馬瑞軒 王益民 張樹(shù)海 武從海 王勛年

1) (中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心, 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 綿陽(yáng) 621000)

2) (中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心, 氣動(dòng)噪聲控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 綿陽(yáng) 621000)

以聲波為主要表現(xiàn)形式的膨脹過(guò)程和以旋渦為主要表現(xiàn)形式的剪切過(guò)程之間的非線性耦合問(wèn)題一直以來(lái)都是流體力學(xué)的研究熱點(diǎn).尤其是旋渦對(duì)聲波的散射問(wèn)題, 具有重要的科學(xué)意義與工程應(yīng)用背景.本文通過(guò)線性緊致格式直接數(shù)值求解二維歐拉方程, 獲得了平面聲波穿過(guò)均熵Taylor渦的散射特性.與之前經(jīng)典文獻(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)算例比較, 結(jié)果極其吻合, 直接驗(yàn)證了研究所采用的高精度高分辨率空間差分和時(shí)間推進(jìn)格式以及遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)反射邊界條件(緩沖區(qū))的計(jì)算方法在時(shí)域同時(shí)解析動(dòng)力學(xué)量和聲學(xué)量(量級(jí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于動(dòng)力學(xué)量)的有效性.通過(guò)引入散射截面, 將全區(qū)域的散射分為長(zhǎng)波近似區(qū)、共振散射區(qū)和幾何聲學(xué)區(qū).針對(duì)每個(gè)子區(qū)域,重點(diǎn)分析了無(wú)量綱尺度量旋渦強(qiáng)度和長(zhǎng)度尺度比對(duì)散射聲場(chǎng)的影響, 給出了散射聲場(chǎng)關(guān)于上述兩個(gè)關(guān)鍵無(wú)量綱參數(shù)的尺度律關(guān)系, 并且得到了極低馬赫數(shù)極大波長(zhǎng)時(shí)散射聲場(chǎng)的分布函數(shù).在此基礎(chǔ)上給出了關(guān)于旋渦聲散射物理機(jī)制的一種解釋.

1 引 言

旋渦流動(dòng)中的聲傳播問(wèn)題作為氣動(dòng)聲學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題, 不僅可以直接應(yīng)用于聲目標(biāo)識(shí)別與探測(cè),旋渦主動(dòng)降噪等實(shí)際工程問(wèn)題[1?5], 而且對(duì)于發(fā)展氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算方法[6]以及認(rèn)識(shí)復(fù)雜流動(dòng)(如剪切層、湍流)與聲波相互作用及其發(fā)聲機(jī)理有著重要意義[7?12], 極具應(yīng)用與科研價(jià)值.

聲波穿過(guò)旋渦流動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的非線性散射, 頻率、幅值和相位會(huì)發(fā)生顯著的變化, 而且聲波的傳播也會(huì)影響流場(chǎng)本身隨時(shí)間發(fā)展的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.旋渦流動(dòng)對(duì)聲波的散射問(wèn)題有著悠久的研究歷史, 其中聲波與湍流的相互作用問(wèn)題的研究歷史甚至超過(guò)氣動(dòng)聲學(xué)本身.早在1941年, 前蘇聯(lián)學(xué)者Obukhov[13]就開(kāi)展了湍流對(duì)聲散射的研究.Kraichnan[10]和Lighthill[11]針對(duì)湍流聲散射問(wèn)題采用Lighthill聲比擬方法發(fā)展了最早的理論預(yù)估模型.Howe[14]發(fā)展了用來(lái)描述包含多尺度連續(xù)旋渦對(duì)聲波散射的動(dòng)力學(xué)方程.Clifford和Brown[15]基于含源項(xiàng)的亥姆霍茲方程發(fā)展了描述散射聲場(chǎng)強(qiáng)度的理論模型, 并且發(fā)現(xiàn)流場(chǎng)的平均輸運(yùn)速度會(huì)帶來(lái)散射聲波的多普勒頻移現(xiàn)象.采用拋物型的近似方程, Ostashev等[16]開(kāi)展了理論研究, Dallois等[17]開(kāi)展了數(shù)值研究.

