所形成的△AOB是否為等邊三角形。此處利用矩形對角線互相平分且相等的性質可以得出AC=BD=2AO=2BO,結合條件AC=2AB,我們就能得到AO=BO=AB,從而判斷△AOB是等邊三角形。原題中的條件有兩個,一個是AC=2AB,另一個是矩形;結論是△AOB是等邊三角形。我們可以嘗試將結論△AOB是等邊三角形分別與其中一個條件交換,得到一個新的問題。如:

        已知:如圖7,四邊形ABCD是矩形,對角線AC、BD相交于點O,△AOB是等邊三角形。

        圖7

        求證:AC=2AB。

        【分析】變式后已知△AOB是等邊三角形,得到AO=BO=AB。由矩形對角線互相平分且相等,可以得出AC=BD=2AO=2BO,所以AC=2AB。

        那么大家想一想,如果將例3 的另一個條件與結論互換,我們可以得到什么樣的命題呢?

        已知:如圖8,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC=2AB,△AOB是等邊三角形。試判斷四邊形ABCD是否為矩形。

        圖8

        判斷這個命題是否成立,我們不妨舉圖8的反例來說明四邊形ABCD未必是矩形。

        同學們,我們在面對做過的數(shù)學題,尤其是教材中的例題和習題時,如果利用以上三種方式進行變式,那么書就能被我們讀厚實起來;如果我們能看到眾多習題之間的內在聯(lián)系,解決時再借助通法切入,此時眾多的習題則又可以歸為“一題”,書也就被我們讀“薄”了。

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