卜淑霞，張進豐，黃苗苗，魯 江，顧 民

（中國船舶科學(xué)研究中心水動力學(xué)重點實驗室，江蘇無錫214082）

0 引 言

國際海事組織（IMO）正在制定船舶第二代完整穩(wěn)性衡準，包括參數(shù)橫搖和純穩(wěn)性喪失薄弱性衡準和穩(wěn)性直接評估[1]。對于水線面附近幾何外形變化較大的船舶，當船中位于波峰時，復(fù)原力臂會比靜水復(fù)原力臂??；當船中位于波谷時，復(fù)原力臂會比靜水復(fù)原力臂大，如果波長近似船長會引起波浪復(fù)原力臂的周期性變化，而這種周期性變化是參數(shù)橫搖失效模式發(fā)生的主要原因[2]；如果波峰位于船舯的時間過長，會導(dǎo)致船舶穩(wěn)性力臂減少，是純穩(wěn)性喪失失效模式發(fā)生的主要原因[3]。因此，參數(shù)橫搖和純穩(wěn)性喪失失效模式的發(fā)生都與波浪中復(fù)原力臂的變化有關(guān)，故橫搖復(fù)原力的變化是影響參數(shù)橫搖衡準和純穩(wěn)性喪失衡準評估的關(guān)鍵因素，有必要開展試驗和數(shù)值計算的研究，驗證目前橫搖復(fù)原力計算方法的可靠性，并在穩(wěn)性直接評估中提出合適的計算橫搖復(fù)原力的方法。

在進行本文的研究時借鑒了國際上針對波浪復(fù)原力臂的研究方法[5]，將所有作用在橫搖方向的力矩都轉(zhuǎn)換為波浪中的橫搖復(fù)原力臂，在此基礎(chǔ)上，對比分析不同成分作用力對波浪中復(fù)原力臂變化的影響，因此，文中所述的橫搖復(fù)原力臂與常規(guī)耐波性中剛性復(fù)原力臂有所不同。此時波浪中復(fù)原力臂變化主要包括兩部分：由常規(guī)Froude-Krylov 力和靜水力引起的成分；由輻射力和繞射力引起的成分。目前波浪穩(wěn)性的研究中，F(xiàn)roude-Krylov力和靜水力引起的成分均采用了瞬時濕表面，即考慮了非線性特征。早期的研究表明（Paulling，1961）[4]，基于Froude-Krylov 力假設(shè)可以較好地預(yù)報波浪中的復(fù)原力臂，因此早期大部分研究中忽略了輻射力和繞射力引起的復(fù)原力臂的變化。

但Umeda 和Hashimoto（2005）[5]的研究表明，考慮動態(tài)輻射力和繞射力之后可以提高參數(shù)橫搖的預(yù)報精度，該研究認為動態(tài)輻射力和繞射力的影響與橫傾角度成線性關(guān)系，且認為與波高成線性關(guān)系。其他學(xué)者也采用線性關(guān)系開展了研究[6-9]。本文作者基于二維切片法，也研究了動態(tài)輻射力和繞射力對參數(shù)橫搖預(yù)報精度的影響，考慮了動態(tài)復(fù)原力臂與橫傾角度的非線性關(guān)系，采用了插值方法計算瞬時橫傾角度下的動態(tài)輻射力和繞射力，但對于垂蕩和縱搖則采用了頻域轉(zhuǎn)時域的線性方法[10]；隨后，針對頂浪和隨浪中復(fù)原力臂的變化開展了詳細的模型試驗研究，并對比分析了準靜態(tài)平衡法和切片法的區(qū)別[11]。Sadat-Hosseini 等[12]采用CFDSHIP-IOWA 全粘流方法研究了參數(shù)橫搖現(xiàn)象，文中對波浪中復(fù)原力臂的變化進行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，復(fù)原力臂變化的非線性現(xiàn)象比較明顯，不過文中未能研究非線性出現(xiàn)的原因。

