趙雄文，劉瑤，張鈺，耿綏燕，秦鵬，周振宇

（華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206）

1 引言

毫米波是5G和后5G移動(dòng)通信中重要的傳輸技術(shù)，受到了國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。毫米波波長(zhǎng)短，使大規(guī)模天線(xiàn)能夠成功封裝在小型裝置中[5]，可結(jié)合預(yù)編碼技術(shù)對(duì)天線(xiàn)陣元上的發(fā)射信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，從而有效提高頻譜效率。全數(shù)字預(yù)編碼方案需要為每根天線(xiàn)配置一條射頻鏈，其硬件成本和功耗不容忽視?；旌项A(yù)編碼方案將預(yù)編碼器分為數(shù)字和模擬兩部分，在基帶模塊采用低維度數(shù)字預(yù)編碼器，射頻模塊采用高維度模擬預(yù)編碼器，可有效降低硬件成本與功耗，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能與復(fù)雜度的折中。

混合預(yù)編碼包括全連接和部分連接2 種經(jīng)典的連接結(jié)構(gòu)[6]。在全連接結(jié)構(gòu)中，每個(gè)射頻鏈端口與所有天線(xiàn)元件相連[7-9]；在部分連接結(jié)構(gòu)中，不同射頻鏈端口與互不相交的天線(xiàn)陣列相連[10-12]。全連接結(jié)構(gòu)雖能達(dá)到極佳的頻譜效率，但大量移相器（PS,phase shifter）的引入導(dǎo)致系統(tǒng)功耗較高。針對(duì)部分連接結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[13]提出了一種基于半定松弛（SDR,semidefinite relaxation）的方案，該方案根據(jù)凸優(yōu)化工具箱（CVX,convex optimization toolbox）求解數(shù)字預(yù)編碼矩陣，并通過(guò)交替優(yōu)化求解模擬預(yù)編碼矩陣。然而，交替優(yōu)化需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問(wèn)題（SDP,semidefinite programming），導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度很高。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于連續(xù)干擾消除（SIC,successive interference cancellation）的低復(fù)雜度方案，通過(guò)分解混合預(yù)編碼矩陣，將最大化頻譜效率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)子問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了較好的頻譜效率。但該方案要求數(shù)字預(yù)編碼器必須為對(duì)角矩陣，且未設(shè)計(jì)接收端的組合器。

近年來(lái)，許多改進(jìn)的連接方案被提出。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種混合連接結(jié)構(gòu)，將射頻鏈路分塊，塊與塊之間采用部分連接，塊內(nèi)采用全連接。該結(jié)構(gòu)雖然結(jié)合了2 種連接方式的優(yōu)點(diǎn)，但是無(wú)法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制。文獻(xiàn)[16]提出一種基于部分連接的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了射頻鏈路與移相器的動(dòng)態(tài)連接。基于機(jī)器學(xué)習(xí)中的交叉熵（CE,cross entropy），文獻(xiàn)[17]提出了一種基于混合交叉熵（HCE,hybrid cross entropy）的預(yù)編碼方案，將PS 網(wǎng)絡(luò)改為開(kāi)關(guān)選擇網(wǎng)絡(luò)，然而，該結(jié)構(gòu)無(wú)法完全實(shí)現(xiàn)大規(guī)模天線(xiàn)陣列增益，導(dǎo)致了嚴(yán)重的系統(tǒng)性能損失。綜上所述，需要設(shè)計(jì)一種高靈活性且高性能的動(dòng)態(tài)連接結(jié)構(gòu)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先通過(guò)引入低功耗的二進(jìn)制開(kāi)關(guān)，設(shè)計(jì)了一種可以靈活調(diào)整的動(dòng)態(tài)連接結(jié)構(gòu)。其次，基于該結(jié)構(gòu)進(jìn)行模數(shù)預(yù)編碼器與組合器的設(shè)計(jì)，以最大化頻譜效率為目標(biāo)設(shè)計(jì)了2 種方案。第一種方案基于SIC 的思想，將待優(yōu)化的非凸目標(biāo)函數(shù)分解成多個(gè)子問(wèn)題，通過(guò)逐次迭代進(jìn)行模擬部分的優(yōu)化，再轉(zhuǎn)化為低維等效矩陣求解數(shù)字部分。與文獻(xiàn)[14]不同的是，本文方案不要求數(shù)字預(yù)編碼器為對(duì)角矩陣，且實(shí)現(xiàn)了發(fā)端預(yù)編碼器與收端組合器的聯(lián)合設(shè)計(jì)。第二種方案通過(guò)引入交替因子乘子法（ADMM,alternating direction multiplier method）[18]對(duì)SIC 進(jìn)行了改進(jìn)，相比第一種方案能明顯降低計(jì)算復(fù)雜度，并實(shí)現(xiàn)快速收斂。最后，本文對(duì)2 種所提方案與典型文獻(xiàn)方案的系統(tǒng)性能進(jìn)行比較研究。結(jié)果表明，所提方案相比于現(xiàn)有方案可以實(shí)現(xiàn)更高的頻譜效率與能量效率，且更適用于大規(guī)模天線(xiàn)系統(tǒng)。此外，當(dāng)關(guān)閉一定比例的PS 時(shí)，所提方案能夠通過(guò)犧牲少量的頻譜效率，實(shí)現(xiàn)能量效率的大幅提升。

