孫琪凱， 張 楠， 劉 瀟， 陶曉燕， 鄭 宇， 霍明宇

(1. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044； 2. 高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100081； 3. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081)

近幾年來，隨著我國鐵路事業(yè)的發(fā)展，鋼-混組合梁以其自重輕、承載力高的特點而備受關注。鋼-混組合梁由處于受壓區(qū)的混凝土板和受拉區(qū)的鋼梁兩部分組成，其間通過剪力鍵來傳遞剪力[1]。在實際工程應用中，一般鋼-混組合梁的梁端剪力鍵布置較密集，而跨中較稀疏[2]；再者，鋼梁截面沿梁長可能是變化的。從而造成剛-混組合梁的抗彎剛度沿梁長是變化的，這種梁型可被稱為考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁。

由于鋼-混組合梁間的剪力鍵是柔性的，使得混凝土板和鋼梁之間會產(chǎn)生相對滑移。在分析鋼-混組合梁動力特性時，必須考慮相對滑移造成的影響[3-4]。鋼-混組合梁動力特性的研究已比較常見，基于Euler-Bernoulli梁理論，侯忠明等[5-6]采用直接平衡法推導了考慮界面相對滑移的鋼-混組合梁自振特性解析解，并在此基礎上提出了動力剛度折減系數(shù)。對于大高跨比的鋼-混組合梁，若繼續(xù)忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣性對自振頻率的影響，計算結果將存在較大的誤差。為減小這種誤差，Xu等[7-9]把各子梁按照Timoshenko梁考慮，得到了鋼-混組合梁自由振動模態(tài)的精確解析解。鑒于較難確定Timoshenko梁理論中的剪切變形系數(shù)，He等[10-11]在研究短粗鋼-混組合梁的動力性能時，引入了高階剪切理論。以上相關鋼-混組合梁動力性能研究中，均假設梁體抗彎剛度沿梁長不變，未涉及到考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁。

再者，大量學者[12-16]的試驗及理論研究結果表明鋼梁和混凝土板界面連接處的黏結效應和摩擦效應對鋼-混組合梁的受力性能影響較小，一般可忽略并將其作為一種安全儲備，只考慮二者間的剪力連接鍵作用。

本文中基于能量原理，采用分區(qū)變分法推導了考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁彎曲運動微分方程并求解。給出了簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種常見邊界條件下，考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振頻率的解法。最后，對兩孔鋼-混組合梁的理論計算、ANSYS數(shù)值模擬和實驗測試結果進行了對比分析。

1 基本假定

圖1 考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁構造圖Fig.1 Structural drawing of steel-concrete composite beam considering longitudinal stiffness distribution

分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性時，基本假定如下：①混凝土板和鋼梁均為線性彈性體；②混凝土板與鋼梁間始終保持豎向密貼而水平向可相對滑動，即混凝土板不會發(fā)生豎向掀起脫離；③混凝土板與鋼梁均按照Euler-Bernoulli梁理論考慮，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量；④鋼-混組合梁變形與結構尺寸相比為小量；⑤混凝土板與鋼梁之間是光滑的,即可忽略混凝土與鋼梁之間的黏結力，結合面處剪力全部由剪力鍵承受，剪力鍵等效為連續(xù)分布的彈簧。

2 運動微分方程

2.1 位移場函數(shù)

(1)

式中，hc，hs分別為混凝土板和鋼梁形心軸到鋼混分界面的距離。

圖2 鋼-混組合梁位移場Fig.2 Displacement field of steel-concrete composite beam

由豎向密貼假定，可知混凝土板和鋼梁的豎向位移相等。因此鋼-混組合梁位移場函數(shù)可假設為

(2)

根據(jù)假設，鋼-混組合梁處于彈性工作狀態(tài)，混凝土梁、鋼梁和剪力鍵均滿足胡克定律，則各子梁軸向應變應滿足

(3)

應力-應變關系滿足

σixx=Eiεixx

(4)

(5)