為了提供更加可靠的預(yù)報方法以及考慮到二維切片法在處理垂蕩和縱搖運動的局限性[13]，本文作者（2019）進一步基于三維時域混合源法，建立了波浪中復(fù)原力臂的計算方法，并在速度勢的求解中引入精確物面條件，首次在波浪穩(wěn)性的計算中考慮物面全非線性，實現(xiàn)了沿瞬時濕表面積分的輻射力和繞射力的計算。針對外飄船型，詳細研究了復(fù)原力臂的不同組成成分，并對比分析了已有的近似物面非線性方法和精確物面方法的區(qū)別，指出了目前橫搖復(fù)原力臂計算方法的不足，尤其是高航速、高波陡的情況[14]。

基于前期的研究結(jié)論，本文進一步采用三維時域混合源法，針對ONR 內(nèi)傾船型的橫搖復(fù)原力臂開展了研究，重點分析了ONR內(nèi)傾船型波浪中橫搖復(fù)原力臂非線性現(xiàn)象的原因。

1 計算方法與理論模型

1.1 三維時域混合源法

船舶波浪穩(wěn)性的研究屬于瞬態(tài)的非線性問題，且?guī)缀蔚姆蔷€性特征也是非常重要的影響因素，因此研究中采用三維時域面元法求解。在面元法的具體處理中又可進一步劃分為Rankine 源和時域Green 函數(shù)兩種方法，考慮到Rankine 源方法中不容易處理遠場邊界和時域Green 函數(shù)高頻振蕩等問題，本文采用了三維時域混合源法求解船舶在波浪中的非線性時域運動。該方法綜合了Rankine源能較好地反應(yīng)近壁面大幅運動以及時域Green 函數(shù)自動滿足線性自由面和遠場輻射條件的優(yōu)點[15-16]。該三維時域混合源法在數(shù)值求解中引入了控制面SC，將流場分為內(nèi)場I 和外場II。內(nèi)場I 是由船體濕表面Sb、部分自由液面Sf1和控制面SC包圍的閉合區(qū)域；外場II 由控制面SC、剩余的自由液面Sf2和無窮邊界S∞組成，流場分布如圖1所示。

為了研究波浪中船舶的運動，采用了三個坐標系：（1）大地坐標系OXYZ：Z 軸垂直向上，X-Y 平面位于靜水面，X 軸在中心面，指向船首，原點位于中心線，OXYZ 坐標系用于定義入射波，該坐標系不隨船體運動；（2）慣性坐標系o′x′y′z′：初始時刻與OXYZ處于同一位置，但隨船體以速度U0前進，原點位于靜水面上并與重心在同一鉛垂線上；（3）船體系Gxyz：隨船體運動，初始時刻x - y 平行于船體靜水面，坐標原點位于重心G 處。通過3 個平動和3 個轉(zhuǎn)動來唯一確定船體的運動，也就是縱蕩、橫蕩、垂蕩，橫搖、縱搖和艏搖。

記內(nèi)場總擾動勢Φ(P,t)為ΦI(P,t)，那么ΦI(P,t)在大地坐標系下應(yīng)該滿足以下條件：

圖1 混合源法流場區(qū)域劃分和坐標系示意圖Fig.1 Diagram of the fluid region and coordinate systems in the hybrid source method

則內(nèi)場I中Rankine源的邊界積分方程如下：

式中，Aij、Bij為影響系數(shù)，可以表示為

記外場總擾動勢Φ(P,t)為ΦII(P,t)，那么ΦII(P,t)在大地坐標系下應(yīng)滿足以下條件：

外場II 采用時域Green 函數(shù)，時域Green 函數(shù)自動滿足線性自由面和遠場輻射條件。因此，只需要在控制面布置面源即可，采用邊界元，外場邊界積分方程可以離散為

