0,則a的取值范圍是()A.(2,+∞)? ?B."/>

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        說零點(diǎn)問題

        2021-06-06 13:25:52王曉紅
        黑龍江教育·中學(xué) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:方法

        王曉紅

        題目:已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是()

        A.(2,+∞)? ?B.(1,+∞)? ?C.(-∞,-2)? ?D.(-∞,-1)

        高考背景:

        此題是2014年新課標(biāo)I理科11題,是一道關(guān)于零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題.在近幾年的高考中,零點(diǎn)問題頻頻出現(xiàn),不僅出現(xiàn)于客觀題中,考查考生對(duì)零點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與基本技能的掌握,而且滲透于主觀題中,多與導(dǎo)數(shù)有機(jī)融合,考查考生的思辨能力、轉(zhuǎn)化能力.該類型題的特征是:設(shè)問多樣、隱顯分明、注重基礎(chǔ)、適度交匯,其解法要因題擇法,既要重視定義、定理、構(gòu)造等代數(shù)方法,又要強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想.事實(shí)上,教材概述零點(diǎn)問題,就給零點(diǎn)賦以“形”與“數(shù)”的雙刃面,這不僅拓展了知識(shí)理解的深度,而且提升了問題解答的寬度.

        知識(shí)準(zhǔn)備:

        1.函數(shù)零點(diǎn)的定義.

        一般地,如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)a處的值等于零,即f(a)=0,則a叫作這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

        2.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系.

        方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?圳函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

        解題方法:

        題目:已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是()

        A.(2,+∞)? ? B.(1,+∞)? ?C.(-∞,-2)? ?D.(-∞,-1)

        解法一:一個(gè)函數(shù)討論畫圖象.

        函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),即y=f(x)函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此,求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

        f '(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

        ①a=0時(shí),f(x)=-3x2+1,易知舍去.

        ②a>0時(shí),f(x)=0則x1=0,x2 =

        由圖象可知函數(shù)f(x)存在負(fù)數(shù)零點(diǎn),此時(shí)不滿足題意.

        ③a<0時(shí),

        由圖可知函數(shù)f(x)的極大值為f(0)=1>0,所以只需f(x)的極小值f()>0,所以a<-2.

        綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-2).

        解法二:轉(zhuǎn)化為方程的根,然后參量變量分離.

        函數(shù)f(x)的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此,求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0的根.

        轉(zhuǎn)化為ax3-3x2+1=0有唯一根,且此根為負(fù).a=,設(shè)y=(奇函數(shù)),y'=

        x → 0時(shí),y → -∞.

        x → +∞時(shí),y → 0.

        由圖可知,a<-2.

        解法三:轉(zhuǎn)化為方程的根,然后化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

        函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此,求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為y=f(x)函數(shù)的圖象與軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo),或?qū)⒎匠蘤(x)=0整理成f1(x)=f2(x)的形式,然后在同一直角坐標(biāo)系下,畫出函數(shù)y=f1(x),y=f2(x)的圖象,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

        ax3-3x2+1=0,x2(ax-3)+1=0,ax-3=-.

        y=ax-3與y=-相切時(shí),斜率為±2,由題意可知a<-2.

        歸納說明:化為兩個(gè)函數(shù)時(shí),選擇曲線對(duì)曲線不易控制,選擇直線對(duì)曲線相對(duì)容易.

        比對(duì)三種方法,分析哪個(gè)方法更適合本題.

        變式訓(xùn)練:

        變式(1)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是? ? ? ? ? ?.

        變式(2)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? .

        變式(3)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)在區(qū)間[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是? ? ? ? ? ?.

        首先用上述的第一種方法解決三個(gè)變式

        變式(1)

        ①a=0時(shí)可以,

        ②a>0且f()=0,

        ③a<0且f()=0,

        ∴a為2或-2或0.

        變式(2)

        ①a>0且f()<0,

        ②a<0且f()>0,

        ∴-2

        變式(3)

        a>0,f(0)≥0,f(2)≥0,f()<0,

        用上述另外兩種方法解決三個(gè)變式,分析哪方法更恰當(dāng).

        變式(4)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若x>0,f(x)>0恒成立,則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

        首先用上面的第一種方法解決,

        ①a=0舍去,

        ②a>0且f()>0,

        ③a<0舍去,

        ∴a>2.

        用另外兩種方法解決,分析哪個(gè)方法更恰當(dāng).

        變式(5)(高考題)當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(? ?)

        A.[-2,-3]? ? ?B.[-6,]? ? ? C.[-6,-2]? ? ?D.[-4,-3]

        當(dāng)x=0時(shí),a∈R,成立.

        當(dāng)0

        在00,故y在[0,1]上遞增.

        ∴ymax=-6,∴a≥-6.

        當(dāng)-2≤x<0時(shí),a≤,同理可知,

        ∴a≤-2.

        綜上所述,-6≤a≤-2.

        對(duì)于本題,若是從“求函數(shù)f(x)=ax3-x2+4x+3(-2≤x≤1)的最小值”角度求解將很麻煩,例題本身求導(dǎo)之后可以因式分解,用最值法容易解決,所以解題需要合理的方法.

        變式(6)(高考題)當(dāng)a<時(shí), 關(guān)于x的不等式(ex-a)x-ex+2a<0的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

        轉(zhuǎn)化為(x-1)ex

        -3a>-2e-1-3e-2≥-4a,∴≤a<

        歸納說明:將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)更為恰當(dāng),隱直線的挖掘,進(jìn)而化為直對(duì)曲..

        歸納總結(jié):

        解決函數(shù)零點(diǎn)問題主要依賴數(shù)形結(jié)合,可以直接用一個(gè)函數(shù)討論畫圖象,也可以參變量分離,又可以化為兩曲線(兩函數(shù))討論畫圖象,無論選擇哪種辦法都依賴于圖象,正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.我們可以從體會(huì)更深刻的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

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