尤冰凌 劉雪瑩 成書杰 王晨 高先龍

(浙江師范大學物理系, 金華 321004)

采用平均場近似的方法, 分別研究了Jaynes-Cummings晶格模型和Rabi晶格模型的量子相變: Mott絕緣體相-超流體相量子相變, 探索了光的聚束-反聚束行為, 研究了Kerr非線性作用對量子相變與光子統(tǒng)計特征的影響.研究結果表明, 在Rabi晶格模型中二能級原子和光子相互作用強度g和格點之間光子躍遷強度J的增大會使晶格體系從Mott絕緣體相向超流體相轉變, 同時, 光子統(tǒng)計行為由聚束轉變?yōu)榉淳凼? 而Kerr非線性強度的增大抑制了Mott絕緣體相-超流體相相變, 但促進了光子聚束與反聚束之間的轉變.

1 引 言

光與物質(zhì)之間的作用是自然界中最基本的相互作用過程之一, 是理解多種物理現(xiàn)象的基礎.Jaynes-Cummings (JC)模型和Rabi模型是描述二能級系統(tǒng)與光場相互作用的核心模型.隨著科技的發(fā)展, 人們對原子和固態(tài)系統(tǒng)與光相互作用的控制水平不斷提高, 在光晶格系統(tǒng)上實現(xiàn)了一系列新的量子物質(zhì)的多體效應[1?12].在這些系統(tǒng)中, 光和物質(zhì)之間的相互作用有著非常重要的作用, 例如由單模的電磁諧振器和二能級系統(tǒng)相互作用形成的基本腔量子電動力學系統(tǒng).原子與光子之間的耦合會導致有效的非線性光子-光子排斥.Birnbaum等[13]研究表明這種光子排斥會阻止一個以上的光子進入空腔.光子阻塞效應[14?16]與腔內(nèi)光子隧穿之間的相互作用導致腔量子電動力學系統(tǒng)耦合形成晶格, 形成大型的Bose-Hubbard模型[17].最近, 有研究者提出了一種光晶格中存在JC模型且腔之間存在光子躍遷項的模型[1,8,18], 稱之為JC晶格模型,它描述了原子-光子之間的強耦合與腔間光子躍遷的競爭.已經(jīng)有一些文章使用JC晶格模型研究從Mott絕緣體相到超流體相的量子相圖[19,20]問題.同樣, 也可以在Rabi晶格模型中進行相應的研究.

近幾年, 平均場近似[2,6]為從Mott絕緣體相到超流體相的相變研究提供了方法, 這與Bose-Hubbard模型[21]中的研究類似.與蒙特卡羅方法[22,23]相比, 平均場近似可以定性地描述大的系統(tǒng)[24?26], 同時, 平均場近似的方法已經(jīng)擴展到偶極玻色子[27]和玻色子-費米子原子混合系統(tǒng)[28?32], 以及激子-極化子凝聚[33]等眾多領域.由于可以在光晶格中觀察到非線性光學效應[34,35], 且這種效應具有產(chǎn)生糾纏態(tài)的可能, 因此這種效應引起了人們的極大興趣, 特別是在量子信息領域[36,37].有一些實驗已經(jīng)對涉及Kerr效應的JC模型的特性進行了研究.特別是探索了由外部激光源驅(qū)動非線性腔發(fā)出光子的統(tǒng)計特性[38?40].與此同時, 控制Kerr非線性的方法也已經(jīng)得到了解決[41?43], 因此進一步研究Kerr非線性對Rabi晶格模型的影響具有重要的理論意義.

本文采用平均場近似的方法, 研究了JC晶格模型和Rabi晶格模型中Mott絕緣體相到超流體相的量子相圖, 以及從聚束到反聚束的轉變行為.并在此基礎上考慮Kerr非線性項, 分析Kerr效應對JC晶格模型和Rabi晶格模型中光量子相變與統(tǒng)計特征的影響.

2 模 型

Rabi模型描述了一個二能級系統(tǒng)和光場之間的基本相互作用,

這里,ω0是光場的頻率,ω1是二能級原子的能級差,g是光子與二能級原子的耦合強度,a?(a) 為光子的產(chǎn)生(湮滅)算符,σz是二能級原子的泡利矩陣,σ±是泡利矩陣的升降算符.