式中，Cij、Dij為矩陣系數(shù)，可以寫成

引入的虛擬控制面隨船體一起運動，并且在控制面上內(nèi)外流場的速度勢和速度勢導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求解內(nèi)場、外場、控制面上組成離散方程，可以獲得當前時刻船體濕表面積Sb上的速度勢ΦI，自由表面Sf1上的速度勢導(dǎo)數(shù)?ΦI/?n，以及控制面SC上的速度勢ΦI和速度勢導(dǎo)數(shù)?ΦI/?n。然后利用物面上的速度勢ΦI，通過Bernoulli’s 方程得到船體表面的壓力，利用內(nèi)場I 中的自由面獲得下一時刻整個流場的擾動勢和下一時刻內(nèi)場的速度勢ΦI。

對船體平均濕表面積Sb上的源強積分即可得到船體濕表面上的擾動速度勢ΦI，且已知入射波速度勢Φw，最后通過Bernoulli’s方程可得到相應(yīng)的壓強項：

式中：?Φw/?t為入射波的速度勢導(dǎo)數(shù)，在線性波浪理論中是顯性已知的；?ΦI/?t為內(nèi)場擾動勢的速度勢導(dǎo)數(shù)。

求得每個面元控制點的壓力后，對每個面元積分即可求得作用于該面元上的流體作用力F 和力矩M。

1.2 理論模型

一般剛體運動具有六個自由度，但可以通過考慮一些限制條件，將其減少。首先，假設(shè)船舶在頂浪航行時航向固定，此時橫蕩和艏搖運動可以忽略；其次，假設(shè)船體可以保持恒定的航速，此時縱蕩運動可以忽略，這時僅剩下垂蕩、縱搖和橫搖運動。又進一步考慮到頂浪航行時垂蕩和縱搖與橫搖運動存在強耦合作用，頂浪中復(fù)原力臂的變化與動態(tài)垂蕩和縱搖運動有關(guān)[11，17-18]，因此本文選取垂蕩-橫搖-縱搖相互耦合的三自由度數(shù)學(xué)模型。

式中：m 是船體質(zhì)量；Ixx是船體橫搖慣性矩；Iyy是船體縱搖慣性矩；Aij是船體附加質(zhì)量；Bij是船體阻尼系數(shù)；ζ 是船體垂蕩位移；θ 是船體縱搖運動；φ 是船體橫搖運動；N1、N3分別是線性和立方項的橫搖阻尼，由于橫搖角度固定，故在橫搖復(fù)原力臂的計算中對結(jié)果無影響；FFK+H是Froude-Krylov 力和靜水力；FD是船體繞射力。船體運動的偏微分方程利用Runge-Kutta方法求解。

動穩(wěn)性研究的關(guān)鍵在于橫搖力矩求解的準確性。因此，可以通過評估不同成分在橫搖力矩方向的貢獻進而研究不同成分作用力的影響，為了方便計算，在研究中將所有作用在橫搖方向的力/力矩轉(zhuǎn)換為橫搖方向的復(fù)原力臂。此時波浪中復(fù)原力臂可以進一步劃分成兩部分，一部分是靜水和Froude-Krylov力引起的成分（GZFK），另一部分是輻射力和繞射力引起的成分（GZRD），可表示為

上述公式中，靜水力和Froude-Krylov力的計算一般沿入射波與船體形成的瞬時濕表面積分，輻射力和繞射力的計算與物面條件有關(guān)[20]，一般可以劃分為：僅考慮初始平均濕表面的線性物面邊界條件，此時輻射力和繞射力的計算沿著初始時刻的平均濕表面積分，故輻射力和繞射力在計算中保持不變；考慮瞬時平均濕表面的近似物面非線性條件，此時輻射力和繞射力的計算沿著每一時刻的平均濕表面積分；考慮船舶-波浪瞬時位置的精確物面條件，此時輻射力和繞射力的計算沿船舶-波浪瞬時相對位置形成的濕表面積分。

本文研究中采用了三種方法研究橫搖復(fù)原力臂的變化：一種是僅考慮Froude-Krylov 力和靜水力引起的橫搖復(fù)原力臂的變化，稱為GZFK。該方法中沿船舶-波浪形成的瞬時濕表面積分壓力計算Froude-Krylov力和靜水力，進而獲得對應(yīng)的橫搖復(fù)原力臂：