目前絕大多數(shù)針對(duì)湍流聲散射的研究主要采用半經(jīng)驗(yàn)的理論預(yù)估模型和數(shù)值計(jì)算方法, 缺乏描述湍流的精確物理模型.而且研究中發(fā)現(xiàn)對(duì)聲散射起決定作用的流動(dòng)結(jié)構(gòu)是一系列具有特定尺度的旋渦結(jié)構(gòu), 因此從單個(gè)旋渦出發(fā)研究聲散射具有重要的意義.在早期, Fetter[18]從線性歐拉方程,Oshea[19]采用聲比擬理論都獲得了經(jīng)典點(diǎn)渦對(duì)聲波的散射特性.Colonius[20,21]等選取多個(gè)基本旋渦流動(dòng)結(jié)構(gòu), 分別采用直接數(shù)值模擬和理論研究的方法開(kāi)展了聲散射研究.其中針對(duì)Rankine渦, 基于聲比擬理論分析了低馬赫數(shù)下聲散射特性, 采用聲線法獲取了高頻近似解.Ford等[22?24]和Hattori等[25]采用匹配漸近展開(kāi)的方法研究了球?qū)ΨQ旋渦聲散射的特性, 并且采用直接數(shù)值計(jì)算的方法驗(yàn)證了其理論結(jié)果.Howe[26], Kopiev和Belyaev[27]分別采用渦聲理論和諧波展開(kāi)的方法研究了Rankine渦的聲散射特性.

現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論方法直接嚴(yán)格求解旋渦聲散射的控制方程時(shí)會(huì)遇到一系列技術(shù)上的難題, 發(fā)展理論模型時(shí)必須要進(jìn)行數(shù)學(xué)上的近似, 比如漸近展開(kāi)時(shí)要求旋渦流動(dòng)是低馬赫數(shù), 玻恩近似時(shí)要求聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于渦核半徑, 幾何聲學(xué)理論中的射線追蹤法只適用于高頻聲散射.但是在實(shí)際推導(dǎo)過(guò)程中, 大多時(shí)候這些近似所需要的數(shù)學(xué)條件無(wú)法同時(shí)滿足, 而且近似條件也大大地限制了結(jié)果的適用范圍.目前還不存在普遍適用且準(zhǔn)確性高的理論模型, 絕大多數(shù)理論模型缺乏對(duì)散射聲場(chǎng)細(xì)節(jié)的解析, 比如相位信息的缺失.近年來(lái), 隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的提升, 開(kāi)展精細(xì)化的數(shù)值模擬成為了一種常用的研究旋渦聲散射的手段.其中, Candel[28]通過(guò)數(shù)值求解近似的拋物型方程獲得了聲波穿過(guò)Rankine渦的畸變特性, Colonius等[20,21]通過(guò)直接數(shù)值求解Navier-Stokes方程獲得了典型緊致渦與非緊致渦的聲散射特性, Clair和Gabara[29]通過(guò)數(shù)值求解線性歐拉方程獲得了旋渦運(yùn)動(dòng)對(duì)散射聲場(chǎng)的影響特性.但是這些研究中, 大多是將數(shù)值計(jì)算作為驗(yàn)證理論結(jié)果的手段, 沒(méi)有對(duì)計(jì)算結(jié)果系統(tǒng)分析進(jìn)而給出散射聲場(chǎng)的定量描述.本文針對(duì)均熵Taylor渦, 通過(guò)高精度高分辨率方法直接數(shù)值求解二維歐拉方程, 獲得了散射聲場(chǎng)隨時(shí)間演化的全部信息.通過(guò)分析散射截面與旋渦強(qiáng)度和長(zhǎng)度尺度比的尺度律關(guān)系, 將旋渦聲散射進(jìn)行了分類(lèi).針對(duì)每一類(lèi)型的散射, 重點(diǎn)分析了散射聲場(chǎng)關(guān)于上述兩個(gè)無(wú)量綱量的尺度效應(yīng).

2 物理模型

2.1 均熵Taylor渦

首先, 給出本文所用旋渦模型的詳細(xì)數(shù)學(xué)表示.考慮二維圓對(duì)稱均熵流動(dòng), 在柱坐標(biāo) (r,θ) 下其法向和徑向速度表示如下:

這就是經(jīng)典Taylor渦 (Taylor, 1918) 在無(wú)粘情況下的表述.其中, 速度分量和空間坐標(biāo)分別采用無(wú)窮遠(yuǎn)處的聲速c∞和渦核半徑R進(jìn)行無(wú)量綱化處理.旋渦的馬赫數(shù)(旋渦強(qiáng)度)定義為

這里Uv是旋渦的最大速度.再由均熵關(guān)系:

和聲速關(guān)系:

可以得到密度和壓強(qiáng)的表達(dá)式:

其中密度ρ和壓強(qiáng)p分別采用無(wú)窮遠(yuǎn)處密度ρ∞和無(wú)量綱化;γ表示絕熱指數(shù), 空氣中一般為1.4.

