藺彥虎,秋朋園,汪久根,張靖

(1.浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,310027,杭州;2.臺(tái)州學(xué)院航空工程學(xué)院,318000,浙江臺(tái)州;3.浙江雙環(huán)傳動(dòng)機(jī)械股份有限公司傳動(dòng)研究院,318000,浙江臺(tái)州)

由于結(jié)構(gòu)簡單、對復(fù)雜載荷的耐受性及高溫環(huán)境中的穩(wěn)定性能,干摩擦阻尼器被廣泛引入薄壁旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)減振,起到明顯效果。例如,航空篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)、高速旋轉(zhuǎn)薄壁齒輪以及航空發(fā)動(dòng)機(jī)的葉-盤系統(tǒng),均是干摩擦減振技術(shù)的應(yīng)用[1]。隨著機(jī)加工技術(shù)的發(fā)展,葉-盤系統(tǒng)有被整體葉盤取代的趨勢。從減振角度來看[2],整體葉盤失去了榫槽、凸肩、楔塊、拉筋等結(jié)構(gòu),無法提供干摩擦阻尼效應(yīng),葉片工作中的振動(dòng)將加劇。通過對整體輪盤開凹槽安裝阻尼環(huán)[2]等方法,運(yùn)用接觸表面相對運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的干摩擦阻尼效應(yīng)達(dá)到減振目的。

干摩擦阻尼器結(jié)構(gòu)簡單,但設(shè)計(jì)性能優(yōu)異的干摩擦阻尼器卻有較大難度。原因是,結(jié)構(gòu)振動(dòng)過程中,摩擦接觸表面的黏滯-滑移-分離運(yùn)動(dòng)狀態(tài)難以確定,以及干摩擦力對這些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的非線性依賴。一旦干摩擦力無法準(zhǔn)確求解,就無法評估其阻尼效應(yīng),從而對干摩擦阻尼器的結(jié)構(gòu)和安裝參數(shù)設(shè)計(jì)帶來困難。因此,研究者們提出了不同的干摩擦阻尼器模型,以逼近阻尼器的真實(shí)運(yùn)動(dòng)-摩擦力關(guān)系,同時(shí)一些研究用數(shù)值方法確定阻尼器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[2]。

干摩擦模型起始于符號庫倫模型,Hartog研究了含有該模型的單自由度振子,得出封閉解[3]。Buyucataman用庫倫模型建模,以摩擦能耗最大化為優(yōu)化目標(biāo),為薄壁齒輪阻尼環(huán)安裝參數(shù)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)[4]。隨著研究的深入,人們逐漸意識到,庫倫符號模型不能描述觸點(diǎn)滑動(dòng)之前的彈性形變,因此不能準(zhǔn)確預(yù)測結(jié)構(gòu)振動(dòng)結(jié)果。于是,研究者將一根彈簧串聯(lián)于庫倫模型,用彈簧的形變描述滑移之前的彈性變形,這樣阻尼器模型就由庫侖模型進(jìn)化為滯后彈簧元模型。Griffin用滯后彈簧元模型計(jì)算了凸肩葉片的振動(dòng),發(fā)現(xiàn)計(jì)算準(zhǔn)確度得到了顯著提高[5]。串入彈簧使得觸點(diǎn)的滑移、黏滯和分離不僅依賴于法向力,還依賴于觸點(diǎn)和其牽引點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程,文獻(xiàn)[6-7]對滯后彈簧元模型空間運(yùn)動(dòng)的力-位移關(guān)系做了深入研究。

