(西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000)

0 引言

隨著陸地火箭落區(qū)地方經(jīng)濟發(fā)展、人口增加和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，需要保護和關(guān)注的重要目標(biāo)和重點部位越來越多，對殘骸快速回收的要求也越來越高。然而，由于殘骸落點計算精度不高，地面搜索范圍較大，嚴(yán)重制約了殘骸搜索回收的工作效率。

為減輕航天發(fā)射任務(wù)落區(qū)工作負(fù)擔(dān)，提升落區(qū)應(yīng)急處置速度，亟需建設(shè)一套火箭殘骸回收系統(tǒng)。即在火箭分離體上(分離后稱為殘骸)安裝有衛(wèi)星導(dǎo)航定位以及發(fā)送定位數(shù)據(jù)的殘骸自定位裝置，利用北斗短報文實時發(fā)送殘骸在空中的位置、速度信息，當(dāng)殘骸到達預(yù)定高度后，則進入傘控或舵控等可控墜落回收模式。

通過殘骸墜落幾次實測試驗表明，當(dāng)殘骸高速進入稠密大氣層后，其自定位裝置可靠性不高，獲取的有效定位信息較少甚至?xí)耆?lián)，嚴(yán)重后果會導(dǎo)致殘骸失控失聯(lián)以致地面搜尋不到殘骸。進入稠密大氣層前，殘骸自定位裝置工作穩(wěn)定可靠。

本文基于工程實際經(jīng)驗和需求，以能夠收到50 km高度殘骸自定位信息為前提，研究建立一種精簡的適用型精確落點計算模型，實現(xiàn)殘骸墜落過程中在預(yù)定高度落點位置的快速精準(zhǔn)計算。模型的工程應(yīng)用價值在于，當(dāng)殘骸自定位裝置工作異常后，模型可以實現(xiàn)預(yù)定高度(傘控或舵控工作點)落點位置精確計算，再根據(jù)傘控或舵控的可控墜落軌跡即可準(zhǔn)確獲取殘骸的落地位置，從而實現(xiàn)快速回收。根據(jù)火箭殘骸回收系統(tǒng)工程實際應(yīng)用需求，要求模型計算精度為 ：50 km高度以下，高度相差20 km以內(nèi)的預(yù)測落點位置偏差不大于1 km。

1 火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析

真實環(huán)境下火箭墜落過程的彈道非常復(fù)雜，受很多因素干擾，包括空氣動力、空間目標(biāo)特性、地球物理攝動影響、地球扁率和旋轉(zhuǎn)等因素。其中空氣動力又包括大氣風(fēng)場力和空氣阻力，由于火箭在無控墜落過程中速度非常大，因而受空氣阻力影響很大，而受大氣風(fēng)場力影響較小[1-2]。

圖1 墜落段運動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律

在彈道頂點，空氣非常稀薄，而且速度也非常小，空氣阻力接近為零，地球引力垂直于空氣阻力，可認(rèn)為此時火箭速度達到最小。當(dāng)火箭飛行過頂點后，地球引力的切向分量與速度方向相同，而與阻力方向相反。由于引力的作用較阻力大，速度逐漸增大。隨著火箭高度的降低，空氣密度逐漸增大，空氣阻力也在增大，當(dāng)空氣阻力與地球引力的切向分量再次相等時，此時的速度達最大值。隨著飛行高度的急劇下降，空氣密度急劇增加，空氣阻力也相應(yīng)地增加很快，加速度絕對值增大，速度不斷減小。之后因速度減小，阻力也減小，同時也因速度傾角的絕對值增大，引力的切向分量增大，故加速度又有所回升，但仍為負(fù)值。

由以上分析可知，當(dāng)火箭高速進入稠密大氣層，由于空氣阻力的作用，加速特性變化劇烈的氣動加熱和復(fù)雜的大氣環(huán)境會產(chǎn)生較大的落點偏差。因此，在火箭的落點計算中加入空氣阻力模型對提高落點計算精度是非常有必要的。