2.2 平面聲波

選取無(wú)窮遠(yuǎn)處沿x正方向傳播的平面波作為入射波, 具體表達(dá)式如下:

這里聲學(xué)量的密度ρ′;x方向速度分量u′;y方向速度分量v′和壓強(qiáng)p′采用和 旋 渦動(dòng)力學(xué)量相同參考量進(jìn)行無(wú)量綱化;ω為平面波的角頻率;ε=10?5?1, 以保證聲學(xué)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于動(dòng)力學(xué)量.

3 計(jì)算方法

與之前的研究類(lèi)似[25], 我們認(rèn)為聲傳播的過(guò)程可以忽略粘性和熱傳導(dǎo)效應(yīng).因此在本文的研究中, 通過(guò)數(shù)值求解二維歐拉方程獲取平面聲波穿過(guò)旋渦后的散射特性.其守恒形式如下:

其中U是守恒變量;F和G分別是x,y方向的流通矢量, 具體形式為

ρ,u,v,p分別是密度、x和y方向的速度、壓強(qiáng);總能量密度

為了更好地從背景流場(chǎng)(動(dòng)力學(xué)量)中解析出聲學(xué)量, 空間離散采用經(jīng)典的6階中心緊致格式(邊界處為3階精度), 并且采用4階龍格庫(kù)塔格式進(jìn)行時(shí)間推進(jìn).為了保持計(jì)算的穩(wěn)定性, 采用8階中心緊致濾波技術(shù)抑制計(jì)算中產(chǎn)生的非物理高頻振蕩.

計(jì)算在直角坐標(biāo)系(x,y)下進(jìn)行, 矩形計(jì)算域如圖1所示.上節(jié)給出的均熵Taylor渦是非定常歐拉方程的精確解, 在計(jì)算中保持定常狀態(tài), 可作為理想的背景流動(dòng).旋渦中心位于計(jì)算域的幾何中心.本文只考慮順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋渦, 逆時(shí)針對(duì)應(yīng)的結(jié)果只需沿x軸對(duì)稱變換即可.左邊界為入口邊界, 按照(8)式給定沿x軸正方向傳播的平面聲波.右邊界為出口邊界, 為了減少邊界反射對(duì)計(jì)算的影響, 在右邊界的外設(shè)置緩沖區(qū)(buffer zone)[30,31].在上下邊界處, 我們將物理量分成定常部分和非定常部分, 定常部分按照(1)式, (2)式, (6)式和(7)式給定, 非定常部分采取高階單邊插值的方法處理.

圖1 計(jì)算域示意圖Fig.1.Schematic diagram of computation configuration.

計(jì)算中采用等間距的笛卡爾網(wǎng)格, 網(wǎng)格間距滿足能同時(shí)解析旋渦動(dòng)力學(xué)量和聲學(xué)小擾動(dòng)量的要求, 取 ?x=?y=min{λ/8,R/16}, 其中λ為入射聲波的波長(zhǎng), 且有λ=2πc∞/ω.計(jì)算域設(shè)置為緩沖區(qū)的厚度為 2λ.柯朗數(shù)c∞?t/?x=0.4 , 總計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為20(R+λ)/c∞.

跟隨文獻(xiàn)[21]中的思想, 散射聲場(chǎng)按如下方式計(jì)算:

其中psc,p,pvor和pinc分別表示散射聲壓、總壓強(qiáng)、旋渦的動(dòng)力學(xué)壓強(qiáng)和入射波的聲壓.等到計(jì)算穩(wěn)定后, 開(kāi)始統(tǒng)計(jì)散射聲壓計(jì)算得到散射聲壓的均方根prms.

4 方法驗(yàn)證

在時(shí)域直接數(shù)值模擬聲傳播的方法主要有三種: 求解Navier-Stokes方程(文獻(xiàn)[21])、求解線性歐拉方程(文獻(xiàn)[29])、還有本文所采用直接數(shù)值求解歐拉方程[32].

為了考察本文方法的可行性和計(jì)算的準(zhǔn)確性,選取文獻(xiàn)[21, 29]中的標(biāo)準(zhǔn)算例計(jì)算并進(jìn)行對(duì)比.算例中入射聲波波長(zhǎng)λ=4R, 均熵Taylor渦的馬赫數(shù)Mv=0.125.為了更好的與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比, 對(duì)所得到的散射聲壓均方根prms(r= 8R)使用入射聲壓的幅值pi進(jìn)行歸一化處理, 從而得到無(wú)量綱量prms/pi, 其中pi=ε=10?5.下文中如果不作特殊說(shuō)明, 在指向性分布計(jì)算中, 散射聲壓均方根prms均取r= 8R處的值.