以上研究是以一個(gè)接觸點(diǎn)對描述整個(gè)阻尼器的接觸運(yùn)動(dòng),稱為宏滑移模型。宏滑移模型適合描述法向力均布、幅值較小,且結(jié)構(gòu)和阻尼器剛性均較好的情形。對于薄壁結(jié)構(gòu),存在較大法向力時(shí),阻尼器有可能在整體滑移之前,在接觸面局部發(fā)生滑移,這時(shí)若仍用宏滑移模型描述運(yùn)動(dòng),將不符合運(yùn)動(dòng)接觸的實(shí)際,給減振運(yùn)算帶來較大誤差。針對這種情況,文獻(xiàn)[8-9]采用一維運(yùn)動(dòng)微滑移解析模型為干摩擦阻尼器建模,計(jì)算了結(jié)構(gòu)頻響,并分析了與宏滑移模型相比計(jì)算結(jié)果異同的原因。

一維解析模型的缺點(diǎn)是對法向力分布形式和時(shí)變性的限制,阻礙了其運(yùn)用推廣。針對這一情況,文獻(xiàn)[10-11]采用解析分析和數(shù)值離散相結(jié)合的方法,將一維微滑移模型發(fā)展為適用于法向載荷時(shí)變,并考慮阻尼器整體滑移的情況[10]。文獻(xiàn)[12]將干摩擦阻尼器模型發(fā)展至三維空間,但其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的求解須同結(jié)構(gòu)振動(dòng)結(jié)合起來,求解中假設(shè)接觸運(yùn)動(dòng)的諧波數(shù)量要求較少,否則容易出現(xiàn)收斂問題。李琳系統(tǒng)總結(jié)了干摩擦減振模型的發(fā)展歷程,并提出結(jié)構(gòu)減振計(jì)算應(yīng)向高保真和新型干摩擦阻尼器模型設(shè)計(jì)方向發(fā)展[2];文獻(xiàn)[13-14]分別嘗試涂層干摩擦阻尼器的切、法向剛度模擬和微滑移接觸生熱及磨損問題,對干摩擦接觸特性進(jìn)行了進(jìn)一步拓展。

已有微滑移數(shù)值模型將阻尼器視為一維運(yùn)動(dòng),這種近似忽略了2個(gè)因素:①阻尼器本體在正交方向上的彈性耦合;②激勵(lì)點(diǎn)在阻尼器上的具體作用位置。如果兩正交方向的激勵(lì)處于同一位置,尚可簡化近似:將激勵(lì)合成在一個(gè)新的方向,并且不計(jì)耦合效應(yīng);若激勵(lì)處于不同位置,則會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

本文針對一維數(shù)值模型的上述限制,將接觸運(yùn)動(dòng)由一維擴(kuò)展至平面運(yùn)動(dòng),同時(shí)考慮阻尼器在正交方向的剛度耦合,提出了求解三維接觸運(yùn)動(dòng)的微滑移數(shù)值模型,并用數(shù)值跟蹤方法分析接觸點(diǎn)的黏滯、滑移和分離等現(xiàn)象。

1 三維運(yùn)動(dòng)微滑移模型的建立

圖1a所示為平板狀干摩擦阻尼器。Fz為法向載荷,可在阻尼器不同位置呈不同分布,可以是時(shí)變的,即Fz=Fz(D,t),D為位移向量,t為時(shí)間。為計(jì)及阻尼器自身柔性,將阻尼器離散,使用有限元模型對其進(jìn)行劃分,并獲取其剛度矩陣K。用ABAQUS建模,運(yùn)用Matrix Generate和Matrix Output命令,導(dǎo)出阻尼器剛度矩陣K[15],也可自行編制有限元程序,積分獲得其剛度矩陣。在接觸運(yùn)動(dòng)面,將滯后彈簧單元布置在有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),如圖1b所示。單元一端的小箭頭代表與配對接觸面的接觸點(diǎn),稱為觸點(diǎn);另一端點(diǎn)固連于節(jié)點(diǎn),稱為牽引點(diǎn)。在動(dòng)力學(xué)計(jì)算中,使用這些觸點(diǎn)表征面接觸的動(dòng)力學(xué)行為。

