張建威，李 江

(1.河南能源化工集團(tuán) 永煤公司車集煤礦，河南 永城 476600； 2.河南能源化工集團(tuán) 永煤公司，河南 永城 476600)

20世紀(jì)70年代，美國首先建立了全球定位系統(tǒng)，世界各地開始對GPS定位技術(shù)開始研究，也逐漸擴(kuò)展到利用GPS高程的測量中。20世紀(jì)80年代初，中國也開始對GPS技術(shù)進(jìn)行研究，把GPS接收機(jī)應(yīng)用于多個領(lǐng)域中。20世紀(jì)90年代，國內(nèi)外學(xué)者對GPS高程測量數(shù)據(jù)處理分析及擬合方法進(jìn)行了大量的研究。于素君[1]對石油物探GPS控制測量理論和方法進(jìn)行了研究，以石油勘探中地震勘探測線的布設(shè)問題為主線，提出了一種基于穩(wěn)健估計(jì)的曲面擬合法，分析了GPS數(shù)據(jù)及控制測量處理方法和符合物探施工精度要求的導(dǎo)線測量；劉俊領(lǐng)等[2]研究了GPS高程擬合方法，分析了GPS高程精度要求、擬合方法，經(jīng)試驗(yàn)論證，GPS高程擬合的相應(yīng)數(shù)學(xué)模型對地質(zhì)高程的擬合具有一定的成效；解祥成等[3]分析了GPS擬合高程代替五等水準(zhǔn)測量精度，分析了GPS高程轉(zhuǎn)換的過程，研究了數(shù)學(xué)模型擬合法，并對某地區(qū)GPS水準(zhǔn)高程和擬合高程的精度進(jìn)行了對比分析，最后利用GPS觀測值加已知高程點(diǎn)擬合，對待定點(diǎn)高程的求解方法進(jìn)行了詳細(xì)研究。

1 GPS水準(zhǔn)測量的誤差分析

1.1 誤差源

GPS測量模式是影響GPS測量大地高精度的主要因素。為了減小誤差，利用雙頻接收機(jī)、差分技術(shù)靜態(tài)觀測進(jìn)行觀測，其垂直精度和水平精度得到了明顯的提高。但是，根據(jù)具體精度要求、設(shè)計(jì)經(jīng)費(fèi)和外部條件，需要對GPS的觀測方法進(jìn)行綜合考慮。

GPS水準(zhǔn)測量的誤差來源主要是地面接收站、衛(wèi)星信號傳播站和GPS衛(wèi)星。不同等級水準(zhǔn)測量的精度可以用每千米高差中數(shù)的全中誤差(MW)和偶然中誤差(MΔ)。不同等級水準(zhǔn)測量精度指標(biāo)[4-5]見表1。

表1 不同等級水準(zhǔn)測量精度指標(biāo)Tab.1 Different levels of leveling accuracy indicators

當(dāng)完成閉合環(huán)或附合線路測量時，如構(gòu)成水準(zhǔn)網(wǎng)的環(huán)數(shù)>20，應(yīng)計(jì)算每公里高差中數(shù)的全中誤差：

(1)

(2)

式中，N為水準(zhǔn)環(huán)數(shù)目；F為水準(zhǔn)環(huán)長度；W為各項(xiàng)改正后閉合差；R為測段長度；Δ為往返高差不符值。

1.2 提高測量精度的措施

由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論分析可知，主要有以下提高測量精度的措施[6-9]。

(1)提高測定大地高的精度。①采取方法提高GPS網(wǎng)基線解算的坐標(biāo)精度；②減弱對流層延遲誤差和多路徑誤差；③當(dāng)進(jìn)行觀測時，選擇最佳的衛(wèi)星部分；④選擇最優(yōu)的雙頻GPS接收機(jī)；⑤對GPS星歷的精度進(jìn)行改善。