2 落點計算模型

2.1 建立運動微分方程

根據(jù)墜落過程的彈道特性分析，忽略大氣風(fēng)場力，考慮空氣阻力的影響，火箭飛行速度為V對當(dāng)?shù)厮骄€的傾角為θ，空氣阻力為X，墜落過程的運動特性如圖2所示。

圖2 考慮空氣阻力的墜落段運動特性

墜落段動力學(xué)運動微分方程組為[3]：

(1)

當(dāng)火箭以高速進入稠密大氣層時，在巨大的空氣阻力作用下，將有一個較大的負(fù)加速度，速度會急劇下降。實踐表明，火箭墜入50 km以下大氣層，空氣阻力均遠遠大于引力，而且加速度g變化較小，可將其視為常數(shù)。

X=CxSmρV2/2

(2)

Cx為空氣阻力的阻力系數(shù)，不但與飛行速度有關(guān)，而且由于實際大氣存在粘性，空氣阻力中還含有比重不大的粘性摩擦阻力，粘性摩擦阻力隨著高度的增大而減少，因此阻力系數(shù)應(yīng)是速度與高度的函數(shù)[6]。但是阻力系數(shù)在50 km高度以下的墜落過程中變化很小，若視為變量模型將非常復(fù)雜，因此，為簡化模型，實現(xiàn)模型的可解性和適用性，本文應(yīng)用于殘骸回收系統(tǒng)的落點計算模型的阻力系數(shù)視為一個定量，可通過試驗數(shù)據(jù)擬合求得。

而火箭的質(zhì)量m，為火箭殘骸的總質(zhì)量減去燃料的消耗量。殘骸墜落過程的空間面積特性變化非常復(fù)雜，但由于墜落速度很快，受空氣阻力很大，必然致使殘骸姿態(tài)趨近速度方向，因而殘骸的阻力受力面積Sm取最小截面積。

2.2 過程參數(shù)計算

以殘骸墜落過程實時自定位位置、速度信息[xkykzkvxkvykvzk]為模型彈道參數(shù)點的輸入，墜落飛行速度V、速度傾角θ、地心徑向距離r，計算式如下[7]：

(3)

對于墜落段飛行時間、射程角t、β的計算，可根據(jù)所求解出的條件，采用時域有限積分算法，選取一定的時間步長逐步積分算出最終結(jié)果?！褒埜瘛獛焖狈ㄊ且环N在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步積分算法，采用四階“龍格—庫塔”法，以數(shù)據(jù)采樣點頻率為步長進行數(shù)值積分計算。

四階“龍格—庫塔”法需要進行四次計算，是可以自啟動的單步法，需要存儲的數(shù)據(jù)量少，計算精度較高。取時間步長為h，其基本公式如下[8-9]：

(4)

以中心機數(shù)據(jù)采樣率為基準(zhǔn)，取時間步長τ=0.05s，以火箭墜落過程實測的彈道參數(shù)點數(shù)據(jù)(自定位速度、位置信息)為初值，采用四階“龍格—庫塔”法實現(xiàn)火箭墜落段的計算，具體實現(xiàn)方法如下：

對于墜落段射程角，利用三角正弦定理計算得到，βi初值為0，計算式如下：

(5)

(2)判斷控制：單步計算的結(jié)果作為下一步計算的初值，按此策略順序計算，其落點判斷控制為r

2.3 落點參數(shù)計算

模型建立和落點計算以收到高度50 km以下的殘骸自定位數(shù)據(jù)為輸入?？紤]到火箭墜落段高度50 km以下，彈道傾角較大，射程較近，地球攝動以及形體扁率影響很小，可忽略不計，模型不做地球攝動和扁率修正。以β為最終射程角，通過球面三角形公式求得經(jīng)緯度。

落點位置的地心緯度φc：

(6)

式中，φk是用于模型計算的彈道參數(shù)所在位置的地心緯度，σk是起始位置的彈道參數(shù)點的速度偏航角，σkc是用于模型計算的彈道參數(shù)點至落點方位角，J2為地球引力場二階帶球諧系數(shù)，ae為地球赤道半徑，P是地球橢圓的焦準(zhǔn)距。