(a)法向力作用面

滯后彈簧元?jiǎng)偠菿d由Hertz接觸理論結(jié)合有限元網(wǎng)格密度確定,表示觸點(diǎn)沿正交兩方向的無耦合剛度,因此2×2矩陣Kd僅在對角線上有非零值且兩值相等。

滯后彈簧元具有如下式特點(diǎn)

(1)

式中:F表示觸點(diǎn)干摩擦力向量;μ為干摩擦系數(shù);Fz取值大于0具備實(shí)際意義;X為牽引點(diǎn)的位移向量。由式(1)可知,在法向力作用下,牽引點(diǎn)位移量較小時(shí),觸點(diǎn)不滑移,干摩擦力隨牽引點(diǎn)位移線性增長;當(dāng)牽引點(diǎn)位移達(dá)到一定量時(shí),彈簧元不再伸長,干摩擦力達(dá)到極值,觸點(diǎn)開始出現(xiàn)滑動(dòng)行為。

2 三維運(yùn)動(dòng)微滑移模型的求解方法

2.1 單觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡跟蹤求解法

微滑移模型雖有大量滯后彈簧元,但各元的運(yùn)動(dòng)和摩擦行為都遵從式(1),因此求解微滑移模型的接觸運(yùn)動(dòng)-干摩擦力行為,需先掌握單個(gè)滯后彈簧元的位移歷程和干摩擦力求解方法,即軌跡跟蹤方法。單觸點(diǎn)軌跡跟蹤方法最早由Sanliturk提出,但未闡述其求解機(jī)理[16]。單穎春應(yīng)用類似方法,結(jié)合時(shí)-頻算法,計(jì)算了航空發(fā)動(dòng)機(jī)帶凸肩葉片的頻響,取得了很好的效果[17]。

圖2給出了軌跡跟蹤求解可能發(fā)生的黏滯、分離及滑移3種可能狀態(tài),其中下標(biāo)i,i+1,…,i+5表示離散時(shí)間點(diǎn),向量U、V分別為牽引點(diǎn)和摩擦觸點(diǎn)的位移向量。如圖2所示,假設(shè)在ti時(shí)刻,牽引點(diǎn)位置在U(ti)、觸點(diǎn)位置在V(ti);在ti+1時(shí)刻,牽引點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至U(ti+1)位置,這時(shí)觸點(diǎn)將停滯在以U(ti+1)為圓心、μFz(ti+1)/|Kd(ti+1)|為半徑的摩擦圓上,停滯于摩擦圓上的具體位置可通過最小能耗原理得知。觸點(diǎn)從V(ti)移動(dòng)至V(ti+1),最小能耗為

(2)

式中:D(ti)=U(ti+1)-V(ti),表示ti+1時(shí)刻牽引點(diǎn)位置與ti時(shí)刻觸點(diǎn)的位置差(見圖2)。求解時(shí)間間隔取至足夠小時(shí),可認(rèn)為法向力Fz在ti至ti+1時(shí)段內(nèi)勻速變化或保持不變,這樣式(2)可寫為

圖2 觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡求解原理Fig.2 Principle of trajectory tracking method

(3)