本文的數(shù)學(xué)符號(hào)介紹如下。A與a表示矩陣與向量。E{?}表示期望。{AΤ,AΗ,A?1}分別表示A的轉(zhuǎn)置矩陣、共軛轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣。Ai,j表示A的第i行第j列。表示A的行列式。IK表示K×K單位矩陣。0K表示K×K全零矩陣。分別表示a的2 范數(shù)與F 范數(shù)。Re(?)與Im(?)分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。angle(?)表示角度。

2 系統(tǒng)模型及問(wèn)題建模

2.1 系統(tǒng)模型

假設(shè)一條射頻鏈路所連接的PS 關(guān)閉比例為α%，則每條射頻鏈路上開(kāi)啟的PS 數(shù)量為

圖1 毫米波大規(guī)模天線(xiàn)系統(tǒng)的系統(tǒng)模型

考慮到毫米波信道的稀疏特性，本文采用Saleh-Valenzuela 模型[19-20]進(jìn)行信道建模，信道矩陣表示為

2.2 問(wèn)題建模

為最大化頻譜資源，優(yōu)化發(fā)端預(yù)編碼器與收端組合器，建立以下問(wèn)題模型

式(7)是一個(gè)難以求解的多變量非凸優(yōu)化問(wèn)題。下文將針對(duì)該問(wèn)題模型提出2 種求解算法。

3 算法設(shè)計(jì)

本節(jié)首先考慮Ns=NRF，將待優(yōu)化的4 個(gè)矩陣分成數(shù)字部分(FBB,WBB)與模擬部分(FRF,WRF)，并提出了 2 種算法。隨后，將所提算法推廣到Ns＜NRF＜2Ns的應(yīng)用場(chǎng)景中。

3.1 數(shù)字預(yù)編碼器與組合器設(shè)計(jì)

為便于計(jì)算，問(wèn)題式(7)的目標(biāo)函數(shù)中包含優(yōu)化變量的分式部分可表示為

式(8)可以轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式(10)，對(duì)He進(jìn)行奇異值分解（SVD,singular value decomposition），取左奇異矩陣和右奇異矩陣的前Ns列可以得到無(wú)約束條件下最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼器與組合器[14]，即

3.2 模擬預(yù)編碼器與組合器的設(shè)計(jì)(Ns=NRF)

3.2.1SIC 算法

于是問(wèn)題式(14)可以分解為N個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題

其中，F(xiàn)2為限制條件。

然而，由于(FRF,WRF)具有恒模限制，需要找到滿(mǎn)足約束條件的預(yù)編碼向量，使其與最佳預(yù)編碼向量的歐幾里得距離足夠小

式(23)中的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為

綜上所述，先固定FRF優(yōu)化WRF，再固定WRF優(yōu)化FRF，最后利用3.1 節(jié)中的結(jié)論得出(FBB,WBB)。本文將該方法命名為SIC算法，具體步驟如算法1 所示。

算法1SIC 算法

輸入H

輸出(FBB,FRF,WRF,WBB)

3.2.2SIC-ADMM 算法

SIC 算法涉及高矩陣維度的SVD 運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度較高。為此，本文引入ADMM[18]對(duì)SIC 算法進(jìn)行改進(jìn)。

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞增特性，式(14)可簡(jiǎn)化為

其中，t為拉格朗日乘數(shù)因子，μ為懲罰參數(shù)。

其中，k為迭代數(shù)，拉格朗日乘數(shù)因子的更新方式為

算法2SIC-ADMM 算法

輸入H

輸出(FBB,FRF,WRF,WBB)