(2)提高聯(lián)測幾何水準(zhǔn)的精度。①當(dāng)GPS網(wǎng)有特殊精度要求，采用二等精密水準(zhǔn)進(jìn)行聯(lián)測；②當(dāng)測量誤差占GPS水準(zhǔn)總誤差的30%時，應(yīng)采用三等幾何水準(zhǔn)進(jìn)行聯(lián)測。

(3)提高GPS水準(zhǔn)計(jì)算精度。①采用抗差估計(jì)法，對計(jì)算數(shù)據(jù)中某點(diǎn)精度不高或粗差；②選擇模型時，應(yīng)優(yōu)選對綜合模型進(jìn)行考慮；③選擇已知點(diǎn)時，應(yīng)選擇具有代表性且均勻分布的測點(diǎn)。

2 模型參數(shù)的抗差估計(jì)

本文主要分析多項(xiàng)式擬合模型的抗差估計(jì)和模型參數(shù)的優(yōu)選，先分析基于權(quán)陣迭代抗差估計(jì)的多項(xiàng)式模型參數(shù)的抗差估計(jì)。選擇客觀的權(quán)陣是獲取估計(jì)值的保證，權(quán)陣表達(dá)式：

(3)

當(dāng)GPS所測的大地高協(xié)方差設(shè)置為∑hh，則幾何水準(zhǔn)得到正常協(xié)方差陣為∑HH，則權(quán)陣的表達(dá)式：

P=∑-1=(∑hh+∑HH)-1

(4)

當(dāng)把已知點(diǎn)的高程異常值ξ=h-H是高精度的，則初始權(quán)陣P，可根據(jù)已知點(diǎn)到待求點(diǎn)的已知距離來進(jìn)行計(jì)算：

(5)

式中，e為一個較小的數(shù)；Di為已知點(diǎn)i到待求點(diǎn)的距離；C0為單位權(quán)值。

引入抗差估計(jì)方法的目的：避免粗差對模型參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生不良影響。簡單實(shí)用的迭代公式：

(6)

式中，n是最小二乘原則下迭代得到誤差方程的次數(shù)。

測量數(shù)據(jù)處理中的權(quán)函數(shù)：

(1)丹麥法。表達(dá)式：

(7)

式中，C為常量，一般取值為3.0或2.5。

(2)Hubber方案。表達(dá)式：

(8)

式中，C為常量，一般為2倍中誤差。

(3)IGGⅢ方案。表達(dá)式：

(9)

式中，k0為1.5倍的中誤差；k1為2.5倍的中誤差。

由式(7)—式(9)可知，通過不斷迭代的解算誤差方程，一般正常數(shù)據(jù)的權(quán)值比誤差較大的已知數(shù)據(jù)的權(quán)值小，從而把粗差數(shù)據(jù)從已知數(shù)據(jù)中進(jìn)行剔除。

3 GPS高程擬合模型的選擇

3.1 擬合結(jié)果的精度評定

(10)

式中，n為參與計(jì)算的已知點(diǎn)。

(2)外符精度。GPS水準(zhǔn)的外符精度M：

(11)

式中，n為參與檢核的點(diǎn)數(shù)。

GPS高程轉(zhuǎn)換模型參數(shù)優(yōu)選流程如圖1所示。

圖1 GPS高程轉(zhuǎn)換模型參數(shù)優(yōu)選流程Fig.1 GPS elevation conversion model parameter optimization process

GPS水準(zhǔn)相對精度評定方法：①閉合差檢核；②相對誤差檢核。

假設(shè)檢核點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離為L，基于水準(zhǔn)限差的檢核點(diǎn)擬合殘差的限值見表2，然后將限值和殘差作比較，做GPS高程精度評定。

表2 基于水準(zhǔn)限差的檢核點(diǎn)擬合殘差的限值Tab.2 Limit of fitting residuals based on level tolerance