Rabi模型的相互作用項 (a?+a)(σ?+σ+) 可以寫成旋波項a?σ?+aσ+和反旋波項aσ?+a?σ+之和, 其中a?σ?表示釋放一個光子的同時二能級原子從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài),aσ+表示吸收一個光子的同時二能級原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài),aσ?表示吸收一個光子的同時二能級原子從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài),a?σ+表示釋放一個光子的同時二能級原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài).在光場頻率和原子頻率近共振、弱耦合的近似條件下, 反旋波項隨時間演化會迅速衰減到零, 可以被忽略, 即在旋波近似下,(1)式變?yōu)?/p>

即為JC模型.

如果考慮在晶格中每個格點上都有一個Rabi模型, 則得到Rabi晶格模型, 其哈密頓量為

在這里, 第一項是格點與格點之間的光子躍遷項,J是任意兩格點的躍遷能量.

如果考慮在晶格中每個格點上的Rabi模型都有Kerr非線性項, 哈密頓量則為

這里的κ是Kerr非線性強度,代表第i個格點上的Rabi模型的哈密頓量.

3 平均場理論方法

Greentree等[2]已經(jīng)用平均場理論討論過JC晶格模型, 他們揭示了從極化子的超流體相到Mott絕緣相的二階相變.這里用同樣的方法研究Rabi晶格模型.

引入一個超流序參量

來描述從Mott絕緣體相到超流體相的相變,表示對物理量求基態(tài)的期望值, 將躍遷項中的代換為代換為

在一維晶格鏈中, 一個格點可以向相鄰的兩個格點躍遷, 所以, 有效哈密頓量可以寫成:

考慮矩陣直和, 有效哈密頓量可以分解為Heff=其中, 第i個格點的有效哈密頓分量為

如果考慮Kerr非線性項, 則有效哈密頓量為

這里的κ是Kerr非線性強度.

由此, 可以根據(jù)有效哈密頓量寫出對應的哈密頓量矩陣, 從而數(shù)值計算出相圖.

4 數(shù)值結果及討論

光的量子相變是指當控制光子之間的有效相互作用的參數(shù)發(fā)生變化時, 腔中光子的量子態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變, 所以本文將通過不同的物理變量來觀察光的量子相變.在數(shù)值計算上主要采用迭代法求得超流序參量.先為A設定一個初始值, 得到一個有效哈密頓量, 通過求解相應的薛定諤方程求出定態(tài)波函數(shù), 并由此計算得出下一個, 如此迭代直到得到一個收斂的A值.利用超流序參量、腔內(nèi)光子數(shù)的基態(tài)期望值和二階關聯(lián)函數(shù)g2(0) 就可以描述Rabi晶格模型的量子相變.

圖1 (a), (b)平均場近似下, 不同晶格模型關于超流序參量 的 J -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi 晶格模型.橫坐標為格點之間的光子躍遷強度 J , 縱坐標為二能級原子和光子相互作用強度 g , 橫縱坐標的單位為 ω 0 , 顏色條表示超流序參量的大小.深藍色表示Mott絕緣相, 淺黃色表示超流體相.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , 光子截斷數(shù) N =20.(c), (d)對于不同的 J , 不同晶格模型的超流序參量 A 隨 g 變化的圖像 (c) JC晶格模型; (d) Rabi晶格模型Fig.1.(a), (b) Under the mean field approximation, the J -g phase diagram of different lattice models with respect to the superfluid order parameter : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the photon transition intensity J between the lattice, the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 ,and the color bar represents the value of the superfluid order parameter .Dark blue indicates Mott insulating phase, and light yellow indicates superfluid phase.Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , and the number of the photon truncation N=20.(c), (d) For different J , the superfluid order parameter A of different lattice models varies with g : (c) JC lattice model;(d) Rabi lattice model.