2.2 構建分區(qū)模型能量泛函

采用分區(qū)變分法[17]計算分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性。沿x軸向?qū)?混組合梁劃分為N個子塊，定義第j子塊與j+1子塊分區(qū)界面為x=xj+1，左端面為x=x1，右端面為x=xN+1。見圖3。

圖3 鋼-混組合梁分區(qū)模型圖Fig.3 A domain decomposition model of steel-concrete composite beam

構造鋼-混組合梁的能量泛函，如下

(6)

(7)

分區(qū)變分法中，分區(qū)界面廣義位移協(xié)調(diào)方程是近似滿足的，因此式(6)中引入的方程為

(8)

(9)

式中：i=c,s；ρi，Bi和Hi分別為子梁的材料密度、截面寬度和截面高度；Ai，Iyi分別為子梁的橫截面積、繞各自yi軸慣性矩。

(10)

式中：i=c,s；Ei為子梁材料的彈性模量。

(11)

(12)

式中，Bc,s為混凝土板和鋼梁交界面的寬度。

將式(8)、式(9)、式(10)和式(12)代入式(6)中，并對能量泛函Π取一階變分，由駐值條件δΠ=0，可得分區(qū)界面上的未知參數(shù)為

(13)

把式(13)的值代入式(6)，并且基于懲罰函數(shù)的思想，為了保證式(6)計算的穩(wěn)定性，在分區(qū)界面勢能項中添加懲罰函數(shù)項，最終得到包含約束項的鋼-混組合梁能量泛函

(14)

其中，

Πb=ζucαjδuc+ζusβjδus+ζwχjδw+ζw′γjδw′

(15)

(16)

式中：ζm(m=uc,us,w,w′)為分區(qū)界面和邊界界面上的控制參數(shù)；μm(m=uc,us,w,w′)為分區(qū)界面和邊界界面上的罰參數(shù)，其值為一個特別大的實數(shù)。

在內(nèi)部分區(qū)界面上，界面控制參數(shù)ζm=1；在邊界界面上，根據(jù)邊界條件的不同，界面控制參數(shù)ζm取值，如表1所示。

表1 邊界條件界面控制參數(shù)取值列表Tab.1 The value list of control parameter considering with boundary condition

2.3 求解動力學方程和自振頻率

為了求得考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁離散運動微分方程，可采用冪級數(shù)多項式模擬各梁單元的位移函數(shù)。M階展開式

v=Nδe,j

(17)

第j子塊位移場展開式可寫為

(18)

第j子塊應變展開式可寫為

(19)

式中，D為微分算子矩陣。

第j子塊相對滑移量展開式可寫為

(20)

把邊界界面控制參數(shù)和展開的位移函數(shù)式(17)～式(20)代入式(14)，并取一階變分δΠ，根據(jù)駐值條件δΠ=0，可得組合梁的離散運動方程。

(21)

式中：δe,j和δe,j+1分別為第j子塊和第j+1子塊位移函數(shù)系數(shù)的列向量；Me,j，Kj分別為第j子塊的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣；K1,j，K2,j分別為分區(qū)界面和懲罰函數(shù)項引入的第j子塊與第j+1子塊分區(qū)界面附加剛度矩陣。如下所示

(22)

其中，

最后，將所有子域的矩陣進行裝配，得到鋼-混組合梁區(qū)域分解的離散動力學控制方程。

(23)

式中：M和K分別為廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣;K1，K2分別為分區(qū)界面廣義協(xié)調(diào)位移和懲罰函數(shù)項引入的分區(qū)界面附加剛度矩陣；δg為位移函數(shù)系數(shù)的列向量。

因此，自由振動公式為

(K-ω2M)δg=0

(24)

從而可得鋼-混組合梁的頻率方程式(25)，即可求得考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的各階頻率。

|K-ω2M|=0

(25)

把鋼-混組合梁各階頻率分析結果代入式(24)，即可求對應于各階頻率的振型。

3 算例分析

通過2孔簡支考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的室內(nèi)試驗結果，驗證本文理論的正確性。測試內(nèi)容為：2孔簡支鋼-混組合梁的自振特性；采用ANSYS FEA和文中理論的計算內(nèi)容為：簡支-簡支(S-S)、固支-自由(C-F)、固支-簡支(C-S)和固支-固支(C-C)等四種邊界條件下2孔鋼-混組合梁的自振特性。

