莊宇

最值問(wèn)題分代數(shù)最值和幾何最值兩類(lèi)，其中幾何最值問(wèn)題既能考查同學(xué)們對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，又能更好地體現(xiàn)試題的區(qū)分度和效度，是近幾年數(shù)學(xué)學(xué)科中考命題者偏愛(ài)的壓軸題型之一. 下面舉例介紹此類(lèi)問(wèn)題的破解之法，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

[ 原題再現(xiàn)]

例（2015·遼寧·沈陽(yáng)·第25題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)[y=-23x2-43x+2]與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D.

①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，若PE = PC，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

②在①的條件下，點(diǎn)F是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且點(diǎn)F到EA和ED的距離相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF的長(zhǎng);

③若點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)R是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)R不與點(diǎn)A，C重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出△PQR周長(zhǎng)的最小值.

[ 破解策略]

（1）第一問(wèn)屬于典型的代數(shù)計(jì)算，此問(wèn)題的設(shè)置符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的基本要求，使試題變得容易入手，同時(shí)也為解決后面的問(wèn)題做好了鋪墊.

（2）第二問(wèn)可根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用轉(zhuǎn)化的思想，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段長(zhǎng)，再根據(jù)PE = PC建立一個(gè)一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解出方程即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).這個(gè)求解過(guò)程中包括了點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化，以及通過(guò)等量關(guān)系建立方程求線(xiàn)段長(zhǎng)等常用的方法，這是同學(xué)們必須要掌握的.

（3）第三問(wèn)中由“點(diǎn)F到EA和ED的距離相等”和角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理可知EF是∠AED的平分線(xiàn). 如何確定點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上的位置，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)，是此問(wèn)的第一個(gè)難點(diǎn).圖1中點(diǎn)A，E，D的坐標(biāo)隱含了角平分線(xiàn)EF與坐標(biāo)軸的特殊位置關(guān)系，這個(gè)位置關(guān)系可以通過(guò)三角函數(shù)解決. 這里很多同學(xué)容易忽視另外一個(gè)問(wèn)題，就是本題的圖形中角平分線(xiàn)EF沒(méi)有明確畫(huà)出，究其原因就是其位置不確定，這就需要同學(xué)們結(jié)合題意考慮圖形的各種可能性，進(jìn)行分類(lèi)討論，這是此問(wèn)的第二個(gè)難點(diǎn).

（4）第四問(wèn)具有一定的思維難度，此類(lèi)問(wèn)題通常的思考角度有兩個(gè)：

①三角形周長(zhǎng)最短，也就是線(xiàn)段和最短，最容易聯(lián)想到的知識(shí)是“將軍飲馬”問(wèn)題，因此解題策略就是利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)實(shí)現(xiàn)“折”變“直”.

②問(wèn)題表面上是“三個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，讓人感覺(jué)有些束手無(wú)策，但是通?？梢园哑渲幸稽c(diǎn)固定住，變成兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 （把x軸上的點(diǎn)P固定），此時(shí)試題就演變成我們常見(jiàn)的下面這道問(wèn)題：

問(wèn)題1：如圖2，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)任意一點(diǎn)，∠MON = α°，OP = a，在射線(xiàn)OM，ON上各找一點(diǎn)A，B，使△PAB的周長(zhǎng)最短，并求出△PAB的周長(zhǎng)的最小值.（此題后面給出答案）

這樣就把一個(gè)陌生的試題演變成我們常見(jiàn)的問(wèn)題進(jìn)行解決.

任何一道“難題”都是在由若干個(gè)基本知識(shí)作鋪墊的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而思路受阻的原因之一往往是忽略那些由已知條件能直接得到的結(jié)論，因此良好的“標(biāo)圖”習(xí)慣可以幫助我們直觀地獲得結(jié)論，進(jìn)而突破難點(diǎn).

此問(wèn)中就需要掌握“已知三角形的三邊求其高”“等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)”“三角函數(shù)”等初中階段較為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).所以我們可以通過(guò)“標(biāo)圖”后進(jìn)行如下思考：

由本題的第（1）問(wèn)已經(jīng)求出A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求AB，BC，AC的長(zhǎng)，至此還能得到什么結(jié)果？△ABC的面積是多少？△ABC三邊上的高是多少？△ABC三個(gè)銳角的三角函數(shù)值是多少？……

如圖3所示，△ABC的三邊長(zhǎng)易求，利用面積法可求出三邊上的高，這樣三個(gè)銳角的三角函數(shù)值就容易求出了.

注：若我們平時(shí)有這種“追問(wèn)”的習(xí)慣，相信很多難題都會(huì)被我們脫下“偽裝”的外衣！

讓我們來(lái)解決問(wèn)題1.

解析：這是“將軍飲馬”問(wèn)題的基本模型.

如圖4，分別作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2，分別交OM，ON于點(diǎn)A，B，則△PAB的周長(zhǎng) = P1P2，

連接OP1，OP2，

則可得△OP1P2是等腰三角形，且腰長(zhǎng)為a，頂角為2α°，

過(guò)點(diǎn)O作OH⊥P1P2于H，利用“三線(xiàn)合一”及三角函數(shù)可求得P1P2 = 2asin α.

則△PAB的周長(zhǎng)的最小值為2asin α.

讓我們?cè)賮?lái)解決下面這道題.

回歸原題：如圖7，在線(xiàn)段BC上任取一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2，“分別交AB，AC于Q，R”，

則△PQR周長(zhǎng) = P1P2.

其中△AP1P2是等腰三角形，腰長(zhǎng)P1A = P2A = AP，頂角∠P1AP2? = 2∠BAC.

再回頭看一下問(wèn)題1和問(wèn)題2，可得到P1P2 = 2AP × sin∠BAC.

因?yàn)閟in∠BAC是定值，所以當(dāng)AP的值最小時(shí)△PQR的周長(zhǎng)最小.

由“垂線(xiàn)段最短”可知，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合（AP = AO）時(shí)AP的值最小，本題中AO是定值，sin∠BAC是定值，至此問(wèn)題得到解決.

[ 原題延伸]

針對(duì)例題第（2）問(wèn)可以做以下變式：

變式1：如圖8，點(diǎn)E是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若使四邊形AEBC面積最大，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

變式2：在變式1的條件下，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥x軸于點(diǎn)P交AB于點(diǎn)G，在直線(xiàn)AB上找一點(diǎn)F，使△BPG與△EFG相似，且相似比為k，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值.