3.3 SIC 算法與SIC-ADMM 算法在N s＜NRF＜2 Ns 情況下的應(yīng)用

3.1 節(jié)與3.2 節(jié)中假定NRF=Ns，即FBB與WBB均為方陣。本節(jié)針對(duì)更廣泛的情況，即NRF＞Ns進(jìn)行討論。當(dāng)NRF≥2Ns時(shí)，混合預(yù)編碼可以實(shí)現(xiàn)與最優(yōu)無(wú)約束預(yù)編碼相似的性能[21]。這里只考慮Ns＜NRF＜2Ns。

對(duì)式(10)中的He進(jìn)行SVD 運(yùn)算，得到

則頻譜效率為

因此，在Ns＜NRF＜2Ns的情況下，仍可以使用3.2 節(jié)提出的算法1 與算法2 求解問(wèn)題式(7)。

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)對(duì)所提SIC 及SIC-ADMM 方案和現(xiàn)有文獻(xiàn)典型方案的性能進(jìn)行比較研究。對(duì)比方案包括全數(shù)字方案、SDR 方案[13]、粒子群優(yōu)化（PSO,particle swarm optimization）方案[24]及全模擬方案。仿真環(huán)境如下：收發(fā)端天線(xiàn)均采用ULA，天線(xiàn)陣元間隔載波頻率為28 GHz。采用Saleh-Valenzuela信道模型，有效路徑數(shù)L=4，天線(xiàn)方位角AoD 和AoA 服從[?π,π]的均勻分布，增益Λ=1[25]，信噪比定義為

4.1 頻譜效率分析

4.1.1射頻鏈路數(shù)等于數(shù)據(jù)流數(shù)情況

不同信噪比下本文方案與對(duì)比方案的系統(tǒng)和速率變化如圖2 所示，仿真參數(shù)為發(fā)射天線(xiàn)數(shù)Nt=128，接收天線(xiàn)數(shù)Nr=32，NRF=Ns=4。由圖2 可以看出，系統(tǒng)和速率隨信噪比增加而提高。全數(shù)字預(yù)編碼方案采用等天線(xiàn)數(shù)量和射頻鏈數(shù)，其和速率表現(xiàn)最佳，具有恒模約束的全模擬預(yù)編碼方案和速率最低。本文方案的和速率雖低于全數(shù)字預(yù)編碼方案，但硬件復(fù)雜度?。ㄈ珨?shù)字預(yù)編碼方案需要128 個(gè)射頻鏈路，本文方案僅需4 個(gè)射頻鏈路）。此外，與PSO 方案相比，本文方案的性能更優(yōu)。與SDR 方案相比，在信噪比較低區(qū)域，本文方案的和速率與其接近，但本文SIC 方案略?xún)?yōu)于SDR 方案，因?yàn)镾IC 方案可以實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)子問(wèn)題的逐步優(yōu)化。在信噪比較高區(qū)域，本文2 種方案性能均優(yōu)于SDR 方案。

圖2 和速率隨信噪比的變化曲線(xiàn)（NRF=Ns ）

不同天線(xiàn)數(shù)下本文方案與對(duì)比方案的系統(tǒng)和速率變化如圖3 所示，仿真參數(shù)為NRF=Ns=4，SNR=0。由圖3 可以看出，系統(tǒng)和速率隨天線(xiàn)數(shù)增大而提高，這是由于毫米波大規(guī)模天線(xiàn)系統(tǒng)具有較大波束成形增益，能夠?qū)崿F(xiàn)大量數(shù)據(jù)的并行傳輸。此外，本文方案和速率隨天線(xiàn)數(shù)增加而迅速提升，當(dāng)天線(xiàn)數(shù)分別大于48 和96 時(shí)，和速率明顯優(yōu)于SDR 方案。當(dāng)天線(xiàn)數(shù)為256 時(shí)，本文方案的和速率比SDR 方案分別提升了2.26 bit/(s·Hz)和1.66 bit/(s·Hz)，這說(shuō)明本文方案更適用于大規(guī)模天線(xiàn)架構(gòu)。PSO 方案的和速率明顯低于本文方案，這是因?yàn)镻SO 方案采用固定的權(quán)重因子，導(dǎo)致搜索能力較差、系統(tǒng)性能不高。此外，PSO 方案只適用于射頻鏈路數(shù)與數(shù)據(jù)流數(shù)相等的情況，應(yīng)用場(chǎng)景受限。