由圖2可知, 采用本文所建方法得到的結(jié)果與Colonius等在文獻(xiàn)[21]和Clair等在文獻(xiàn)[29]中的計(jì)算結(jié)果吻合度很高, 尤其與文獻(xiàn)[29]中結(jié)果極度吻合, 充分證明了本文所建方法的有效性.相比直接求解Navier-Stokes方程, 歐拉方程不考慮粘性和熱傳導(dǎo)效應(yīng), 保證了均熵Taylor渦在計(jì)算過(guò)程中保持定常狀態(tài)(不考慮數(shù)值耗散), 有利于有效地提取出散射聲場(chǎng), 因此歐拉方程更加適合具有解析解的旋渦對(duì)聲波的散射問(wèn)題.而且相比線性歐拉方程的人為固定背景流動(dòng), 歐拉方程的計(jì)算是將動(dòng)力學(xué)量和聲學(xué)量耦合在一起, 考慮了兩者之間的非線性相互作用, 更加接近真實(shí)物理情況.但是,采用歐拉方程計(jì)算的結(jié)果中同時(shí)也包含了聲學(xué)量和動(dòng)力學(xué)量, 而將這兩部分物理量分離一直以來(lái)都是氣動(dòng)聲學(xué)的難題.因此, 之前大多數(shù)聲散射研究采用將完整的歐拉方程近似為線性歐拉方程的方法達(dá)到分離動(dòng)力學(xué)量和聲學(xué)量的目的.而本研究采用歐拉方程進(jìn)行計(jì)算, 并將動(dòng)力學(xué)量與聲學(xué)量成功分離是建立在等熵Taylor渦隨距離指數(shù)衰減的特性.在渦核區(qū)域外, 流體動(dòng)力學(xué)量快速衰減, 背景流動(dòng)接近靜止空氣介質(zhì).那么在遠(yuǎn)場(chǎng)存在的擾動(dòng)成分就只有聲波.

圖2 驗(yàn)證算例Fig.2.Comparison with previous studies.

5 計(jì)算結(jié)果與分析

由第2節(jié)中旋渦和聲波的數(shù)學(xué)表達(dá)式中容易看出: 關(guān)于旋渦對(duì)聲波的散射問(wèn)題中, 有四個(gè)重要的物理量—旋渦的渦核半徑R、旋渦最大速度Uv、聲波的波長(zhǎng)λ和聲波的傳播速度c∞.前兩個(gè)物理量決定了渦的運(yùn)動(dòng), 后兩個(gè)決了聲傳播的特性.為了衡量?jī)烧叩南嗷プ饔? 我們互相進(jìn)行無(wú)量綱化, 就可以得到兩個(gè)重要的無(wú)量綱參數(shù): 速度尺度比(這里我們稱之為旋渦強(qiáng)度, 即旋渦馬赫數(shù))Mv和長(zhǎng)度尺度比(聲波波長(zhǎng)與旋渦渦核半徑之比)λ/R.在本文, 針對(duì)旋渦強(qiáng)度Mv從0.015625到0.25和長(zhǎng)度尺度比λ/R從0.125到16范圍內(nèi)旋渦聲散射特性進(jìn)行計(jì)算并分析研究.這里旋渦強(qiáng)度和長(zhǎng)度尺度比的具體選擇采用二分法, 從需要模擬的最大值開(kāi)始, 每次縮小1/2, 直至需要模擬的最小值.前期經(jīng)過(guò)大量數(shù)值模擬結(jié)果摸索出了這種取法, 可以用盡可能少的算例, 得到比較完整的規(guī)律(包含了聲散射的三個(gè)子區(qū)域).

5.1 散射截面

為了更加直觀地評(píng)價(jià)兩個(gè)無(wú)量綱尺度參數(shù)Mv和λ/R對(duì)旋渦聲散射特性的影響(尺度效應(yīng)), 引進(jìn)散射截面Σ表征旋渦對(duì)聲波散射的強(qiáng)弱, 其中:

可以看出散射截面依賴于積分圓的半徑r.考慮到散射波以球面波的形式向外輻射, 在遠(yuǎn)場(chǎng)(r?R)基本上以衰 減[21,29].因 此 以 πr進(jìn) 行 無(wú) 量 綱 化,既使得在遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)散射截面保持與半徑r無(wú)關(guān), 又可以保證入射波與散射波強(qiáng)度相當(dāng)時(shí), 散射截面的大小與1接近.不失一般性, 計(jì)算散射截面時(shí), 當(dāng)時(shí),r取8R; 當(dāng)λ>πR時(shí),r取16R.