觸點(diǎn)將滑動(dòng)至V(ti)與U(ti+1)的連線上,求解連線和該摩擦圓的交點(diǎn),即可得到觸點(diǎn)位移。

依據(jù)上述原理,求解時(shí)只需知道摩擦圓半徑、牽引點(diǎn)位置及觸點(diǎn)上一時(shí)刻的位置,即可得出當(dāng)前時(shí)刻觸點(diǎn)位移和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如圖2所示,假設(shè)ti+2時(shí)刻,牽引點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)至U(ti+2),同樣依據(jù)最小能耗原理,觸點(diǎn)將滑移至V(ti+1)與U(ti+2)的連線并停滯于以μFz(ti+2)/|Kd(ti+2)|為半徑的摩擦圓上;當(dāng)牽引點(diǎn)由U(ti+3)運(yùn)動(dòng)至U(ti+4)時(shí),ti+4時(shí)刻的摩擦圓覆蓋了觸點(diǎn)在ti+3時(shí)刻的位置V(ti+3),這時(shí)觸點(diǎn)將處于黏滯狀態(tài),從而V(ti+3)與V(ti+4)重合;當(dāng)牽引點(diǎn)由U(ti+4)運(yùn)動(dòng)至U(ti+5)時(shí),法向力為0,所以摩擦圓覆蓋面積為0,這時(shí)觸點(diǎn)將回彈至牽引點(diǎn),與其重合。同理,逐步計(jì)算即可求得觸點(diǎn)的整個(gè)位移歷程。當(dāng)牽引點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和法向力呈周期特征時(shí),將形成穩(wěn)定的位移-干摩擦力滯回環(huán)。

2.2 三維接觸運(yùn)動(dòng)-摩擦力求解流程

求解三維接觸運(yùn)動(dòng)-摩擦力需得知阻尼器自身剛度矩陣K,并標(biāo)定滯后彈簧元序號。設(shè)定接觸運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x、y方向?yàn)榻佑|運(yùn)動(dòng)方向,z方向?yàn)榉ㄏ蛄ψ饔梅较?求解時(shí)間離散,形成時(shí)間步。激勵(lì)可分為位移激勵(lì)和力激勵(lì),兩種類型算法略有不同,但基本求解思想都是尋求不同接觸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平衡解。本文算法以位移激勵(lì)類型為例。

觸點(diǎn)黏滯-滑移和分離的判定是阻尼器的位移-摩擦力求解的依據(jù),因此對觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及轉(zhuǎn)化條件進(jìn)行梳理,如表1所示。

表1 觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及轉(zhuǎn)化條件Table 1 Transforming conditions of the kinematic state

表中第1列E、S、I分別表示黏滯、滑移和分離狀態(tài),法向力Fz代表法向力大小,方向由其符號決定,可寫為標(biāo)量格式。

求解流程如下。

(1)將2×2對角矩陣Kd組裝于摩擦面相應(yīng)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)自由度上,形成總剛矩陣Ksum。即將Kd的x和y兩分量加至K相應(yīng)節(jié)點(diǎn)自由度上(相應(yīng)節(jié)點(diǎn)自由度由接觸面節(jié)點(diǎn)序號確定,兩分量將添加至K的對角線上)。

(2)假設(shè)U1=0,V1=0,F1=0,下標(biāo)“1”代表求解時(shí)間步i=1,還假設(shè)觸點(diǎn)處于全黏滯狀態(tài)。

(3)應(yīng)用矩陣右除法,在給定位移激勵(lì)增量下,求解平衡方程KsumΔU=0,得到各狀態(tài)向量增量ΔU、ΔF、ΔV。

(4)Ui+1=Ui+ΔUi,Vi+1=Vi+ΔVi,Fi+1=Fi+ΔFi。

(5)依據(jù)表1所列判定條件,檢查各觸點(diǎn)運(yùn)行狀態(tài)是否滿足黏滯-滑移和分離狀態(tài)轉(zhuǎn)換條件,如滿足,則根據(jù)式(1)修正對應(yīng)狀態(tài)向量Ui+1、Vi+1、Fi+1,標(biāo)記對應(yīng)觸點(diǎn)黏滯-滑移和分離狀態(tài),轉(zhuǎn)至步驟(6);如觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未發(fā)生轉(zhuǎn)化,則返回步驟(3)繼續(xù)下一時(shí)間步的求解。

