張兆峰

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050081)

邊坡的穩(wěn)定性一直是巖石力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重點(diǎn)。然而，由于邊坡穩(wěn)定性需考慮的因素極其的復(fù)雜性、土體材料的物理力學(xué)特性的難以確定，所以如何精確的評(píng)估邊坡的穩(wěn)定性一直是工程界的一個(gè)難點(diǎn)[1]。采用可靠度分析方法研究邊坡穩(wěn)定性是一種重要的發(fā)展趨勢。李典慶等[2]基于隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)香港的某一邊坡穩(wěn)定性可靠度進(jìn)行了分析。Tang X S等[3]通過改進(jìn)的聚類分區(qū)法并將其應(yīng)用在對(duì)邊坡進(jìn)行了可靠度分析中。Rathod G W等[4]結(jié)合極限平衡法和有限元分析討論了巖質(zhì)邊坡的可靠度問題。然而，由于工程地質(zhì)中存在的各種不確定性，土壤性質(zhì)值的空間變異性影響土壤行為和巖土結(jié)構(gòu)的性能[5]。然而，由于缺乏關(guān)于場地實(shí)際異質(zhì)性的知識(shí)，空間變異性也增加了設(shè)計(jì)的不確定性[6-7]。這導(dǎo)致越來越多地使用概率方法來量化巖土工程評(píng)估中空間變異性和不確定性的影響[8-10]。邊坡穩(wěn)定性被認(rèn)為是一種考慮空間變異性的應(yīng)用。為此，通常使用各向同性相關(guān)結(jié)構(gòu)在二維中對(duì)空間變異性進(jìn)行建模[9-13]。然而，目前針對(duì)三維邊坡可靠度的研究主要有2個(gè)問題：①采用有限元軟件進(jìn)行可靠度分析的計(jì)算量非常大；②理論推導(dǎo)過程安全系數(shù)公式大多為隱式。這兩點(diǎn)增加了三維邊坡可靠度研究的難度。經(jīng)過對(duì)比，對(duì)數(shù)螺旋線破壞比豎直條分破壞機(jī)制計(jì)算效率更高，更適宜做可靠度分析，故本文基于對(duì)數(shù)螺旋破壞機(jī)制分析破壞模式，計(jì)算三維邊坡安全系數(shù)，并采用蒙特卡羅法對(duì)三維均質(zhì)邊坡開展可靠度分析。

1 基于對(duì)數(shù)螺旋破壞機(jī)制

1.1 三維邊坡極限分析理論

1975年，F(xiàn)arzaneh O等[14]在其著作“Limit Analysis and Soil Plasticity”中提出一種二維邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制。該機(jī)構(gòu)將二維邊坡視作剛體，假設(shè)其滑裂面為對(duì)數(shù)螺旋線，利用極限分析上限法推導(dǎo)出穩(wěn)定系數(shù)的解析解，并編制計(jì)算程序求得其穩(wěn)定系數(shù)

眾多學(xué)者對(duì)三維邊坡破壞模式進(jìn)行了研究，其中Michalowski引入對(duì)數(shù)螺旋線圓錐破壞模式，對(duì)二維對(duì)數(shù)螺旋線模式進(jìn)行空間擴(kuò)展。虛功率方程為：

(1)

1.2 破壞機(jī)制的構(gòu)建

破壞模式的構(gòu)建如圖1所示。

圖1 三維邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制Fig.1 Mechanism of rotational failure of 3D slope

假設(shè)邊坡發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，將以角速度ω圍繞旋轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)，曲線AC是式(1)確定的對(duì)數(shù)螺旋線，為坡體的滑裂面，該曲線通過坡趾C。式(2)表示對(duì)數(shù)螺旋線A′C′，其確定了三維邊坡滑坡體的上界，曲線AC與曲線A′C′相交于一點(diǎn)。

r=r0e(θ-θ0)tan φ

(2)

(3)

以O(shè)為原點(diǎn)向邊坡體做射線OA，交曲線A′C′于A′，以AA′為直徑沿垂直于紙面方向做圓，該圓以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，直徑漸變，為上述射線與曲線A′C′和曲線AC兩交點(diǎn)確定的線段。圓圍繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與邊坡體相交形成的曲面為三維邊坡的滑裂面，整個(gè)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)為螺旋錐體，按照相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，其頂角夾角為2φ，整個(gè)滑坡體的上、下邊界由式(1)和式(2)確定，至此，邊坡的三維旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)構(gòu)建完成。

對(duì)于任意的角度θ，其對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)斷面的圓半徑為：

R=(r-r′)/2

(4)