第二種方法是在第一種方法的基礎(chǔ)上，同時考慮Froude-Krylov 力、靜水力、輻射力和繞射力引起的橫搖復(fù)原力臂的變化，稱為GZFK+RD，其中采用近似物面非線性條件處理輻射力和繞射力引起的復(fù)原力臂成分，也即在Laplace 初邊值問題的求解中采用近似物面條件，進而得到輻射力和繞射力引起的復(fù)原力臂，示意圖如圖2所示。

第三種方法仍然是同時考慮Froude-Krylov力、靜水力、輻射力和繞射力引起的橫搖復(fù)原力臂的變化，但基于精確物面條件處理輻射力和繞射力引起的復(fù)原力臂成分，也就是每一時刻都對船體表面網(wǎng)格、自由面網(wǎng)格、控制面網(wǎng)格進行瞬時劃分，瞬時求解Laplace 初邊值問題，進而得到輻射力和繞射力引起的復(fù)原力臂，示意圖如圖3所示。

式中，S代表船體瞬時濕表面，Sˉ(φ)代表考慮橫傾角度之后的平均濕表面，φ代表固定橫傾角度。

圖2 近似物面非線性條件示意圖Fig.2 Diagram of the nonlinear body condition

圖3 精確物面條件示意圖Fig.3 Diagram of the exact body condition

2 模型試驗與數(shù)值模型

2.1 模型試驗

研究對象為ONR 內(nèi)傾船型，該船的主要參數(shù)如表1所示，船體外形和剖面圖如圖4所示?？梢钥闯鲈摯瑑?nèi)傾比較明顯，當波峰或者波谷位于船舯時，復(fù)原力臂會與靜水中有所不同，在縱浪中航行時橫搖復(fù)原力臂的變化可能會非常顯著，導(dǎo)致容易發(fā)生穩(wěn)性不足的現(xiàn)象。因此，保證波浪中足夠的穩(wěn)性是該船型走向?qū)嶋H應(yīng)用必須要解決的問題。

表1 ONR內(nèi)傾船型主尺度及主要參數(shù)（縮尺比：1:40.526）Tab.1 Principal particulars of the ONR tumblehome(Scale：1:40.526)

圖4 ONR內(nèi)傾船型模型試驗照片和船體剖面圖Fig.4 Model test photo and profile of ONR tumblehome

模型試驗研究在中國船舶科學(xué)研究中心耐波性水池中進行，該水池主尺度為長69 m、寬46 m、深4 m，水池相鄰兩邊安裝了先進的由伺服電機驅(qū)動的三維造波系統(tǒng)，可進行任意浪向下的模型試驗。配置了先進的浪高儀以及自主研發(fā)的波浪力/力矩和運動響應(yīng)集成測量裝置，可以測量不同橫傾角度下船模在波浪中橫傾力臂的變化，滿足試驗要求。

船模采用玻璃鋼（FRP）材料，船體采用整體構(gòu)造，有足夠的縱、橫強度，保證在波浪中試驗時模型不發(fā)生變形。為了保證在大傾角下船模內(nèi)部不發(fā)生進水，模型整體采用水密構(gòu)造，設(shè)置了三個艙蓋，同時艙蓋采用有機玻璃且采用密封圈以及可拆卸螺絲固定。

試驗采用約束模方式，將模型固定在要求的橫傾角度下，垂蕩和縱搖自由，約束其它模態(tài)；采用中國船舶科學(xué)研究中心自主研發(fā)的波浪力/力矩和運動響應(yīng)集成測量裝置測量波浪中船模橫搖復(fù)原力的變化和垂蕩、縱搖運動；將一臺伺服式浪高儀安裝在船模重心右側(cè)約1.5 m處，由計算機實時記錄船模重心與波浪的瞬時相對位置。