(6)對總剛矩陣Ksum做如下調(diào)整:若ti+1時(shí)刻,某觸點(diǎn)由分離或滑移轉(zhuǎn)向黏滯,則Ksum應(yīng)在對應(yīng)節(jié)點(diǎn)自由度的主方向(對角線)加上滯后彈簧元的剛陣Kd;若ti+1時(shí)刻某觸點(diǎn)由黏滯轉(zhuǎn)為滑移或者分離狀態(tài),此時(shí)滯后彈簧元?jiǎng)偠仁?應(yīng)將Ksum對應(yīng)節(jié)點(diǎn)自由度主方向減去Kd;若ti+1時(shí)刻觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與i時(shí)刻相同,則對Ksum不做調(diào)整。

(7)判斷求解時(shí)間節(jié)點(diǎn)是否完成,完成則求解完畢,未完成則返回步驟(3)。

需要注意,總剛矩陣Ksum是一個(gè)變量矩陣,其值隨觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)化而發(fā)生相應(yīng)變化。當(dāng)所有觸點(diǎn)處于滑移、分離或滑移-分離混合狀態(tài)而無黏滯觸點(diǎn)時(shí),滯后彈簧元將全部失效,這時(shí)Ksum將退化為奇異矩陣,條件數(shù)Cond(Ksum)過大,導(dǎo)致矩陣的右除計(jì)算無法進(jìn)行;這時(shí)不再進(jìn)行矩陣右除運(yùn)算,而用滯后彈簧單元的性質(zhì)和單觸點(diǎn)跟蹤原理確定各狀態(tài)向量的值:如ΔU和ΔV與激勵(lì)點(diǎn)位移增量相等,ΔF則由上一時(shí)刻的F結(jié)合ΔU、ΔV共同確定。另外,為了保證求解中矩陣右除計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性,算法規(guī)定當(dāng)某一時(shí)刻處于黏滯狀態(tài)的觸點(diǎn)數(shù)量小于等于2時(shí),可認(rèn)為所有觸點(diǎn)處于全滑移或滑移-分離混合狀態(tài),從而不再進(jìn)行右除運(yùn)算,而是按照上述修正方法確定各狀態(tài)向量。這樣就解決了大條件數(shù)矩陣除法運(yùn)算的數(shù)值穩(wěn)定性問題。經(jīng)驗(yàn)證,求解結(jié)果與不進(jìn)行這樣處理計(jì)算得出的求解結(jié)果相差不大。

3 算 例

3.1 算例1

平板干摩擦阻尼器材料為65Mn,表面經(jīng)淬火處理,彈性模量E=20 700 MPa,泊松比λ=0.27。阻尼器為規(guī)則長方體,長、寬、高分別為50、30、1.2 mm。在模型長、寬、高方向分別布置11、7、2個(gè)節(jié)點(diǎn),劃分單元,其剛度矩陣整理為462×462。

模型法向載荷及激勵(lì)點(diǎn)位置如圖3所示。載荷分布為Fz=9+0.15(x-25)2N,Ly=0.13sin(t+π/4)mm,Lx=0.11sin(t)mm,分別為平面內(nèi)y和x方向的位移激勵(lì)。

圖3 法向載荷形式與激勵(lì)位置Fig.3 Normal load type and location of excitation

模型接觸面含77個(gè)節(jié)點(diǎn),在每一節(jié)點(diǎn)布置滯后彈簧單元,見圖1b,彈簧元?jiǎng)偠葹?00 N/mm。圖4小紅點(diǎn)①～表示后續(xù)接觸運(yùn)動(dòng)圖及運(yùn)動(dòng)-干摩擦力圖繪制時(shí)(圖5、圖6、圖8和圖9)所選擇的觸點(diǎn)。

圖4 運(yùn)動(dòng)歷程及摩擦力觸點(diǎn)Fig.4 Contact nodes for demonstration

圖5 觸點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)歷程Fig.5 Trajectories of the contact points with planar motion