首先研究兩種晶格模型基態(tài)下的光量子相變行為.圖1(a)和圖1(b)分別給出了JC晶格模型和Rabi晶格模型的J-g相圖, 即Mott絕緣體相-超流體相轉變的相圖, 其中g為二能級原子和光子之間的相互作用強度,J為格點之間的光子躍遷強度.圖中深藍色區(qū)域A=0 , 表示Mott絕緣體相,而A>0 的區(qū)域為超流體相.根據(jù)哈密頓量, JC晶格模型相圖(圖1(a))中特殊的平臺型圖像(深藍色區(qū)域)對應著不同的單格點內(nèi)的總激發(fā)數(shù), 并且此時的超流序參數(shù)A=0.而在Rabi晶格模型中,由于考慮了反旋轉波項, 平均場近似后的單格點約化系統(tǒng)的總激發(fā)數(shù)即使在Mott相中也不再守恒.因此, 為了更加直觀地討論J和g對量子相變的作用, 在圖1(c)和圖1(d)中對JC晶格模型和Rabi晶格模型的相變進行了分析.圖1(c)為對于不同的J,JC晶格模型的超流序參量A隨g變化的圖像, 在J很小時, 超流序參量A不會隨g的增大而增大.但當J和g增大達到一定值時,A會隨g的增大而增大.圖1(d)為對于不同的J, Rabi晶格模型的超流序參量A隨g變化的圖像, 可以看出, 當g達到一定值時,A隨g的增大而增大.圖1(c)和圖1(d)說明光子躍遷強度J對超流體相的產(chǎn)生具有促進作用.對于JC晶格模型, 在光子躍遷強度J較大的時候, 相互作用強度g才會對超流體相的產(chǎn)生有一定的促進作用; 對于Rabi晶格模型, 由于反旋波項的存在, 相互作用強度g會促進Mott絕緣相到超流體相的轉變.

然后, 研究兩類晶格體系中的光子統(tǒng)計行為,利用Glauber[44]于1963年在量子光學的研究中提出的無延時兩光子關聯(lián)函數(shù):

它表示測量第一個光子時測量到第二個光子的相對概率, 描述了兩個連續(xù)光子測量之間的相關性.在量子光學中, 光子聚束和反聚束表征了腔內(nèi)光子的兩種可區(qū)分狀態(tài).光子聚束表示更多的光子被檢測到是相互靠近, 而不是相互遠離, 所以光子有呈束狀分布的趨勢, 這時g2(0)>1.光子反聚束表示更多的光子單獨存在而不是相互靠近, 這時光子沒有呈束狀分布的趨勢, 這意味著要檢測到第二個光子具有反相關效果, 即g2(0)<1.對于相干態(tài), 兩次連續(xù)光子檢測之間沒有相關性, 光子呈隨機分布, 此時g2(0)=1.

圖2為二階關聯(lián)函數(shù)g2(0) 的J-g相圖,g2(0)隨J及g的增大而增大.黑線為g2(0)=1 ,g2(0)>1對應于光子聚束相,g2(0)<1 對應于光子反聚束相.可以看到, JC晶格模型沒有光子聚束行為, 一直處于反聚束狀態(tài).而Rabi晶格模型在相互作用強度g較小的時候處于光子聚束, 隨著g的增大,Rabi晶格模型逐漸從光子聚束到反聚束變化.同時, 隨著光子躍遷強度J的增大, Rabi晶格模型也逐漸從光子聚束到反聚束變化.這說明相互作用強度g和光子躍遷強度J都會影響Rabi晶格模型光子聚束向反聚束的轉變, 其性質(zhì)與JC晶格模型有顯著差異.

接下來, 研究Kerr非線性項對Rabi晶格模型和JC晶格模型的量子相變以及對聚束和反聚束轉變行為的影響.

圖2 平均場近似下, 不同晶格模型關于二階關聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的 J -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi晶格模型.橫坐標為格點之間的光子躍遷強度 J , 縱坐標為二能級原子和光子相互作用強度 g , 橫縱坐標的單位為 ω 0 , 顏色條表示二階關聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的值.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , 光子截斷數(shù)N=20Fig.2.Under the mean field approximation, the J -g phase diagram of different lattice models with respect to the second-order correlation function g 2(0) : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the photon transition intensity J between the lattice, the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 ,the color bar is represented by the value of the second-order correlation function g 2(0).ω 0=ω1=1 , and the number of photon truncation N =20.