2.2 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬中，ONR 內(nèi)傾船型整船體和水面以下船體網(wǎng)格劃分如圖5 所示。計算中采用線性面元網(wǎng)格，邊界域的大小由控制面大小決定，控制面的尺寸考慮船體可能產(chǎn)生的興波和波系角，采用式（18）計算，控制面的深度為4.5d，滿足無限水深條件。

式中，Ld是控制面長度；Bd是控制面寬度；λ是波長，λ= U2· 2π/g。

圖5 計算用的船體表面和自由面網(wǎng)格Fig.5 Meshes on the body and free surface used for calculation

數(shù)值模擬中船舯剖面位于內(nèi)場的中心位置，數(shù)值模擬中至少得到10 個穩(wěn)定的橫搖周期，時間間隔為0.15 s，保證每個周期的模擬點在100個左右。

3 結(jié)果與分析

3.1 試驗和計算結(jié)果對比

基于三維時域混合源法開展不同工況下波浪中復(fù)原力臂變化的計算研究。作者前期研究表明[13]，在計算輻射力和繞射力時，采用精確物面條件與采用近似物面非線性條件計算得到的復(fù)原力臂幅值基本一致，精確物面可以更好地捕捉非線性現(xiàn)象，但采用精確物面條件計算，需要瞬時劃分所有的網(wǎng)格，瞬時求解Laplace 初邊值問題進而得到瞬時擾動速度勢，計算時間過長。因此，從節(jié)省計算時間的角度出發(fā)，本文首先采用了近似物面非線性條件進行了復(fù)原力臂的計算，然后在分析非線性原因時，同時采用了兩種物面條件。計算結(jié)果中，“Exp”代表模型試驗結(jié)果；“GZFK”代表僅考慮Froude-Krylov（FK）力和靜水力對復(fù)原力臂的貢獻；“GZFK+RD”代表同時考慮FK 力、靜水力以及輻射力和繞射力（R&D）對復(fù)原力臂的貢獻；復(fù)原力臂代表橫搖復(fù)原力臂；FK 力、靜水力、輻射力和繞射力代表橫搖方向的力矩。

首先，選取工況λ/Lpp= 0.8、H/λ= 0.03、Fr = 0.0、φ = 8°，時歷曲線對比結(jié)果如圖6（a）所示。此種工況為零航速工況，從對比結(jié)果可以看出，基于Froude-Krylov力假設(shè)的復(fù)原力臂計算結(jié)果與模型試驗結(jié)果吻合較好，進一步考慮輻射力和繞射力對復(fù)原力臂的影響后，計算結(jié)果比模型試驗結(jié)果稍微偏大，但整體上仍與模型試驗結(jié)果吻合較好，主要是因為零航速下動態(tài)輻射力和繞射力引起的復(fù)原力成分所占的比例較小[14，19]。

針對工況λ/Lpp= 0.8、H/λ= 0.04、Fr = 0.0、φ = 8°，時歷曲線對比結(jié)果如圖6（b）所示。此種情況下將波陡增加到了0.04，從模型試驗結(jié)果可以看出，非線性現(xiàn)象略有增加，模型試驗中高頻成分比較明顯，這些高頻信號一方面可能是由試驗設(shè)備與水池中大橋共振引起的，一方面也可能是由復(fù)原力臂本身的非線性引起的，本文重點分析復(fù)原力臂本身的非線性成分。從對比結(jié)果可以看出：基于Froude-Krylov 力假設(shè)的復(fù)原力臂計算結(jié)果與模型試驗主要幅值部分吻合較好；進一步考慮動態(tài)輻射力和繞射力影響后的GZFK+RD，幅值可以覆蓋到高頻信號部分。

圖6 計算結(jié)果與模型試驗結(jié)果對比（λ/Lpp=0.8，F(xiàn)r=0.0，φ=8°）Fig.6 Comparison of the calculation results with experimental results(λ/Lpp=0.8,Fr=0.0,φ=8°)