如圖3和圖4所示:x、y兩方向激勵(lì)位于阻尼器正中心位置,法向載荷也關(guān)于x、y軸對稱,因此位于阻尼器中間位置的節(jié)點(diǎn)更趨向滑動(dòng),且關(guān)于阻尼器中心呈對稱特點(diǎn);兩端法向力大且遠(yuǎn)離激勵(lì)點(diǎn),因此更趨向黏滯;與阻尼器本身剛度相比,觸點(diǎn)剛度較小,且阻尼器中參與滑移的節(jié)點(diǎn)數(shù)量較多(滑移時(shí)觸點(diǎn)剛度失效),與各觸點(diǎn)對應(yīng)的牽引點(diǎn)位移軌跡主要由激勵(lì)位置和阻尼器本身剛性決定,僅有微小差異,圖中不易看出。

在穩(wěn)定狀態(tài)下,圖4所示各觸點(diǎn)x、y方向的位移-干摩擦力滯回曲線見圖6。未滑移的觸點(diǎn)干摩擦力呈線性特點(diǎn);而參與滑移的觸點(diǎn),依滑移程度呈現(xiàn)出環(huán)狀滯回曲線。該曲線由阻尼器柔性,接觸面切、法向剛度,法向力及激勵(lì)大小、位置共同決定,其圍成的面積代表觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)周期的干摩擦能耗。在結(jié)構(gòu)附加干摩擦減振過程中,阻尼器的滑移部分可提供阻尼效應(yīng),而黏滯部分增加了結(jié)構(gòu)剛度,起到一定的調(diào)頻作用。

圖6 部分觸點(diǎn)位移-干摩擦力滯回曲線Fig.6 Hysteresis loops of dry friction force versus displacement

(4)

(a)總滯回曲線

3.2 算例2

算例1兩方向激勵(lì)位于同一節(jié)點(diǎn),在阻尼器中心位置。算例2將x、y兩方向激勵(lì)施加于圖3藍(lán)色箭頭,Lx=0.2sin(t)mm,Ly=0.14cos(t)mm,其他參數(shù)同算例1,得到圖8所示的觸點(diǎn)位移歷程曲線和圖9所示的位移-干摩擦力滯回曲線。圖中顯示了觸點(diǎn)跟蹤歷程,可以看出,達(dá)到穩(wěn)定滯回所需跟蹤周期較算例1多了1個(gè)。算例2的x方向激勵(lì)位于阻尼器右端(如圖3所示),且激勵(lì)幅值較大,由于阻尼器兩端法向力較大,導(dǎo)致兩端接觸位置更趨向黏滯狀態(tài);靠近激勵(lì)點(diǎn)位置的滯回環(huán)更加飽滿,阻尼器呈部分滑移狀態(tài)。從圖8還可看出,阻尼器自身柔性和干摩擦位移歷程相關(guān)性共同促成觸點(diǎn)和跟蹤點(diǎn)的位移協(xié)調(diào),最終形成穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)軌跡。該穩(wěn)定軌跡不依賴于求解初始位置,這和單觸點(diǎn)模型的滯回特性是一致的[17]。

圖8 觸點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)歷程Fig.8 Trajectories of the contact points with planar motion: exm.1

圖9 位移-干摩擦力滯回曲線2Fig.9 Hysteresis loops of versus dry friction force displacement: exm.2

求解過程是在時(shí)間歷程上逐點(diǎn)求解,然后對觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐個(gè)判定,因此該求解流程還可計(jì)算法向力時(shí)變情況、多點(diǎn)激勵(lì)狀態(tài)以及阻尼器分離狀態(tài)。當(dāng)法向力時(shí)變時(shí),牽引接觸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化較多,軌跡較難穩(wěn)定,一般需要3至5個(gè)周期。

4 模型在結(jié)構(gòu)頻響分析中的應(yīng)用

4.1 帶凸肩葉片振動(dòng)模型與求解方法

可將圖10所示葉片與凸肩減振結(jié)構(gòu)簡化為如圖11所示的正交二自由度結(jié)構(gòu),質(zhì)量為M,x、y方向的剛度和阻尼分別為Kx、Ky、Cx及Cy。該正交2自由度系統(tǒng)控制方程為