圖3給出了當(dāng)長(zhǎng)度尺度比λ/R為0.125, 0.25,0.5, 1, 2, 4, 8, 16時(shí), 散射截面 Σ 與旋渦強(qiáng)度Mv之間的關(guān)系.對(duì)于所計(jì)算范圍的所有λ/R, Σ 都會(huì)隨著Mv的增加而增加, 直至達(dá)到1的量級(jí)時(shí), 不再會(huì)有明顯的變化.一旦散射截面超過(guò)100, 其與旋渦強(qiáng)度的平方關(guān)系將不再成立.散射截面與旋渦強(qiáng)度的定量關(guān)系依賴于長(zhǎng)度尺度比的大小, 當(dāng)λ/R>1 時(shí),Σ與Mv的平方呈正比; 當(dāng)λ/R<1 時(shí),只有對(duì)旋渦強(qiáng)度較小時(shí)成立.顯然, 散射波的強(qiáng)弱與旋渦的強(qiáng)度呈正相關(guān), 且最大只能達(dá)到與入射波相同的量級(jí).

圖3 不同長(zhǎng)度尺度比下散射截面與旋渦強(qiáng)度的關(guān)系(對(duì)數(shù)坐標(biāo)系)Fig.3.Scattering cross-section Σ potted against M v at different λ /R (Logarithmic coordinate system).

圖4 給出了當(dāng)旋渦強(qiáng)度Mv為0.015625, 0.3125,0.0625, 0.125, 0.25時(shí), 散射截面Σ與長(zhǎng)度尺度比λ/R之間的關(guān)系.對(duì)于所計(jì)算范圍的所有Mv, 散射截面Σ都會(huì)隨著λ/R的增加而減小, 且減小的速度隨著λ/R的增加而越來(lái)越快, 在長(zhǎng)度尺度比較大時(shí), 衰減速度的接近 (λ/R)?4.經(jīng)典的理論分析證明在玻恩近似(即長(zhǎng)波近似,λ/R→+∞時(shí))下,衰減的速度可達(dá)到最大值 (λ/R)?4.按照文獻(xiàn)[22]針對(duì)希爾球渦聲散射的理論分析方法, 對(duì)于Taylor渦的聲散射結(jié)果, 在低馬赫數(shù)大波長(zhǎng)的理想情況下, 同樣可以得到:

圖4 不同旋渦強(qiáng)度下散射截面與長(zhǎng)度尺度比的關(guān)系(對(duì)數(shù)坐標(biāo)系)Fig.4.Scattering cross-section Σ plotted against λ /R at different M v (Logarithmic coordinate system).

下面考慮旋渦強(qiáng)度Mv和長(zhǎng)度尺度比λ/R兩者共同對(duì)散射截面 Σ 的影響.將整個(gè)旋渦聲散射定義在關(guān)于Mv和λ/R的平面上, 并且將該平面劃分為:長(zhǎng)波近似區(qū), 共振散射區(qū)和幾何聲學(xué)區(qū).具體劃分如圖5所示, 以為特征變量.在長(zhǎng)波近似區(qū)近似有這是由經(jīng)典的長(zhǎng)波近似理論, 即玻恩近似所得到的.在共振散射區(qū)有而λ/R的–4次方律不再成立.在該區(qū)域里入射聲波波長(zhǎng)與渦核尺度相當(dāng), 散射聲場(chǎng)強(qiáng)度與入射聲場(chǎng)也相當(dāng), 產(chǎn)生了類(lèi)似“共振”的散射效應(yīng); 在幾何聲學(xué)區(qū),Mv的2次方律和λ/R的–4次方律都不再成立, 該區(qū)域的聲散射現(xiàn)象可以通過(guò)幾何聲學(xué)理論進(jìn)行分析.其中, 長(zhǎng)波近似區(qū)和共振散射區(qū)的分界線大致在λ/R=2π , 正好對(duì)應(yīng)于亥姆霍茲數(shù)kR=2πR/λ=1 , 其中k為波數(shù).而共振散射區(qū)和幾何聲學(xué)區(qū)通常以S= 1為分界線.下面分別對(duì)這三個(gè)區(qū)域的散射特性的尺度效應(yīng)做詳細(xì)分析.