圖3 和速率隨天線(xiàn)數(shù)的變化曲線(xiàn)（NRF=Ns ）

4.1.2射頻鏈路數(shù)不等于數(shù)據(jù)流數(shù)情況

為驗(yàn)證3.3 節(jié)的結(jié)論，取發(fā)射天線(xiàn)數(shù)Nt=128，接收天線(xiàn)數(shù)Nr=32，射頻鏈路數(shù)NRF=4，數(shù)據(jù)流數(shù)Ns=3。系統(tǒng)和速率隨信噪比與天線(xiàn)數(shù)的變化如圖4 和圖5 所示，可以看出當(dāng)射頻鏈路數(shù)不等于數(shù)據(jù)流數(shù)時(shí)，與其他方案相比，本文方案能夠?qū)崿F(xiàn)較好的和速率。從圖4 可以看出，在信噪比較高區(qū)域（SNR≥?15 dB），本文方案和速率均超過(guò)SDR方案。這是因?yàn)楫?dāng)數(shù)據(jù)流數(shù)小于射頻鏈路數(shù)時(shí)，本文采用的SVD 可以得到最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼器矩陣與組合器矩陣。從圖5 可以看出，本文SIC 方案的和速率明顯優(yōu)于SDR 方案，其差值隨天線(xiàn)數(shù)增加而變大，這是因?yàn)樘炀€(xiàn)數(shù)增加導(dǎo)致SDR 方案中的變大，即誤差增加。此外，本文SIC-ADMM 方案和速率在天線(xiàn)數(shù)較少時(shí)低于SDR 方案，但隨著天線(xiàn)數(shù)增加，該方案的和速率迅速提升并優(yōu)于SDR 方案，其性能隨天線(xiàn)數(shù)增加逐漸接近SIC 方案。

圖4 和速率隨信噪比的變化曲線(xiàn)(NRF≠Ns)

圖5 和速率隨天線(xiàn)數(shù)的變化曲線(xiàn)(NRF≠Ns)

4.2 能量效率分析

本文系統(tǒng)模型的功耗主要包括信號(hào)發(fā)射功耗Pt、射頻鏈路產(chǎn)生的功耗PRF、PS 產(chǎn)生的功耗PPS及開(kāi)關(guān)產(chǎn)生的功耗PS。這里能量效率定義為信息傳輸速率（單位為bit/(s.Hz)）與總功耗的比值，即

取功耗值Pt=1W、PRF=250 mW、PPS=50 mW、PS=5 mW。不同方案能量效率和NRF的變化關(guān)系（仿真參數(shù)Nt=Nr=256、Ns=NRF）如圖6 所示。由圖6 可以看出，能量效率隨射頻鏈路數(shù)增加而提升。本文方案能夠?qū)崿F(xiàn)比全數(shù)字預(yù)編碼與全模擬預(yù)編碼方案更高的能量效率。這是因?yàn)槿珨?shù)字預(yù)編碼方案采用大量的射頻鏈路進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，導(dǎo)致系統(tǒng)的總功耗很高，全模擬預(yù)編碼方案頻譜效率低，2 種方案均無(wú)法實(shí)現(xiàn)較好的能量效率。此外，本文SIC方案比SDR 方案和PSO 方案可以獲得更高的能量效率，SIC-ADMM 方案的能效顯著優(yōu)于PSO 方案，且在射頻鏈路數(shù)較大時(shí)優(yōu)于SDR 方案。當(dāng)射頻鏈路數(shù)為16 時(shí)，SIC 方案的能量效率比SDR 方案高17%，SIC-ADMM 方案的能量效率比PSO 方案高58%。不同方案能量效率隨Nt的變化如圖7 所示，仿真參數(shù)與圖3 相同。由圖7 可以看出，在所有方案中，本文SIC 方案的能量效率最高，SIC-ADMM方案在天線(xiàn)數(shù)大于115 以后，能量效率優(yōu)于SDR方案。這是因?yàn)樘炀€(xiàn)數(shù)的增加導(dǎo)致模擬預(yù)編碼器/組合器的矩陣維度變高，對(duì)系統(tǒng)性能的影響增強(qiáng)，ADMM 的優(yōu)勢(shì)得以體現(xiàn)。

圖6 能量效率隨射頻鏈路數(shù)的變化曲線(xiàn)

圖7 能量效率隨天線(xiàn)數(shù)的變化曲線(xiàn)