預(yù)定高度的落點位置與用于模型計算彈道參數(shù)點的經(jīng)度之差：

(7)

最終獲得落點位置的大地經(jīng)緯度為：

(8)

其中：Lk是用于模型計算的殘骸自定位信息的彈道參數(shù)點大地經(jīng)度。

3 模型驗證及分析

3.1 精度分析方法

模型的精度檢驗以模型計算的落點和實際測量的落點位置之間的距離ΔS作為評價參數(shù)。若模型計算的落點經(jīng)緯度為(Lc,Bc),而實際落點為(Lo,Bo),那么兩點之間的距離ΔS可由下述公式得到[10]：

(9)

3.2 精度驗證分析

關(guān)于火箭殘骸墜落過程的自定位數(shù)據(jù)，目前基于火箭殘骸回收系統(tǒng)的先期試驗，獲得了兩個型號火箭殘骸墜落過程中相對比較完整的北斗短報文實測自定位數(shù)據(jù)，采用實測數(shù)據(jù)對模型進行精度驗證。

1)型號Ⅰ數(shù)據(jù)驗證：

型號Ⅰ火箭殘骸自定位數(shù)據(jù)通過北斗短報文下傳的實測數(shù)據(jù)較少，因早期殘骸自定位裝備可靠性不高，高度50 km以下只獲取高度40 km左右至10 km左右的數(shù)據(jù)。對模型的驗證可基于高度40、30、20 km左右的實測數(shù)據(jù)，代入模型計算獲得較低高度的預(yù)測落點，并與較低高度的實測落點(經(jīng)緯度)進行比較來分析模型精度，即是模擬利用墜落過程中自定位數(shù)據(jù)通過模型計算預(yù)定高度(傘控或舵控工作點)的落點位置。其中，模型中阻力系數(shù)Cx可近似取值為常數(shù)，基于實測數(shù)據(jù)通過正交擬合法求得為0.2，溫度設(shè)定為30 ℃。

(1)以高度10 km左右的實測位置為落點參照：以高度40、30、20 km左右的實測數(shù)據(jù)為模型輸入數(shù)據(jù)，利用建立的模型計算高度10 km的落點位置，與高度10 km實測位置進行比較計算偏差，以偏差大小評價模型精度，計算的落點結(jié)果比較如圖3所示(圖中方形為實測位置，菱形為計算位置，下同)。

以高度40 km左右的實測數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計算高度10 km左右的落點位置與實測位置偏差1.36 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.92 km；以高度20 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.78 km。

(2)以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照：以高度40、30 km左右的實測數(shù)據(jù)為輸入，計算高度20 km左右的落點位置偏差；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度30 km左右的落點位置偏差。計算的落點結(jié)果比較如圖4所示。

以高度40 km左右的實測數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計算高度20 km左右的落點位置與實測位置偏差0.52 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度20 km左右的落點位置偏差為0.14 km；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度30 km左右的落點位置偏差為0.97 km。

圖3 型號I火箭殘骸以高度10 km左右的實測位置為落點參照的計算結(jié)果比較

圖4 型號I火箭殘骸以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照的計算結(jié)果比較

結(jié)果分析為：高度相差10 km，計算的位置與實測位置平均偏差為0.63 km；高度相差20 km，平均偏差為0.72 km；高度相差30 km，偏差為1.36 km。

2)型號Ⅱ數(shù)據(jù)驗證：

型號Ⅱ火箭殘骸自定位數(shù)據(jù)獲取較完整，且在預(yù)定高度采用了傘控墜落模式，按照設(shè)計的可控墜落軌跡墜落到預(yù)定地點。為與型號Ⅰ火箭對比分析模型精度，仍選用高度40 km左右至10 km左右的數(shù)據(jù)對模型精度進行驗證。其中，模型中阻力系數(shù)Cx基于實測數(shù)據(jù)通過正交擬合法求得為0.194，溫度設(shè)定為20 ℃。計算結(jié)果如圖5～6所示。