所有旋轉(zhuǎn)斷面的圓心所形成的曲線方程為：

rm=(r+r′)/2

(5)

以每個(gè)斷面圓心為原點(diǎn)，做如圖1所示局部坐標(biāo)系，邊坡體內(nèi)任意一點(diǎn)的速度為：

v=(rm+y)ω

(6)

該破壞機(jī)制可用于有寬度限制的邊坡穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算。對(duì)于無寬度限制的邊坡，該破壞機(jī)制不太適用[15-16]。

2 結(jié)構(gòu)可靠度理論

2.1 結(jié)構(gòu)可靠度基本概念

將要研究的不確定性因素作為隨機(jī)變量表示為向量形式X=(X1，X2，…，Xn)T，其可包括任何會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的因素。則功能函數(shù)可以由極限狀態(tài)及結(jié)構(gòu)本有功能確立[17-19]：

Z=g(X)=g(X1，X2，…，Xn)

(7)

式中，Z為結(jié)構(gòu)的功能；g(X)為功能函數(shù)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)功能正常時(shí)，即Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；當(dāng)結(jié)構(gòu)功能即將出現(xiàn)問題時(shí)，即Z=0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)；當(dāng)整體結(jié)構(gòu)或部分功能失效時(shí)，即Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 功能函數(shù)示意Fig.2 Function

2.2 邊坡可靠度計(jì)算步驟

求解三維邊坡的可靠度分為3個(gè)步驟進(jìn)行。

(1)建立三維邊坡安全系數(shù)求解模型。

(2)根據(jù)需要研究的問題確定隨機(jī)變量類型，并指定其服從的概率分布函數(shù)。本文主要研究土體參數(shù)c、φ值的不確定性對(duì)邊坡的影響，故將c、φ值作為隨機(jī)變量。

(3)選取一種邊坡概率模型，建立功能函數(shù)，計(jì)算邊坡的可靠度。

3 三維邊坡概率模型

3.1 蒙特卡羅法簡介

蒙特卡羅法[20-21]是計(jì)算可靠度眾多方法中的一種。它是一種通過統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律計(jì)算可靠度的方法。具體做法是：首先隨機(jī)抽取N個(gè)隨機(jī)變量樣本，計(jì)算每個(gè)樣本下的功能函數(shù)Z=g(X)，統(tǒng)計(jì)所有g(shù)(X)<0的樣本數(shù)Nf，統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果，結(jié)構(gòu)的失效概率可表示為：

(8)

為滿足一定計(jì)算精度，抽樣數(shù)目N必須滿足：

N≥100/Pf

(9)

3.2 三維典型邊坡及概率模型

下面介紹本文邊坡可靠度的計(jì)算流程：

(1)將土體參數(shù)c、φ值作為隨機(jī)變量，利用MATLAB按照正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生N組樣本{(c，φ)1，(c，φ)2，(c，φ)3，…，(c，φ)N}。

(2)對(duì)每組生成的隨機(jī)數(shù)計(jì)算安全系數(shù)。

(3)統(tǒng)計(jì)安全系數(shù)小于1的發(fā)生次數(shù)。

(4)計(jì)算失效概率，并計(jì)算可靠度指標(biāo)β=Φ(1-Pf)。

具體計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 邊坡可靠度計(jì)算流程Fig.3 Flow chart of slope reliability calculation

3.3 對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文方法的可行性，將可靠度計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)[22-24]進(jìn)行對(duì)比。算例參數(shù)的取值以及計(jì)算結(jié)果的對(duì)比見表1和表2。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

表2 可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of reliability calculation results

通過綜合對(duì)比可知本文計(jì)算方法的可行性，其中與呂楊[24]的計(jì)算結(jié)果最為相近。相比另外2篇文獻(xiàn)，本文計(jì)算結(jié)果失效概率較小，因?yàn)槿S邊坡模型的安全系數(shù)會(huì)大于二維邊坡安全系數(shù)符合實(shí)際，表明本文方法可行。

3.3.1 算例分析

本文算例選取選取圖4所示的單級(jí)均質(zhì)邊坡。其中邊坡H=25 m，坡表傾角α取60°，土體重度為20 kN/m3。參數(shù)選取見表3。

圖4 典型邊坡示意Fig.4 Schematic diagram of typical slope

表3 隨機(jī)參數(shù)取值Tab.3 Random parameter values

本機(jī)基于蒙特卡洛法進(jìn)行1 600次的計(jì)算，其頻率分布如圖5所示。

圖5 COV(φ)=0.3、COV(c)=0.3時(shí)安全系數(shù)的頻率分布Fig.5 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ) = 0.3，COV(c) = 0.3