在實(shí)際操作中，系統(tǒng)可以根據(jù)通信需求靈活調(diào)整PS 關(guān)閉數(shù)量，例如，在服務(wù)質(zhì)量需求較高情況下，可以開(kāi)啟全部PS，以達(dá)到最大頻譜效率；在服務(wù)質(zhì)量需求較低情況下，可以關(guān)閉一定比例PS，降低系統(tǒng)功耗，提升能量效率。對(duì)于本文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，當(dāng)關(guān)閉α%的PS 時(shí)，模擬預(yù)編碼器的功耗由PPSNt變?yōu)?(1?α%)PPS+PS)Nt，降低α%PPSNt。例如，30≤PPS≤100 mW[26]，PS=5 mW[27]。當(dāng)PPS=50 mW，Nt=256，不關(guān)閉PS 時(shí)，模擬預(yù)編碼器功耗為PPSNt=12.8 W；關(guān)閉37.5%的PS 時(shí)，模擬預(yù)編碼器功耗為((1 ?α%)PPS+PS)Nt=9.28 W，降低約27.5%的功耗。

不同方案的能量效率與頻譜效率增減百分比隨α=[0,12.5,25,37.5,50]的變化如圖8 所示。圖8(a)仿真參數(shù)為Nt=Nr=128，NRF=Ns=4；圖8(b)仿真參數(shù)為Nt=Nr=512，NRF=Ns=8。頻譜效率降低百分比為

其中，SE(α)表示關(guān)閉α%的PS 的頻譜效率值，SE(0)表示不關(guān)閉PS 的頻譜效率值。能量效率增加百分比為

其中，EE(α)表示關(guān)閉α%的PS 的能量效率值，EE(0)表示不關(guān)閉PS 的能量效率值。由圖8 可以看出，本文SIC-ADMM 方案犧牲頻譜效率最少，能量效率的提升最大。并且隨著α增大，SIC-ADMM方案的能量效率提升最快，因?yàn)樵摲桨笇?wèn)題轉(zhuǎn)化為多變量聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，每個(gè)PS 對(duì)應(yīng)模擬預(yù)編碼矩陣元素互不影響，更適合于動(dòng)態(tài)調(diào)整PS 的應(yīng)用場(chǎng)景。SIC 方案犧牲的頻譜效率與SDR 方案和PSO方案接近，但其能量效率的提升遠(yuǎn)高于SDR 方案和PSO 方案。下面以PEE?PSE衡量方案性能的提升。以圖8(a)為例，當(dāng)α=37.5時(shí)，SDR 方案和PSO 方案的性能分別提升了2.27%和3.49%，但SIC 方案和SIC-ADMM 方案的性能提高分別為13.55%和27.22%。因此，本文方案能夠犧牲少量頻譜效率換取能量效率的大幅提升。

圖8 PSE 和PEE 隨α 的變化曲線(xiàn)

4.3 復(fù)雜度分析

取ε=10?6，由圖9 可以看出，當(dāng)SNR ≤0 dB時(shí)，相對(duì)差值小于ε時(shí)所對(duì)應(yīng)的迭代數(shù)值小于10，因此該算法可以實(shí)現(xiàn)快速收斂。此外，PSO 方案的復(fù)雜度為其中Npop和Niter分別表示種群數(shù)和迭代數(shù)，設(shè)為70[24]。本文2 種方案與PSO 方案相比，在復(fù)雜度上略有欠缺，但性能明顯更優(yōu)。

圖9 ADMM 算法收斂性

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種高性能的動(dòng)態(tài)連接混合預(yù)編碼結(jié)構(gòu)，可以有效降低系統(tǒng)硬件成本。在此基礎(chǔ)上，為提高頻譜利用率，本文以最大化頻譜效率為目標(biāo)，提出了2 種混合預(yù)編碼方案，并通過(guò)關(guān)閉一定比例的PS 實(shí)現(xiàn)能量效率的大幅提升。仿真結(jié)果表明，本文提出的SIC 方案和SIC-ADMM 方案與典型文獻(xiàn)方案相比均能實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的頻譜效率和能量效率，且天線(xiàn)規(guī)模越大其性能提升優(yōu)勢(shì)越明顯。在關(guān)閉相同比例的PS 時(shí)，所提2 種方案與現(xiàn)有方案相比能夠犧牲更少的頻譜效率換取能量效率大幅提升。

附錄1 ADMM 算法中的KKT 條件推導(dǎo)

下面給出ADMM 算法的KKT 條件。定理1 可確保式(29)～式(31)滿(mǎn)足式(27)的KKT 條件。

證畢。