圖5 型號Ⅱ火箭殘骸以高度10 km左右的實測位置為落點參照的計算結(jié)果比較

圖5中，以高度40 km左右的實測數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計算高度10 km左右的落點位置與實測位置偏差1.27 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.82 km；以高度20 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.45 km。

圖6中，以高度40 km左右的實測數(shù)據(jù)為輸入，通過模型計算高度20 km左右的落點位置與實測位置偏差0.66 km；以高度30 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度20 km左右的落點位置偏差為0.21 km；以高度40 km左右的數(shù)據(jù)，計算高度30 km左右的落點位置偏差為0.87 km。

圖6 型號Ⅱ火箭殘骸以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照的計算結(jié)果比較

結(jié)果分析為：高度相差10 km，計算的位置與實測位置平均偏差為0.51 km；高度相差20 km，平均偏差為0.74 km；高度相差30 km，偏差為1.27 km。

3.3 分析小結(jié)

通過以上對型號Ⅰ、Ⅱ火箭殘骸墜落過程實測數(shù)據(jù)的計算分析驗證可知，代入模型計算的實測自定位數(shù)據(jù)，高度相差越小，計算落點位置與實測位置越接近，模型預(yù)測精度越高，且高度越低模型預(yù)測精度越高。而且計算結(jié)果表明，模型對于50 km高度以下高度相差20 km以內(nèi)的落點位置預(yù)測，偏差均小于1 km，而且通過殘骸墜落幾次實測試驗表明，殘骸自定位裝備已穩(wěn)定可靠，能夠保證40 km以上墜落過程中實時自定位信息的完整獲取。模型適用性很好，滿足火箭殘骸回收系統(tǒng)工程指標(biāo)要求。

該模型基于殘骸墜落過程的實時自定位信息可實現(xiàn)落點的精確預(yù)測，不僅能夠應(yīng)用于自定位裝置異常情況實現(xiàn)預(yù)定高度落點位置精確計算，也能推廣應(yīng)用至當(dāng)傘控或舵控故障情況下實現(xiàn)殘骸落點1 km以內(nèi)的精確預(yù)測，大大減少殘骸搜索回收的工作量。同時，模型可推廣應(yīng)用至基于可靠的彈道測量數(shù)據(jù)對火箭落點進行精確的預(yù)測計算。

另外，從位置偏差可以看出，落點預(yù)測誤差呈現(xiàn)無規(guī)律性，主要原因是存在高空風(fēng)影響。模型計算過程中忽略了高空風(fēng)影響，未進行地球攝動和扁率修正，阻力系數(shù)也為近似擬合值，但最終計算結(jié)果較為理想?？缮钊胙芯浚谀Ｐ椭屑尤敫呖诊L(fēng)的大氣風(fēng)場力，并輔以地球攝動、扁率等因素的精確修正，從而進一步提升模型的落點位置預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

基于火箭殘骸回收系統(tǒng)工程需求，通過對火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析，建立了考慮空氣阻力的動力學(xué)落點計算模型，模型以殘骸墜落過程中的實時自定位信息為輸入，以四階“龍格—庫塔”法求模型運動微分方程解。最后基于火箭殘骸墜落實測數(shù)據(jù)對模型驗證分析。

分析結(jié)果表明，實時任務(wù)中若能獲得預(yù)定高度以上20 km以內(nèi)的殘骸自定位數(shù)據(jù)，預(yù)定高度落點位置的預(yù)測精度可達到1 km以內(nèi)。建立的基于火箭殘骸墜落過程中實時定位信息的落點計算模型簡化適用、精準(zhǔn)有效，計算結(jié)果較為理想，非常適合應(yīng)用于火箭殘骸回收系統(tǒng)中，對墜落過程中的傘控或舵控工作點位置進行精確預(yù)測，從而最終實現(xiàn)殘骸的快速回收，可大大縮小落區(qū)搜索范圍，提高工作效率。而且模型擴展性好，可推廣應(yīng)用其他場景需求，通過模型精度可進一步研究提升。