陶 威， 劉 釗， 許 燦， 朱 平

(上海交通大學 a. 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室; b. 設計學院， 上海 200240)

當前，環(huán)境污染與能源短缺問題的日益嚴重，為了降低能耗且減少污染，同時提高新能源汽車的行駛里程，汽車輕量化受到越來越多的關注. 用高強輕質材料替換傳統(tǒng)金屬材料是實現汽車輕量化最有效的途徑[1]. 三維正交機織碳纖維復合材料具有優(yōu)異的力學性能、抗分層能力以及外形適應性，在汽車輕量化方面具有廣闊的應用前景[2].

三維正交機織復合材料具有典型的多尺度特征，一般按纖維絲、纖維束及結構件可分為3個尺度：細觀尺度、介觀尺度及宏觀尺度[3]. 國內外許多學者采用多尺度仿真方法預測了復合材料及其結構的性能響應[4-5].但是在進行復合材料結構優(yōu)化時往往需要計算大批量模型的性能響應，這對優(yōu)化過程中所采用的材料和結構性能預測方法的精度與效率提出了較高要求. 除此之外，三維正交機織復合材料結構具有材料/結構一體化特性，因此在進行輕量化設計時可以對其介觀尺度材料變量和宏觀尺度結構變量進行同步設計，進而最大限度地挖掘結構的輕量化潛力[6]. Fu等[7]采用神經網絡代理模型和遺傳算法對復合材料增強板進行了材料和結構并行優(yōu)化設計. 王慶等[8]采用Kriging代理模型和優(yōu)化算法對碳纖維復合材料保險杠進行了輕量化設計. 然而，三維正交機織復合材料結構的制備需要經歷織造、運輸、成型、固化及剪裁等工序，這些制備工藝過程會在復合材料結構引入不確定性，如纖維束間距、厚度和鋪設角度的波動與偏差等[9]. 這對復合材料結構整體的可靠度產生了巨大的影響. Liu等[10]考慮了復合材料力學性能的離散性，對碳纖維復合材料電池箱體進行了可靠性優(yōu)化設計. Chen等[11]對復合材料加強板的厚度與鋪層順序進行了可靠性優(yōu)化設計. 在對復合材料結構進行輕量化設計時，需要考慮多尺度設計變量的不確定性，確保結構可靠度滿足要求.

本研究基于復合材料結構多尺度仿真預測方法，建立材料彈性性能高效預測模型，同時考慮材料變量和結構變量的不確定性，結合蒙特卡洛可靠性分析、Kriging代理模型及粒子群優(yōu)化算法，提出三維正交機織復合材料結構多尺度可靠性優(yōu)化流程，為復合材料結構汽車零部件的輕量化設計提供可借鑒的方法.

1 三維正交機織復合材料彈性性能預測方法

三維正交機織復合材料結構具有典型的多尺度特性，可分為細觀尺度、介觀尺度和宏觀尺度. 如圖1所示，細觀尺度為纖維絲尺度，該尺度研究碳纖維和基體組成的纖維束的力學性能；在介觀尺度上，由于復合材料空間結構的周期性，可以通過建立介觀代表性體積單元來預測復合材料力學性能；宏觀尺度為結構尺度，可以通過有限元方法對結構性能進行仿真分析.在尺度之間通過均勻法方法傳遞材料的力學性能. 圖1中展示了材料介觀尺度代表性體積單元. 代表性體積單元由經向纖維束(介觀尺度坐標系X軸方向)、緯向纖維束(Y軸方向)、Z向纖維束及基體組成. 復合材料代表性體積單元的彈性性能由纖維束和基體彈性性能決定.