實驗梁結構如圖4所示，實驗梁1和實驗梁2的鋼梁板厚均為28 mm，結構形式相同，僅剪力鍵布置不同。實驗梁1共計312個φ22 mm剪力鍵；實驗梁2共計168個。實驗梁材料參數(shù)見表2。

圖4 實驗梁構造圖(mm)Fig.4 Structural diagram of test beams(mm)

表2 鋼-混組合梁參數(shù)表Tab.2 Parameters of composite beams

采用文中方法或ANSYS FEA分析實驗梁1、實驗梁2的自振特性時，單個剪力鍵的剪切剛度均服從荷載-滑移曲線模型[18]。

Q=Qu(1-e-βs)α

(26)

式中：Q為單個剪力鍵所受剪力；s為界面相對滑移量；α=0.7，β=0.8為計算參數(shù)；Qu為單個剪力鍵抗剪承載力，按如下取值

(27)

式中：Ast為剪力鍵橫截面積；Ec為混凝土彈性模量；fc為混凝土軸心抗壓強度；fstu為剪力鍵極限抗拉強度。

采用文中方法分別計算簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種邊界條件下實驗梁1、實驗梁2時的自振特性，關鍵計算參數(shù)取值見表3。

表3 計算參數(shù)表Tab.3 Parameters of calculation

在實驗梁跨的1/8截面、1/4截面、3/8截面和1/2截面處布置測點，測試兩孔實驗梁的自振頻率和振型。測試工作照見圖5。

圖5 實驗照片F(xiàn)ig.5 Photos of the tests

實驗梁1和實驗梁2的頻率測試結果見圖6。

應用ANSYS軟件建立鋼-混組合梁的三維數(shù)值模型。模型中混凝土板采用SOLID65單元，工字鋼梁的各鋼板采用SHELL63單元，剪力鍵采用COMBIN39三維彈簧單元，豎向耦合但縱橫向不耦合，為彈性約束。邊界條件分別為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支。計算模型見圖7。

圖6 測試結果Fig.6 Test results

圖7 計算模型Fig.7 Calculation models

對比分析實驗梁1和實驗梁2豎向一階自振頻率和豎向一階振型的文中方法計算結果、ANSYSFEA計算結果和實測結果，見表4和圖8。

表4 豎向一階自振頻率對比表Tab.4 Comparison of vertical fundamental frequency

由表4和圖8可得：

(1) 四種邊界條件的兩孔實驗梁的自振頻率和振型的文中理論、ANSYS FEA和實測結果三者基本吻合。說明可以采用文中的分區(qū)變分法分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的自振特性。

(2) 文中理論與ANSYS FEA計算結果更為接近，與實測結果有一定的誤差。初步分析產(chǎn)生這種誤差的原因主要有兩個方面：其一，理論結果、ANSYS數(shù)值結果均沒有考慮混凝土板和鋼梁之間的黏結效應和摩擦效應；其二，計算時，剪力鍵的等效剛度與實際剪切剛度之間存在誤差。

圖8 實驗梁一階振型Fig.8 First-order mode shape of the test beams

4 結 論

通過以上分析，結論如下：

(1) 基于能量法原理，采用分區(qū)變分法推導了考慮相對滑移影響的縱向剛度分布鋼-混組合梁基本運動微分方程。

(2) 將文中理論計算、ANSYSFEA模擬和實測的基頻和一階振型結果進行對比分析，結果顯示三者基本吻合，表明了分區(qū)變分法用于分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性的合理性。

(3) 文中的2片簡支鋼-混組合模型梁理論計算、ANSYS數(shù)值模擬和實測結果均表明鋼-混組合梁自振頻率隨剪力鍵的抗剪剛度降低而降低，說明組合梁的界面相對滑移不可忽視。