圖5 旋渦強(qiáng)度和長(zhǎng)度尺度比共同對(duì)散射截面的影響(對(duì)數(shù)坐標(biāo)系)Fig.5.Scattering cross-section as a function of M v and λ/R(Logarithmic coordinate system).

5.2 長(zhǎng)波近似區(qū)

圖6 給出了無(wú)量綱時(shí)間t= 280時(shí)的無(wú)量綱化的散射聲壓psc/pi.在長(zhǎng)波近似區(qū), 旋渦對(duì)聲波的散射很弱, 散射聲場(chǎng)的強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于入射聲場(chǎng).散射聲場(chǎng)的指向性類(lèi)似于四極子聲場(chǎng), 出現(xiàn)了四道波束(beam), 分別位于θ=45?,?45?,?135?,135?附近, 依次記作第一波束(first beam), 第二波束(second beam), 第三波束(third beam), 第四波束(fourth beam).靠近x正方向的兩道波束強(qiáng)于靠近x軸負(fù)方向的兩道波束, 且任意相鄰的兩道波束之間相位相反.

圖6 t = 280時(shí)的散射聲壓, 其中 M v=0.125 ,λ/R=10Fig.6.Snapshot of scattered pressure withMv=0.125 and λ /R=10 at t = 280.

圖7 給出了長(zhǎng)波近似區(qū)五個(gè)典型狀態(tài)的聲壓均方根 (r= 16R) 的指向性特征, 采用無(wú)量綱量作為特征量.和瞬時(shí)散射聲壓類(lèi)似, 均方根值也出現(xiàn)了四道波束, 且每道波束的形狀類(lèi)似一個(gè)半正弦函數(shù).散射聲壓均方根prms與旋渦強(qiáng)度Mv呈正比.但是隨著Mv增加, 散射聲場(chǎng)的指向性分布表現(xiàn)出更多的不對(duì)稱性, 第一波束的強(qiáng)度逐漸增強(qiáng), 相應(yīng)地, 第二波束減弱.這與文獻(xiàn)[29]中的完全對(duì)稱的描述不符.這種差異主要來(lái)源于計(jì)算所使用的的控制方程不同.本文所采用歐拉方程模型是比文獻(xiàn)[29]中忽略高階小項(xiàng)的線性歐拉方程更加貼合真實(shí)的物理模型, 而且在旋渦的馬赫數(shù)較高時(shí), 這種非線性的高階項(xiàng)愈發(fā)重要, 因此本文所得到的結(jié)果更為可信.在極低馬赫數(shù)時(shí),指向性分布關(guān)于聲波入射方向完全對(duì)稱, 這與基于低馬赫數(shù)大波長(zhǎng)的理論分析結(jié)果(玻恩近似[18,19]和匹配漸近展開(kāi)[22?25])類(lèi)似.同時(shí), 隨著Mv減小,在θ=0?處的散射逐漸趨于0.散射聲場(chǎng)關(guān)于長(zhǎng)度尺度比λ/R的“–2次方律”基本符合.同樣隨著λ/R增加, 不同波束的強(qiáng)度逐步接近, 散射聲場(chǎng)表現(xiàn)了良好的對(duì)稱性.

圖7 長(zhǎng)波近似區(qū)的散射聲壓均方根指向性分布Fig.7.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered fields in long-wavelength domain.

綜合以上結(jié)果, 可以得到在長(zhǎng)波近似區(qū)散射聲場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)于旋渦強(qiáng)度和長(zhǎng)度尺度比的尺度律關(guān)系:

圖8給出了低馬赫數(shù) (Mv=0.015625) 、大波長(zhǎng) (λ/R8) 時(shí)的散射聲場(chǎng)指向性分布(r= 16R).從圖8可以看出, 隨著波長(zhǎng)的增加, 指向性分布逐步接近四個(gè)等強(qiáng)度的波束(參考曲線).我們可以得到在極低馬赫數(shù)、極大波長(zhǎng)時(shí)散射聲場(chǎng)的分布函數(shù)有如下形式:

其中AT是一個(gè)常數(shù), 針對(duì)等熵Taylor渦,AT=36.2038671967512.

圖8 低馬赫數(shù)大波長(zhǎng)下的散射聲壓均方根指向性分布Fig.8.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered fields with low Mach number and long wavelength.

