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        在約束條件下集值全局真有效點(diǎn)集的連通性

        2021-06-02 08:57:48劉富榮陳劍塵
        關(guān)鍵詞:空子集值連通性

        劉富榮, 陳劍塵, 汪 洋

        (南昌航空大學(xué),數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南昌 330063)

        引言

        在集值優(yōu)化問題中,全局真有效解的連通性是十分值得我們?nèi)ド罹康膯栴}之一。對于全局真有效點(diǎn)集的標(biāo)量化問題Gong在文獻(xiàn)[1]己經(jīng)進(jìn)行了研究,并得到了一些重要的結(jié)論。隨后,王秀玲在文獻(xiàn)[2]對全局真有效解的概念作了詳細(xì)的闡述,并將可行域設(shè)定在緊凸集的情況下,對全局真有效解集的連通性進(jìn)行了深入研究。緊接著,高潔在文獻(xiàn)[3]中將目標(biāo)映射設(shè)為弱上半連續(xù)的,可行域設(shè)成弧連通緊的,證明了全局真有效點(diǎn)集的連通性和全局有效解集的連通性。本文首先給出了全局真有效性的相關(guān)概念和h?有效點(diǎn)的相關(guān)定義,并在可行域?yàn)橐话惴强站o子集,約束映射為上半連續(xù)且目標(biāo)映射為錐類凸的情況下,在相對較弱的條件下得到了全局真有效點(diǎn)集連通性的定理,這就使目前全局真有效點(diǎn)集連通性的相關(guān)結(jié)論得到進(jìn)一步推廣。

        1 預(yù)備知識(shí)

        除特別說明外,本文始終假設(shè)X是拓?fù)淇臻g,Y和Z是Hausdoff局部凸拓?fù)渚€性空間。Y的拓?fù)鋵ε伎臻g用Y?表示,M?Y為非空子集,用cl(M)表示M的閉包,conv(M)表示包含M的最小的凸集,集合M的生成錐記為:

        C是Y中的閉凸點(diǎn)錐,且intC≠?。C的正對偶錐C?和嚴(yán)格正對偶錐C#分別定義為:

        B?C是非空凸子集,B稱為錐C的基,假如C=cone(B)且0?cl(B)。

        定義1.1[1]設(shè)D?Y是非空子集合,C是Y中的閉凸點(diǎn)錐:

        1)x?∈D稱為D關(guān)于C的有效點(diǎn),記x?∈E(D,C),若(D?x?)∩(?C)?C。若C為點(diǎn)錐,則x?∈D為有效點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(x??D)∩C={0},當(dāng)且僅當(dāng)(x??D)∩D={x?}。

        2)稱y0∈D為D的全局真有效點(diǎn),記作y0∈ZE(D,C),假設(shè)存在Y中的閉凸點(diǎn)錐G,C{0}?intG,使得

        由定義,可知,全局真有效點(diǎn)必然為有效點(diǎn),即

        (3)假設(shè)h∈C?{0},稱y0∈D為D的h?有效點(diǎn),若:

        此時(shí),記作y0∈h?E(D,C),記D的h?有效點(diǎn)的全體為h?E(D,C)。

        定義1.2[4]設(shè)A?X為非空子集。集值映射F:A→2Y稱作C?類凸的,若F(x)的凸包包含在F(A)+C中,即

        定義1.3[1]假設(shè)D?Y是非空子集合,C是Y中的閉凸點(diǎn)錐,假設(shè)D+C為凸集,則稱D為C?凸集。

        引理1.1[1]假設(shè)Y是局部凸的空間,C是Y中的點(diǎn)凸錐,且有基B,D?Y且D≠?是C?凸集,則有

        假設(shè)A為X的非空子集,F(xiàn):A→2Y為集值映射且?x∈A,F(x)≠?.設(shè)X為Hausdoff局部凸空間,我們研究下面的向量優(yōu)化問題(SVOP):

        定義1.4[4]假設(shè)x0∈A,y0∈F(x0),C為Y中的點(diǎn)凸錐,x0稱作(SVOP)的全局真有效解,假設(shè)存在Y中的點(diǎn)凸錐H,C{0}?intH,使得

        集值優(yōu)化問題,關(guān)于錐C全局真有效解構(gòu)成的集合記作ZE(A,C,F)。

        2 全局真有效點(diǎn)集的連通性

        設(shè)C?Y,T?Z分別是Hausdoff局部凸拓?fù)淇臻gX與Y中的非空閉凸點(diǎn)錐。A?X為非空子集合,F(xiàn):A→2Y,G:A→2Z為集值映射,且?x∈A,F(xiàn)(x)≠?,G(x)≠?。

        我們定義非空約束子集如下:

        引理2.1[5]集值映射F:S→2Y是C?類凸集值映射當(dāng)且僅當(dāng)F(S)+C為凸集。

        引理2.2[6]設(shè)A是X中的非空子集合,T?Z為閉凸點(diǎn)錐。集值映射G:A→2Z是上半連續(xù)的,則非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}是閉集。

        引理2.3[7]設(shè)X是局部凸拓?fù)淇臻g,則A?X為有界集當(dāng)且僅當(dāng)A關(guān)于X中的弱拓?fù)錇橛薪缂?/p>

        定義2.1[7]設(shè)X,Y為兩個(gè)拓?fù)淇臻g,集值映射F:X→2Y稱在x0∈X處是上半連續(xù)的,假如對F(x0)的任意的鄰域V?Y,存在x0的鄰域U,使得F(U)?V。稱F在X上是上半連續(xù)的,若F在X上任一點(diǎn)處是上半連續(xù)的。