圖1 三維正交機織碳纖維復合材料結構多尺度模型Fig.1 Multi-scale model of structure of 3D orthogonal woven carbon fiber composite

本節(jié)將通過解析細觀力學方法對介觀尺度材料彈性性能參數進行預測.在細觀尺度，纖維束由增強纖維和基體組成，一般被視為橫觀各向同性材料.如圖1所示，在細觀尺度坐標系下，若X1方向為纖維束軸向，Y1、Z1方向為纖維束橫向，為了公式推導的簡潔，后文中1代表X1方向，2、3分別代表Y1、Z1方向，那么纖維束的剛度矩陣可表示為

(1)

(2)

式中：E11、E22分別為纖維束軸向及橫向彈性模量；μ12、μ23分別為纖維束主泊松比及橫向泊松比. 纖維束的彈性性能參數可采用體積混合公式計算得到：

(3)

式中：E11f為纖維軸向彈性模量；Vf為纖維束中纖維的體積分數；Em為基體彈性模量；Vm為纖維束中基體的體積分數；E22f為纖維橫向彈性模量；G12為纖維束軸向剪切模量；Gm為基體剪切模量；G12f為纖維軸向剪切模量；μ12f為纖維主泊松比；μm為基體泊松比. 本研究所采用的碳纖維類型為東麗T700S，基體為環(huán)氧樹脂，基體牌號為亨斯曼LY 1572，相應的碳纖維與基體的彈性性能參數如表1所示.

表1 碳纖維和基體的彈性性能參數

Vf可由下式近似計算得到：

(4)

式中：K為碳纖維束中碳纖維根數；df為碳纖維直徑；W、H分別為纖維束的寬度和高度. 對于本研究中的碳纖維束，K取 6 000，df為7 μm， 纖維束截面尺寸與纖維體積分數見表2. 基于式(1)～(3)可以得到纖維束在各自細觀尺度坐標系下的剛度矩陣.

表2 三維正交機織復合材料機織參數

如圖1所示，經向和緯向纖維束在代表性體積單元中的纖維主方向不同，θ代表X1和X軸的夾角，φ代表X1軸在YOZ平面上的投影和Y軸的夾角. 則由圖1可知，經向纖維束在介觀尺度坐標系下的角度θ和φ分別為0°和0°，而緯向纖維束分別為90°和0°. 基于坐標系旋轉公式，結合介觀尺度坐標系和細觀尺度坐標系的夾角，可以得到纖維束在介觀尺度代表性體積單元的剛度矩陣為

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

由于代表性體積單元的彈性力學性能主要由經向和緯向纖維束提供，那么根據體積平均化理論可以得到復合材料介觀尺度代表性體積單元的總體剛度矩陣：

(9)

(10)

式中：V為纖維束占代表性體積單元的體積分數；N為纖維束層數；D為纖維束間距；T為代表性體積單元的厚度，下標warp和weft分別表示經向纖維束和緯向纖維束.三維正交機織復合材料機織參數如表2所示.

(11)

(12)

為了驗證所提出的復合材料力學性能預測方法的有效性，按照材料拉伸試驗標準ASTM D3039對復合材料進行了經向和緯向的拉伸力學性能試驗. 表3為預測得到復合材料力學性能參數與試驗結果的對比.

表3 復合材料力學性能試驗值與預測值對比

由表3可知，所提出的性能預測方法對經向和緯向彈性模量的預測誤差低于4%，驗證了所提出預測方法的準確性. 本文優(yōu)化設計過程中， 將運用此解析計算方法進行不同機織參數下材料彈性性能的高效預測.