5.3 共振散射區(qū)

隨著長(zhǎng)度尺度比λ/R的減小, 旋渦對(duì)聲波的散射逐漸過(guò)渡到共振散射區(qū).與長(zhǎng)波散射相比, 共振散射區(qū)的散射聲場(chǎng)中, 靠近x軸負(fù)方向的兩道波束持續(xù)衰減, 直至消失.如圖9所示, 采用無(wú)量綱量作為特征量, 會(huì)發(fā)現(xiàn)靠近x軸正方向的兩道波束其強(qiáng)度仍然滿足λ/R的“–2次方律”,并逐漸向聲波入射方向靠攏.這是長(zhǎng)波近似區(qū)向共振散射區(qū)過(guò)渡的顯著特征.從圖10可以看出, 當(dāng)λ/R=4時(shí), 散射聲場(chǎng)已經(jīng)完全表現(xiàn)共振散射的特性, 只存在靠近x軸方向的兩道反相的波束.

圖9 共振散射區(qū)較大波長(zhǎng)散射聲場(chǎng)指向性分布Fig.9.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered fields in resonance domain with relatively long wavelength.

圖10 t = 140時(shí)的散射聲壓, 其中 M v=0.125 ,λ/R=4Fig.10.Snapshot of scattered pressure withMv=0.125 and λ /R=4 at t = 140.

圖11 旋渦強(qiáng)度對(duì)共振散射區(qū)散射聲場(chǎng)指向性的影響Fig.11.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered fields in resonance domain at different vortex strength.

下面采用無(wú)量綱量prms/(piMv) 作為特征量考察散射聲場(chǎng)與旋渦強(qiáng)度的關(guān)系.從圖11可以看出,在共振散射區(qū), 散射聲壓均方根值prms與旋渦強(qiáng)度Mv呈正比.和長(zhǎng)波散射類(lèi)似, 隨著Mv的增加, 散射聲場(chǎng)逐漸表現(xiàn)出不對(duì)稱性.結(jié)合以上結(jié)果, 可以得到在共振散射區(qū)散射聲場(chǎng)的強(qiáng)度關(guān)于旋渦強(qiáng)度有如下關(guān)系式:

針對(duì)共振散射區(qū)的短波散射, 如圖12所示,兩道主要的波束逐漸向聲波入射方向靠攏,x軸負(fù)方向的散射徹底消失.從圖13可以看出隨著旋渦強(qiáng)度的增加, 兩道波束發(fā)生干涉, 標(biāo)志著散射由共振散射區(qū)轉(zhuǎn)向幾何聲學(xué)區(qū).

在共振散射區(qū)域, 散射聲波的強(qiáng)度相比于長(zhǎng)波近似區(qū)有明顯的增強(qiáng), 接近入射聲波的強(qiáng)度.這個(gè)區(qū)域的聲散射特性對(duì)于采用聲波探測(cè)旋渦結(jié)構(gòu)、基于旋渦陣列主動(dòng)降噪等工程實(shí)用的聲學(xué)技術(shù)具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.

圖12 t = 60時(shí)的散射聲壓, 其中 M v=0.125 ,λ/R=1Fig.12.Snapshot of scattered pressure withMv=0.125 and λ /R=1 at t = 60.

圖13 旋渦強(qiáng)度對(duì)共振散射區(qū)小波長(zhǎng)散射聲場(chǎng)指向性的影響Fig.13.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered fields in resonance domain with relatively small wavelength at different vortex strength.

5.4 幾何聲學(xué)區(qū)

隨著旋渦強(qiáng)度Mv增加和長(zhǎng)度尺度比λ/R的減小, 聲散射逐漸進(jìn)入到幾何聲學(xué)區(qū), 其散射聲場(chǎng)強(qiáng)度高于入射聲場(chǎng), 具體參考圖14和圖15.由于主波束之間的相互干涉, 產(chǎn)生許多強(qiáng)度較弱的次級(jí)波束, 且隨著λ/R減小和Mv的增加, 次級(jí)波束的數(shù)量逐漸增多, 散射聲場(chǎng)的指向性更加不規(guī)則.在幾何聲學(xué)區(qū), 散射聲場(chǎng)的強(qiáng)度不再與旋渦強(qiáng)度呈正比.與長(zhǎng)波近似區(qū)和共振散射區(qū)不同, 對(duì)于低馬赫數(shù)的旋渦, 幾何聲學(xué)區(qū)的散射聲場(chǎng)也表現(xiàn)出了不對(duì)稱性.