圖3 Kerr效應下不同晶格模型關于超流序參量 的 κ -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi 晶格模型.橫坐標為Kerr非線性強度 κ , 縱坐標為二能級原子和光子相互作用強度 g , 橫縱坐標的單位為 ω 0 , 顏色條表示超流序參量 A 的大小.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , J =0.05 , 光子截斷數(shù)N=20Fig.3.The κ -g phase diagram of different lattice models under the Kerr effect with respect to the superfluid order parameter: (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the Kerr nonlinear intensity κ , the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 , and the color bar represents the value of the superfluid order parameter A.Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , J =0.05 , and the number of photon truncation N=20.

圖4 Kerr效應下不同晶格模型關于二階關聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的 κ -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi晶格模型.橫坐標為Kerr非線性強度 κ , 縱坐標為二能級原子和光子相互作用強度 g , 橫縱坐標的單位為 ω 0 , 顏色條表示二階關聯(lián)函數(shù) g 2(0).其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , J =0.05 , 光子截斷數(shù)N=20Fig.4.The κ -g phase diagram of different lattice models under the Kerr effect with respect to the second-order correlation function g 2(0) : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the Kerr nonlinear intensity κ , the ordinate is the twolevel atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 , and the color bar represents the value of second-order correlation function g 2(0).Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , J =0.05 , and the number of photon truncation N =20.

圖3 (a)和圖3(b)分別為JC晶格模型和Rabi晶格模型的Mott絕緣體相-超流體相相圖, 刻畫了二階關聯(lián)函數(shù)隨二能級原子和光子之間的相互作用強度g和Kerr非線性強度κ的變化情況.圖3(a)中的Mott絕緣相被分為三個部分, 這與圖1(a)中JC晶格模型的平臺型結構有關, 可以驗證對于不同的J, Mott絕緣相可以分成不同的區(qū)域.從圖3(a)可以看出, 序參量A隨著Kerr非線性強度κ的增大而減小, 即Kerr非線性項對超流體相有抑制作用.這是因為JC晶格模型中非線性項增加了每個格點中光子的排斥, 從而導致系統(tǒng)趨于Mott相[2].圖3(a)中淡藍色直線區(qū)域與圖1(a)中N=0和N=1 之間的超流區(qū)域?qū)? 即在躍遷強度J較小的時候, Kerr非線性項對JC晶格在g=1 時N=0 和N=1 之間的超流區(qū)域沒有影響,這與文獻[45]的結果一致.

在圖4(a)和4(b)中, 研究了 JC晶格模型沒有聚束到反聚束的轉變, 以及Rabi晶格模型隨g和κ的變化從聚束到反聚束的轉變.可以看出, 二階關聯(lián)函數(shù)g2(0) 隨著Kerr非線性強度κ的增大而減小,說明Kerr非線性強度κ會促進光子反聚束的產(chǎn)生.

5 結 論

本文采用平均場近似法研究了JC晶格模型和Rabi晶格模型, 得到了JC晶格模型和Rabi晶格模型的有效哈密頓量, 再用迭代法求得超流序參量, 然后對得到的物理圖像進行分析, 從而研究了由二能級原子和光子耦合的晶格系統(tǒng)的性質(zhì).

研究發(fā)現(xiàn), JC晶格模型只存在Mott絕緣體相-超流體相量子相變, 而Rabi晶格模型存在Mott絕緣體相-超流體相的量子相變和光子聚束-反聚束的轉變, 這是反旋波項影響的結果.同時, 分別討論了光子躍遷強度J和相互作用強度g對超流序參量A的影響, 發(fā)現(xiàn)在Rabi晶格模型中, 二能級原子與光子之間的相互作用強度g和格點之間的光子躍遷強度J的增大, 會促進模型從Mott絕緣體相到超流體相的量子相變和光子聚束到反聚束的轉變.同時, 考慮了Kerr非線性項對JC晶格模型和Rabi晶格模型的影響, 發(fā)現(xiàn)在Rabi晶格模型中,Kerr非線性項抑制Mott絕緣體相向超流體相的轉變, 但是促進光子聚束向反聚束轉變, 這說明Kerr非線性項可以在光子之間產(chǎn)生有效的光子-光子排斥作用.

這些研究結果凸顯了二能級系統(tǒng)與光腔的相互作用強度g和光子躍遷強度J對JC晶格模型和Rabi晶格模型的重要性, 以及Kerr非線性項對Rabi晶格模型具有重要影響, 為研究這些模型的量子相變提供了理論方法, 對實驗研究JC晶格模型和Rabi晶格模型有一定的指導意義.