(5)

圖10 凸肩接觸示意圖Fig.10 Contact configuration of blades

圖11 凸肩葉片2自由度模型Fig.11 2-degree of freedom model of a shrouded blade

式中:Fx(x,y)、Fy(x,y)為干摩擦力,是x、y的函數(shù),x、y方向的運(yùn)動(dòng)通過阻尼器產(chǎn)生相互影響;P1和P2表示兩方向激勵(lì)力幅值。

如圖10所示,干摩擦阻尼器固連于M質(zhì)量塊,法向力Fz與葉片y向相對位移關(guān)系為

Fz=Fz0+Kzysin(β)

(6)

式中:Fz0為初始法向力大小;Kz為阻尼器法向接觸剛度;β角為凸肩接觸角。

計(jì)算所需結(jié)構(gòu)參數(shù)和阻尼器參數(shù)見表2。阻尼器結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)同前。

表2 計(jì)算所需阻尼器參數(shù)和模型參數(shù)Table 2 Model parameters and damper parameters for calculation

式(5)含有強(qiáng)邊界非線性因素,采用混合時(shí)頻法(HTF)[18]求解該問題。其求解思路是,先將激勵(lì)、位移、干摩擦力進(jìn)行傅里葉變換表示在頻域中

(7)

式中:s(t)表示x(t)、y(t)、Fx(t)、Fy(t)、P1(t)、P2(t);Sk表示X(k)、Y(k)、Fx(k)、Fy(k)、P1(k)、P2(k)是s(t)為變量對應(yīng)的第k階傅里葉系數(shù);ω和t分別為激勵(lì)頻率與時(shí)間;h為計(jì)算所取傅里葉級數(shù)的最高階數(shù)。這樣,可將式(4)寫為

ΛkXk-Pk+Fk(x0,y0,…,xh,yh)=0

(8)

式中:Λk=-(kω)2M+jkωC+K,Λk為動(dòng)剛度矩陣。進(jìn)一步將式(7)寫為如下格式

Γ(X)=ΛX-P+F(X)

(9)

HFT方法的求解流程如下:

(1)對式(8)的諧波系數(shù)X進(jìn)行快速傅里葉逆變換(IFFT),得到x、y方向的位移歷程;

(2)依據(jù)步驟(1)得到的位移序列計(jì)算干摩擦力;

(3)對干摩擦力序列進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT),得到表示干摩擦力的傅里葉諧波系數(shù)Fk;

(4)依據(jù)上步得到的Fk計(jì)算式(8),如果未收斂(足夠接近0),則用Broyden方法迭代生成新的X,返回步驟1繼續(xù)計(jì)算,若收斂,則計(jì)算下一頻率點(diǎn)。

4.2 求解結(jié)果及對比

為考察阻尼器本身柔性對減振效果影響,提出等效模型。等效模型用單觸點(diǎn)代替接觸面,剛度Kx=Ky=38 500 N/m,這時(shí)阻尼器退化為宏滑移模型。干摩擦阻尼器帶來附加剛度,對結(jié)構(gòu)起到調(diào)頻作用,使兩方向固有頻率上升至2 710 Hz。圍繞其固有頻率進(jìn)行3種法向力下的微、宏滑移模型的頻響分析,x方向結(jié)果如圖12所示,y方向的計(jì)算結(jié)果與x方向相仿。