5.5 旋渦聲散機(jī)制的初步討論

圖14 散射聲壓, 其中旋渦強(qiáng)度 M v=0.25 (a) λ /R=1 ; (b) λ /R=0.5 ; (c) λ /R=0.25 ; (d)λ/R=0.125Fig.14.Snapshot of scattered pressure with M v=0.25 : (a) λ /R=1 ; (b) λ /R=0.5 ; (c) λ /R=0.25 ; (d) λ /R=0.125.

圖15 不同旋渦強(qiáng)度對(duì)幾何聲學(xué)區(qū)散射聲場(chǎng)指向性的影響Fig.15.Directivity for root-mean-square pressure of the scattered field in geometrical acoustics domain at different vortex strength.

旋渦對(duì)聲波的散射包含了兩種聲散射的機(jī)制.首先是非線性散射的效應(yīng), 即旋渦與聲波非線性耦在渦核內(nèi).另外一種是長(zhǎng)程折射效應(yīng), 主要發(fā)生在渦核外部.表現(xiàn)為背景流動(dòng)對(duì)渦核內(nèi)所產(chǎn)生的散射聲波傳播路徑長(zhǎng)距離的偏轉(zhuǎn)作用, 是造成非對(duì)稱性的原因, 稱之為旋轉(zhuǎn)模態(tài).

采用以上分析結(jié)果可以很好地解釋: 為什么隨著波長(zhǎng)的減小, 反向散射越來(lái)越不明顯.原本由渦核所產(chǎn)生的散射波在前向和反向的強(qiáng)度是一致的,但是與入射波疊加后各個(gè)方向出現(xiàn)了差異.而這種差異隨著波長(zhǎng)的減小越發(fā)明顯.使得反向的折射效應(yīng)強(qiáng)于正向, 原本反向的散射波便被偏轉(zhuǎn)為接近入射波的方向.合發(fā)聲機(jī)制.由于入射聲波的存在, 旋渦不再保持原來(lái)定常狀態(tài), 而是受到聲波的激發(fā)向外輻射出散射聲波以抵消入射聲波的影響.散射聲波的強(qiáng)度與旋渦強(qiáng)度成正比, 此外還與聲波和旋渦的尺度比值密切相關(guān), 當(dāng)兩者接近時(shí), 非線性發(fā)聲達(dá)到最大值即通常意義上的共振.旋渦受激輻射聲波有良好的對(duì)稱性, 可以稱之為對(duì)稱模態(tài), 且該過(guò)程主要發(fā)生

6 結(jié) 論

本文通過(guò)數(shù)值求解二維歐拉方程, 研究了無(wú)量綱尺度參數(shù)(旋渦強(qiáng)度Mv和長(zhǎng)度尺度比λ/R)對(duì)均熵Taylor渦聲散射特性的影響.隨著旋渦強(qiáng)度的增加與長(zhǎng)度尺度比的減小, 旋渦聲散射現(xiàn)象依次經(jīng)歷長(zhǎng)波近似區(qū)、共振散射區(qū)以及幾何聲學(xué)區(qū), 并且散射聲場(chǎng)強(qiáng)度逐漸增加, 指向性表現(xiàn)出更多的非對(duì)稱性.

1) 在長(zhǎng)波近似區(qū), 散射聲場(chǎng)很微弱, 由四道波束組成, 相鄰兩道波束反相.散射強(qiáng)度與旋渦強(qiáng)度呈正比, 與長(zhǎng)度尺度比的平方呈反比; 旋渦強(qiáng)度較弱時(shí), 散射聲場(chǎng)關(guān)于入射方向表現(xiàn)出良好的對(duì)稱性;

2) 在共振散射區(qū), 散射主要發(fā)生在靠近入射波的方向, 包含兩道反相的波束, 其強(qiáng)度與旋渦強(qiáng)度呈正比;

3) 在幾何聲學(xué)區(qū), 散射聲場(chǎng)強(qiáng)度和入射聲場(chǎng)相當(dāng), 主要集中在旋渦后方區(qū)域, 沒(méi)有表現(xiàn)出明確的指向性;

4) 旋渦對(duì)聲波的散射包含了兩種不同的機(jī)制,即非線性的散射效應(yīng)與線性的長(zhǎng)程折射效應(yīng).

需要注意的是本文只考慮了相對(duì)靜止的旋渦對(duì)聲波的散射.因此聲波穿過(guò)旋渦后, 頻率并沒(méi)有改變.下一步研究將考慮運(yùn)動(dòng)旋渦對(duì)散射聲場(chǎng)的影響, 尤其是不同形式的運(yùn)動(dòng)(平動(dòng)、振動(dòng)等)給散射聲場(chǎng)帶來(lái)的多普勒頻移效應(yīng).