進一步選取有航速的工況λ/Lpp= 0.8、H/λ= 0.03、Fr = 0.1、φ = 8°，對比結(jié)果如圖7 所示，此種工況下航速增加到了Fr = 0.1?？梢钥闯觯S著航速的增加，復(fù)原力臂曲線越來越不符合簡諧規(guī)律，模型試驗中多頻率疊加現(xiàn)象變得更加明顯，也就是說，增加航速會增加復(fù)原力臂的非線性現(xiàn)象，這種非線性現(xiàn)象使得高航速下GZ 的預(yù)報十分復(fù)雜。從時歷曲線可以看出，僅考慮FK 力的計算結(jié)果比模型試驗結(jié)果偏?。煌瑫r考慮FK 力和R&D 之后的結(jié)果與模型試驗吻合良好，可以間接地推斷出GZRD的作用在不斷增加，也可以證明基于Froude-Krylov 力假設(shè)不足以精確預(yù)報GZ，高航速下復(fù)原力臂多頻率疊加現(xiàn)象主要是GZRD的影響。進一步分析FFT曲線可以看出，模型試驗中包括多種頻率成分，第一共振成分比較顯著，這也是常規(guī)線性方法可以預(yù)報的頻率成分；僅考慮FK 力的計算結(jié)果比模型試驗結(jié)果偏??；同時考慮FK 力和R&D 之后，計算得到的第一共振成分和第二共振成分的結(jié)果均與模型試驗結(jié)果吻合良好。

圖7 計算結(jié)果與模型試驗結(jié)果對比（λ/Lpp=1.0，H/λ=0.03，F(xiàn)r=0.1，φ=8°）Fig.7 Comparison of the calculation results with experimental results(λ/Lpp=1.0,H/λ=0.03,Fr=0.1,φ=8°)

針對工況λ/Lpp= 1.1、H/λ= 0.03、Fr = 0.15、φ = 18°，時歷曲線和FFT 分析結(jié)果如圖8 所示，此種工況將航速增加到了Fr=0.15，同時將固定橫傾角度從8°增加到18°，此時非線性現(xiàn)象也十分明顯。從時歷曲線對比可以看出：僅考慮FK 力的計算結(jié)果比模型試驗結(jié)果小很多，誤差非常大；同時考慮FK力和R&D 之后的結(jié)果，主要幅值部分與模型試驗吻合良好，但模型試驗中的高頻成分更加明顯。從FFT 分析可以看出：此種工況下，模型試驗中除了第一共振成分外，第二共振成分和第三共振成分也變得十分顯著；僅考慮FK 力的計算結(jié)果在第一和第二共振頻率處均比模型試驗結(jié)果偏小很多；同時考慮FK 和R&D 之后，計算得到的第一共振成分和第二共振成分與模型試驗吻合良好，但未能捕捉到第三及其它的高頻成分。

圖8 計算結(jié)果與模型試驗結(jié)果對比（λ/Lpp=1.1，H/λ=0.03，F(xiàn)r=0.15，φ=18°）Fig.8 Comparison of the calculation results with experimental results(λ/Lpp=1.1,H/λ=0.03,Fr=0.15,φ=18°)

總體而言，從對比結(jié)果可以看出：除零航速的工況，考慮FK 力和R&D 共同作用后，預(yù)報精度都有提高，尤其是高航速、高波陡的情況，預(yù)報精度有大幅提高，說明動態(tài)輻射力和繞射力的貢獻在不斷增加；當非線性現(xiàn)象變得更加明顯時，除第一共振頻率外，其它共振頻率的成分會更加顯著。

3.2 非線性原因分析

從上述模型試驗和計算結(jié)果的對比研究中發(fā)現(xiàn)，波浪中復(fù)原力臂的非線性現(xiàn)象與航速、波陡、橫傾角度等都有關(guān)系：零航速下，增加波陡，非線性特征略有增加；航速增大后，增加波陡和橫傾角度，非線性現(xiàn)象都會變得十分明顯，因此本文進一步分析了非線性特征出現(xiàn)的原因。