        引理2.4[8]若A是X中的非空子集合,F(xiàn):X→2Y為集值映射,若下面3個(gè)條件同時(shí)成立:

        ①對?x∈A,F(xiàn)(x)為非空連通集;

        ②X的非空子集A為 連通集;

        ③集值映射F:X→2Y是上半連續(xù)的,

        則F(A)為連通集。

        引理2.5[9]設(shè)X和Y為2個(gè)拓?fù)淇臻g,其中X為緊集,若集值映射F:X→2Y為上半連續(xù)的,且?x∈X,F(x)為緊的,則F(X)必為緊集。

        引理2.6[10-12]設(shè)X和Y是兩個(gè)Hauddorff拓?fù)淇臻g,G:X→2Y是集值映射x0∈X,G(x0)是緊集,則G在x0∈X是上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于X中的任意網(wǎng){xα,α∈I},且xα→x0,對Y中任意網(wǎng){yα,α∈I},有yα∈G(xα),?α∈I,都存在y0∈G(x0) 和{yα,α∈I}的一個(gè)子網(wǎng)使得yβ→y0。

        命題2.1定義集值映射R:C#→2F(S)使得

        若規(guī)定C#上的拓?fù)錇閺?qiáng)拓?fù)洇?Y?,Y),F(S)上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y,Y?),F(xiàn)(S)為弱緊的,則R為 上半連續(xù)映射。

        證明:反證法。假設(shè)R不 是上半連續(xù)的,則存在h0∈C#,使得R在h0處不上半連續(xù).于是存在R(h0)的弱開鄰域V?Y,對V可取到網(wǎng){hα}?C#及網(wǎng){yα},其中yα∈R(hα),使得。由于{yα}?F(S)且F(S)為弱緊集,不妨設(shè)又yα?V,V為弱開領(lǐng)域開集,故y0?V。由

        由于F(S)為弱緊的,故F(S)是弱完全有界的,從而關(guān)于弱拓?fù)溆薪?。?Y,σ(Y,Y?))為局部凸空間,由引理2.3知,G為 有界集,于是PG是空間(Y?,β(Y?,Y))上的連續(xù)半范。于是?ε>0,?α0,使得α≥α0時(shí),有

        于是α≥α0時(shí),有

        又h0∈Y?,故h0是連續(xù)的,于是?α1≥α0,使得

        由式(2)和式(3)可得

        由極限的保號性,對(1)式兩邊取極限得

        于是y0∈R(h0)?V,但這與y0?V矛盾,于是R在C#上是上半連續(xù)的。

        定理2.1設(shè)A為X中的非空子集且為緊集,C、T分別是Y、Z中的閉凸點(diǎn)錐,B是C的有界基,在非空約束集S上的目標(biāo)集值映射F:A→2Y為C?類凸的,在S上取弱緊值且是上半連續(xù)的(這里Y上的拓?fù)涫侨跬負(fù)洇?Y,Y?)),約束映射G:A→2Z為上半連續(xù)的,其中非空約束集S={x∈A:G(x)∩T≠?}。則ZE(F(S),C)是非空連通集。

        證明:由引理2.2知A中非空約束集S為閉集,又A是緊集,故S也是緊集。因?yàn)镕是上半連續(xù)映射(其中Y上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y,Y?),且F在S上取到弱緊值,故由引理2.5知,F(xiàn)(S)是弱緊集。又F為C?類凸的,由引理2.1知,F(xiàn)(S)+C為凸集。因?yàn)閅為局部凸空間,C為閉凸錐且具有基B,由引理1.1可知

        任取h∈C#,由于h關(guān)于弱拓?fù)洇?Y,Y?)連續(xù),且F(S)關(guān)于拓?fù)洇?Y,Y?)為緊集,故?x0∈F(S),使得

        即h?E(F(S),C)≠?. 從而ZE(F(S),C)≠?。

        下證ZE(F(S),C)的連通性:

        易知

        由F(S)為弱緊集知,對?h∈C#,R(h)≠?。又C#為凸集,故C#為連通集。

        任取x1,x2∈R(h),則x1,x2∈F(S),且由R(h)的定義可知

        h∈Y??t∈[0,1]

        由于為連續(xù)線性泛函,故對,有

        下面說明tx1+(1?t)x2∈F(S),?t∈[0,1]。若不然,存在t0∈[0,1],使得

        由于F(S)+C為凸集,且x1,x2∈F(S),故存在x3∈F(S),c∈C使得

        若c=0,則有t0x1+(1?t0)x2=x3∈F(S)

        這與假設(shè)矛盾,故c≠0。此時(shí)h(c)>0,于是由h∈C#

        可得

        這與

        矛盾。

        于是

        從而tx1+(1?t)x2∈R(h),?t∈[0,1]。即R(h),?h∈C#為非空連通集。

        于是由命題2.1以及引理2.4可得∪{R(h):h∈C#}連通集,從而ZE(F(S),C)是非空連通集。

        3 結(jié)論

        本文將可行域A設(shè)定在非空的一般緊子集上,在約束映射G是上半連續(xù)的且約束集上的目標(biāo)映射F是上半連續(xù)的錐類凸的情況下, 通過對對偶錐上的集值映射連通性的證明,對含約束錐類凸的全局真有效點(diǎn)集的連通性進(jìn)行了討論,并給出了相關(guān)結(jié)論,故本文是在條件相對較弱的目標(biāo)映射及可行域更一般的條件下推廣了現(xiàn)有的集值優(yōu)化問題全局真有效點(diǎn)集連通性的有關(guān)結(jié)論。

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