3.2 AIC準(zhǔn)則

AIC準(zhǔn)則是由Akaike基于信息論的角度提出的，該準(zhǔn)則樹要用于模型的選擇和頂階上，從而獲得理想的結(jié)果，采用AIC準(zhǔn)則，對模型進(jìn)行分析對比，得出模型的檢核誤差和內(nèi)附誤差，然后得到2個AIC值：AICc和AICi，兩者相加得到AICt。最后對兩者的信息進(jìn)行比較，來確定模型的好壞。

AIC準(zhǔn)則的表達(dá)式：

AIC=logσ2+(2m+3/n)

(12)

式中，n為代入計(jì)算值的個數(shù)；m為所選模型的參數(shù)，其中m≤n。

在GPS高程轉(zhuǎn)換過程中，二次曲面模型時，m=6；三次曲面模型時，m=10；平面模型時，m=3。

4 應(yīng)用實(shí)例

某測區(qū)整體較為平坦，測區(qū)長25.0 km，寬13.0 km，總面積為325.0 m2。測區(qū)有3個200～300 m的山包，測區(qū)共有27個水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)，選擇11個檢核點(diǎn)、16個擬合點(diǎn)。為了盡量減少點(diǎn)位之間的影響，選擇16個擬合點(diǎn)均分布在測區(qū)中。測區(qū)測點(diǎn)點(diǎn)位分布如圖2所示。

圖2 測區(qū)測點(diǎn)點(diǎn)位分布Fig.2 Point distribution of measurement points

當(dāng)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差剔除后，采用混合模擬模型、綜合擬合模型、多面函數(shù)擬合模型、三次曲面擬合、二次曲面擬合，對水準(zhǔn)聯(lián)測數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和擬合，其檢驗(yàn)和擬合的結(jié)果見表3。

表3 不同模型對水準(zhǔn)聯(lián)測數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和擬合結(jié)果Tab.3 Different models test and fit joint level test data

由表3可知：

(1)檢核點(diǎn)的高程異常大于擬合點(diǎn)，說明該擬合模型是根據(jù)擬合點(diǎn)高程異常數(shù)據(jù)組建的。

(2)混合模型和綜合模型的擬合精度要明顯優(yōu)于單一模型(多面函數(shù)、三次函數(shù)、二次函數(shù))的擬合效果。

(3)在11個檢核點(diǎn)中，有2個點(diǎn)的擬合精度較高，分別為319檢核點(diǎn)、418檢核點(diǎn)；在17個擬合點(diǎn)中，有3個點(diǎn)的擬合精度較高，分別為313擬合點(diǎn)、410擬合點(diǎn)、415擬合點(diǎn)，根據(jù)這5個點(diǎn)的分布情況，該5個點(diǎn)位于水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)相對密集的位置，表明增加水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)，有助于提高擬合精度。

為了清晰地對各個模型的模擬結(jié)果進(jìn)行比較，采用AIC準(zhǔn)則，驗(yàn)證模型的有效性，分別對5種模型擬合結(jié)果的AIC值、最小值、最大值和標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行計(jì)算。實(shí)例中模型的精度和AIC值見表4。

由表4可知：根據(jù)最小值、最大值、標(biāo)準(zhǔn)差分析，綜合模型和混合模型的模型精度優(yōu)于單一模型，其AIC值也明顯高于單一模型，表明，采用AIC準(zhǔn)則優(yōu)于對模型的優(yōu)劣進(jìn)行評判。

表4 實(shí)例中模型的精度和AIC值Tab.4 Accuracy and AIC value of the model in the example

5 結(jié)論

通過GPS水準(zhǔn)測量的誤差分析、模型參數(shù)的抗差估計(jì)、GPS高程擬合模型的選擇以及現(xiàn)場應(yīng)用，分析了GPS高程測量數(shù)據(jù)流程，然后分別以混合模擬模型、綜合擬合模型、多面函數(shù)擬合模型、三次曲面擬合、二次曲面擬合對水準(zhǔn)聯(lián)測數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和擬合，研究了各個模型的精度和AIC值，研究為不同資料、不同地形高程測量數(shù)據(jù)的擬合提供了借鑒。