3.2.1 復(fù)原力臂不同成分對比分析

選取工況λ/Lpp= 1.0、H/λ= 0.03、φ = 20°下不同的航速（Fr = 0.0、Fr = 0.1）分析復(fù)原力臂組成中不同成分所占的比重，計算結(jié)果如圖9 所示。可以看出：零航速下R&D 所占的比重較少，因此基于Froude-Krylov 力假設(shè)即可預(yù)報波浪中復(fù)原力臂的變化；而有航速時，R&D 占有不可忽視的比重，因此有航速時采用常規(guī)Froude-Krylov力假設(shè)不再成立，需要進一步考慮動態(tài)輻射力和繞射力的影響，然而目前大部分的研究中均忽略了該成分。

圖9 復(fù)原力臂不同成分對比（λ/Lpp=1.0，H/λ=0.03，φ=20°）Fig.9 Comparison of the different components of roll restoring arm variation(λ/Lpp=1.0,H/λ=0.03,φ=20°)

3.2.2 物面全非線性對計算結(jié)果的影響

輻射力和繞射力的計算與Laplace 初邊值問題求解中的物面條件有關(guān)，上述計算中考慮到計算時間問題，因此選用了近似物面非線性條件，也就是輻射力和繞射力的計算中沿考慮橫傾角度的平均濕表面積分。從計算結(jié)果可以看出，目前基于近似物面非線性條件的輻射力和繞射力計算方法可以較好地反應(yīng)第一和第二共振頻率成分，但未能反應(yīng)第三及其它高頻成分。因此，本文進一步采用精確物面條件，考慮物面全非線性，直接沿瞬時濕表面積分計算輻射力和繞射力開展了對比研究。

選取工況λ/Lpp= 1.0、H/λ= 0.03、Fr = 0.1、φ = 18°，首先對比兩種物面條件的區(qū)別，圖10 為輻射力和繞射力計算時兩種物面條件對應(yīng)的同一周期內(nèi)不同時刻船舶-波浪瞬時濕表面的變化。從圖中可以看出：近似物面非線性條件中，僅考慮了橫傾角度，瞬時波浪與物面之間始終存在誤差；精確物面條件中，每一時間都重新劃分網(wǎng)格，瞬時捕捉船舶-波浪之間的相對位置，因此更準確地反映了船舶-波浪相對位置的變化。圖11 為FK 力和靜水力計算時兩種物面條件對應(yīng)的船舶-波浪瞬時濕表面的變化，可以看出，兩種物面條件均沿船舶-波浪瞬時形成的相對位置積分物面壓力。

圖10 輻射力和繞射力計算時船-波相對位置的變化Fig.10 Relative position of ship-wave for the calculation of radiation and diffraction forces

圖11 FK力和靜水力計算時船-波相對位置的變化Fig.11 Relative position of ship-wave for the calculation of FK and hydrostatic forces

進一步對比分析采用近似物面非線性條件和精確物面條件對計算結(jié)果的影響，兩種方法計算得到的時歷曲線結(jié)果對比如圖12所示，圖中近似物面非線性條件（Nonlinear）和精確物面（Exact）條件計算得到的復(fù)原力臂幅值基本一致。進一步分析FFT曲線結(jié)果，如圖13所示，首先對比近似物面非線性條件和精確物面條件計算得到的GZRD的區(qū)別，精確物面條件能反映除第一和第二共振成分之外的高頻成分（圖13（a）），雖然兩種物面條件計算得到的GZFK基本一致（圖13（b）和（c）），但同時考慮FK力和R&D 之后，相比于近似物面非線性條件，精確物面條件除了較好地計算第一和第二共振成分外，還能較好地計算模型試驗結(jié)果中出現(xiàn)的第三和第四共振成分（圖13（d）和（e））。也就說明，精確物面條件能捕捉到部分高階頻率成分，更好地反應(yīng)不同復(fù)原力臂曲線中的不同頻率成分，比近似物面非線性條件更為精確。

圖12 近似物面非線性和精確物面時歷曲線計算結(jié)果區(qū)別Fig.12 Comparison of time series calculated by approximate body condition and exact body condition in time domain