圖12 宏、微滑移模型振動(dòng)頻響結(jié)果Fig.12 FRF results of macro- and micro-slip model

如圖12所示,距離固有頻率較遠(yuǎn)的頻率點(diǎn),振動(dòng)幅值小,阻尼器不易滑動(dòng),阻尼器提供了附加剛度,有利于抑制振動(dòng)。當(dāng)法向力較小時(shí),隨著計(jì)算頻率向固有頻率靠近,結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值的增加使阻尼器出現(xiàn)滑移現(xiàn)象。滑移一方面使滯后彈簧失效,為系統(tǒng)一定程度上起到調(diào)頻作用,另一方面為系統(tǒng)提供干摩擦阻尼,起到減振效果。當(dāng)法向力較大時(shí),對于宏滑移模型,大的法向力使觸點(diǎn)無法滑動(dòng),因此無法起到阻尼效應(yīng)和調(diào)頻作用,振動(dòng)峰值計(jì)算結(jié)果偏大;對于微滑移模型,雖然法向力較大,但阻尼器自身的彈性協(xié)調(diào)變形使得其局部位置(觸點(diǎn))發(fā)生了滑移,起到了阻尼效應(yīng),同時(shí)起到較小的調(diào)頻作用,使得頻響計(jì)算結(jié)果較小。在共振頻率點(diǎn),宏滑移模型頻響結(jié)果為0.049 m,而微滑移模型結(jié)果為0.038 m,相差22.4%,由此可見,計(jì)算中計(jì)入微滑移效應(yīng)的區(qū)別。另外,由圖12還可以看出,對于確定幅值的外力激勵(lì),存在一個(gè)最優(yōu)法向力,在該法向力下干摩擦阻尼器可達(dá)到好的振動(dòng)抑制效果。

Griffin用宏滑移模型計(jì)算凸肩葉片頻響,發(fā)現(xiàn)接觸剛度小、法向力較大時(shí),實(shí)驗(yàn)結(jié)果小于計(jì)算結(jié)果,如圖13所示[5]。由于不知悉Griffin計(jì)算模型參數(shù),無法應(yīng)用本文改進(jìn)的阻尼器模型做計(jì)算,但可用本文計(jì)算結(jié)果對計(jì)算和實(shí)驗(yàn)偏差給出解釋:當(dāng)法向力較小、阻尼器剛度較大時(shí),阻尼器更像是一個(gè)剛體,可以用宏滑移模型描述,因此法向力較小時(shí)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異不大;當(dāng)法向力增大時(shí),阻尼器在整體滑動(dòng)之前,產(chǎn)生了局部滑移和阻尼效應(yīng),抑制了振動(dòng);但該計(jì)算中使用了宏滑移模型,無法體現(xiàn)局部滑移效應(yīng),致使計(jì)算值較實(shí)驗(yàn)值偏大。

圖13 Griffin計(jì)算與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力結(jié)果對比[5]Fig.13 Stress comparison between Griffin’s calculation and test

5 結(jié) 論

建立了二維接觸運(yùn)動(dòng)干摩擦阻尼的數(shù)值模型,分別用宏滑移模型和本文改進(jìn)的模型為帶凸肩葉片建模,并分析了兩種模型振幅頻響異同的原因。

(1)考慮阻尼器自身柔性,將阻尼器離散,在其接觸面節(jié)點(diǎn)安置滯后彈簧單元,形成干摩擦阻尼器的平面微滑移數(shù)值模型。

(2)考慮觸點(diǎn)的黏滯、滑移、分離狀態(tài)和相互轉(zhuǎn)換條件,構(gòu)建微滑移阻尼器的運(yùn)動(dòng)平衡方程,在時(shí)間序列上求解該方程,可得到各觸點(diǎn)的位移-干摩擦力滯回關(guān)系及運(yùn)動(dòng)-干摩擦力時(shí)間歷程。對各觸點(diǎn)求和,得到干摩擦阻尼器對外的摩擦約束邊界條件。

(3)運(yùn)用該摩擦模型對含凸肩葉片建模,求解葉片正交方向頻響。計(jì)算結(jié)果表明,微滑移模型的局部滑移可帶來阻尼效應(yīng),這種效應(yīng)是宏滑移模型無法預(yù)計(jì)的。