按照功能函數(shù)定義，當(dāng)Z<0，即安全系數(shù)Fs<1時(shí)，邊坡處于失效狀態(tài)，故邊坡失效概率為1.65%，可靠指標(biāo)β為2.30。由圖5可知，安全系數(shù)呈現(xiàn)類正態(tài)分布形態(tài)，大部分?jǐn)?shù)值分布在1.50～ 2.38。

3.3.2 敏感性分析

在實(shí)際邊坡工程中，試驗(yàn)測得的力學(xué)參數(shù)有時(shí)嚴(yán)重失真，可靠性差。因此，參數(shù)敏感性分析可以區(qū)分影響穩(wěn)定性的主次因素。這種敏感性分析在成本分析和設(shè)計(jì)規(guī)劃中是必要的。例如，對(duì)分析結(jié)果影響較大、敏感性較高的參數(shù)有必要投入更多的精力獲取參數(shù)取值，反之，針對(duì)敏感性低的參數(shù)選用成本較低的測試手段以獲取其參數(shù)取值。為進(jìn)行參數(shù)分析本文將c、φ的均值分別取為90 kN/m、20°，參數(shù)變異系數(shù)可由式(10)確定：

(10)

使c、φ的變異系數(shù)從0.3變化到0.6，見表4。通過分別改變土體參數(shù)的變異系數(shù)，計(jì)算不同工況下邊坡的失效概率，其頻率分布如圖6—圖9所示。

表4 參數(shù)變異系數(shù)取值Tab.4 Parameter coefficient of variation

圖6 COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35時(shí)安全系數(shù)的頻率分布Fig.6 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35

圖7 COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4時(shí)安全系數(shù)的頻率分布Fig.7 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4

圖8 COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45時(shí)安全系數(shù)的頻率分布Fig.8 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45

圖9 COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6時(shí)安全系數(shù)的頻率分布Fig.9 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6

通過對(duì)不同變異系數(shù)取值情況下的安全系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)安全系數(shù)呈現(xiàn)類正態(tài)分布。為了確定安全系數(shù)的集中分布范圍，剔除其前后各10%的取值，其分布見表5。

表5 安全系數(shù)集中范圍Tab.1 Concentration range of safety factor

當(dāng)COV(φ)=0.3時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明安全系數(shù)的集中分布范圍范圍隨著c值φ的變異性增大而增大。但當(dāng)COV(c)=0.3，改變COV(φ)時(shí)，安全系數(shù)分布范圍并不存在上述明顯規(guī)律，證明了安全系數(shù)對(duì)φ的變異性相對(duì)不敏感。

由圖10可知，當(dāng)COV(φ)取值不變時(shí)，失效概率隨著COV(c)的增加顯著增加，可靠指標(biāo)顯著減小，說明邊坡穩(wěn)定性隨著c值變異性增加而降低；同理當(dāng)COV(c)取值不變時(shí)，失效概率隨著COV(φ)的增加也表現(xiàn)為增加，但可靠指標(biāo)小范圍波動(dòng)減小，同時(shí)表明邊坡穩(wěn)定性對(duì)內(nèi)摩擦角φ的變異性敏感性較低；COV(φ)、COV(c)同時(shí)發(fā)生變化，可靠指標(biāo)的疊加影響大于任意一個(gè)參數(shù)的單獨(dú)影響。

圖10 失效概率及可靠指標(biāo)隨變異系數(shù)變化Fig.10 Variation diagram of failure probability and reliability index with coefficient of variation

4 結(jié)論

本章基于三維邊坡對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)制，構(gòu)建了三維邊坡可靠度概率模型，并結(jié)合算例對(duì)不同變異系數(shù)取值情況下三維邊坡的失效概率及可靠指標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算，隨后開展土體參數(shù)c和φ對(duì)失效概率及可靠指標(biāo)敏感性的分析，得到如下結(jié)論：

(1)失效概率會(huì)隨著COV(c)和COV(φ)的增加而增加，而可靠指標(biāo)則會(huì)減小，但COV(c)對(duì)其影響程度更大。考慮c和φ二個(gè)參數(shù)的變異性比僅考慮其中任何一個(gè)參數(shù)變異性得到更大的失效概率與更小的可靠度指標(biāo)。

(2)三維邊坡失效概率對(duì)土體參數(shù)c、φ變異的敏感性排序?yàn)閏>φ，在實(shí)際工程中更應(yīng)該以精確的方式獲取土體的c值。