圖13 近似物面非線性和精確物面FFT曲線計算結(jié)果區(qū)別Fig.13 Comparison of FFT analysis results by approximate body condition and exact body condition

3.2.3 線性理論局限性分析

進一步將時間轉(zhuǎn)換到波峰相對于船長的位置，研究不同波陡下復(fù)原力臂隨船-波相對位置的變化。首先是零航速工況下不同波陡的計算結(jié)果，如圖14所示。從結(jié)果可以看出，僅考慮FK 力和靜水力計算得到的復(fù)原力臂幅值基本與波陡成正比關(guān)系，船舯位于波峰處復(fù)原力臂最小，且復(fù)原力臂曲線呈規(guī)律性變化，此時線性假設(shè)適用，這也是大部分二維切片法可以得出的結(jié)論[11]。進一步考慮R&D作用之后，復(fù)原力臂幅值與波陡仍然呈正比關(guān)系，但復(fù)原力臂曲線出現(xiàn)多頻率疊加現(xiàn)象，此時線性假設(shè)不再適用。

圖14 復(fù)原力臂相對于船舶-波浪相對位置的變化（λ/Lpp=1.0，F(xiàn)r=0.0，φ=10°）Fig.14 Roll restoring arm variation with the relative position of ship to wave(λ/Lpp=1.0,Fr=0.0,φ=10°)

然后，增加航速到Fr=0.15，計算結(jié)果如圖15 所示，從結(jié)果可以看出，此時非線性關(guān)系變得更加明顯，R&D 的作用也更加明顯，說明非線性復(fù)原力臂的計算中應(yīng)該考慮R&D 的影響。復(fù)原力臂隨波陡的關(guān)系呈現(xiàn)明顯的非線性變化，目前已有的基于二維切片法的研究未能證明此種現(xiàn)象。

圖15 復(fù)原力臂相對于船舶-波浪相對位置的變化（λ/Lpp=1.0，F(xiàn)r=0.15，φ=10°）Fig.15 Roll restoring arm variation with the relative position of ship to wave(λ/Lpp=1.0,Fr=0.15,φ=10°)

4 結(jié) 論

本文通過模型試驗和數(shù)值計算研究了ONR 內(nèi)傾船型波浪中復(fù)原力臂的變化，在速度勢的求解中引入了精確物面的處理方法，實現(xiàn)了基于瞬時濕表面的輻射力和繞射力的計算；并從復(fù)原力臂的組成成分、采用近似物面非線性條件與精確物面條件計算結(jié)果的對比、復(fù)原力臂隨船舶-波浪相對位置的變化分析了復(fù)原力臂變化中非線性特征出現(xiàn)的原因。研究結(jié)果表明：

（1）當航速較低、波陡較小時，復(fù)原力臂曲線呈現(xiàn)線性規(guī)律，基于Froude-Krylov力假設(shè)計算得到的GZFK基本與模型試驗結(jié)果吻合；

（2）增加航速以及波陡，GZRD對共振頻率成分的貢獻不斷增加，考慮FK 和R&D 共同作用后，波浪中復(fù)原力臂的預(yù)報精度有所提高，尤其在高航速、高波陡的情況下，預(yù)報精度有大幅提高；

（3）考慮輻射力和繞射力之后，可以預(yù)報模型試驗中出現(xiàn)的部分多頻率疊加的非線性現(xiàn)象，目前基于近似物面非線性條件的R&D 計算方法可以較好地反應(yīng)第一和第二共振頻率成分，基于精確物面條件的R&D計算方法可以反應(yīng)第三及其它高頻成分；

（4）波浪中復(fù)原力臂的非線性現(xiàn)象，與航速、波陡、橫傾角度等都有關(guān)系，高航速、高波陡、大橫傾角度下，非線性受外界影響較為明顯；

（5）頂浪中，基于Froude-Krylov 假設(shè)的頂浪復(fù)原力臂預(yù)報方法不夠完善，需要進一步考慮非線性輻射繞射力的影響，此結(jié)論與作者前期針對外飄船型的結(jié)論一致[15]。