2 翼子板有限元建模

宏觀尺度上翼子板的幾何結構如圖2所示，包含了外板結構和附加安裝點[12]. 附加安裝點在翼子板制造時通過一體式成型的方法附加在外板結構之上. 翼子板的外形曲線以及安裝點的位置在設計中均不可變動. 由于翼子板為薄板結構，因此在建立翼子板有限元模型時用四節(jié)點通用殼單元來劃分翼子板模型，網格尺寸取5 mm. 所建立的宏觀尺度翼子板有限元模型如圖3所示，宏觀尺度坐標系采用O-xyz描述，有限元模型共包含 11 249 個網格單元. 由于三維機織碳纖維復合材料的力學性能呈現各向異性，因此需要對翼子板有限元模型中的每一個網格單元定義其材料方向.圖3為翼子板有限元模型在各工況下的載荷施加方式和施加位置，在圖中的宏觀尺度翼子板有限元模型中，翼子板殼單元的法方向即為該網格的材料厚度方向，宏觀尺度坐標系z軸在每一個殼單元上的投影為該網格的材料經紗方向，以此方式對每一個翼子板網格進行材料方向的定義. 在指定翼子板網格單元的材料方向之后，將式(12)得到的9個復合材料彈性常量作為翼子板網格單元的材料性能參數，從而實現了材料性能從介觀尺度至宏觀尺度的傳遞.所有準靜態(tài)工況的有限元分析在商業(yè)有限元分析軟件ABAQUS中完成.

圖2 汽車翼子板幾何模型Fig.2 Geometry model of automobile fender

圖3 翼子板有限元模型與工況載荷施加位置Fig.3 Finite element model of fender and loading positions

作為汽車的覆蓋件，翼子板在整車裝配以及使用過程中需要承受載荷并抵抗變形. 因此，翼子板的剛度性能必須滿足以下工況性能指標：① 安裝點剛度≥50 N/mm；② 外板中心剛度≥100 N/mm；③ 3處翼尖剛度≥300 N/mm. 同時翼子板需要滿足在各工況下的可靠度指標. 翼子板的工況性能指標與可靠度如表4所示. 圖3中各工況下剛度計算的具體方式如下所述.

對于工況1，所需測試的安裝點數量為4個. 在測試安裝點剛度時，約束翼子板除該安裝點外其他所有安裝點的全部自由度，并在安裝孔中心點沿安裝面法線方向施加50 N載荷，安裝點剛度計算方法如下：

(13)

對于工況2，約束翼子板所有安裝點的自由度，用直徑為25.4 mm的剛體球頭對翼子板外板中心最大無支撐區(qū)域進行加載，在球頭上施加沿外板法線方向300 N載荷，此時外板中心剛度為

km=300/Um

(14)

式中：Um為通過有限元仿真得到的外板中心最大位移.

對于工況3，約束翼子板所有安裝點的自由度，在3處翼尖位置分次沿法線方向施加50 N的載荷，那么3處翼尖剛度為

(15)

表4 翼子板工況性能指標Tab.4 Performance indicators of fender

3 復合材料翼子板多尺度可靠性優(yōu)化策略

3.1 優(yōu)化問題定義

優(yōu)化問題的目標為最小化翼子板的質量，其約束為翼子板在不同工況下的性能指標以及相應的可靠度指標. 本研究中翼子板優(yōu)化過程包含5個設計變量，x1、x2分別為經向及緯向纖維束間距；x3為材料厚度，是與纖維束層數相關的離散變量；x4為翼子板外板經向纖維束與結構坐標系中Z軸的夾角；x5為安裝點1處的附加寬度. 設計變量如圖4所示.其中x1、x2及x3為材料機織參數，而x4、x5為結構設計變量. 本研究中的三維正交機織復合材料翼子板多尺度可靠性優(yōu)化問題描述如下：

圖4 優(yōu)化問題設計變量Fig.4 Designed variables of optimization problem

min 翼子板質量

km≥100 N/mm

滿足剛度約束的概率≥95%

2≤x1≤4

2.5≤x2≤4.5

{x3|2.4,3,3.6,4.2,4.8}

0≤x4≤90

0≤x5≤15

(16)

考慮到這些設計變量在實際復合材料結構中具有不確定性，因此在優(yōu)化設計過程中假設所有設計變量都滿足高斯分布. 設計變量的設計域和分布方式如表5所示.

表5 設計變量及其設計域Tab.5 Design variables and design domains

3.2 優(yōu)化流程

基于有限元仿真來實現結構優(yōu)化設計通常需要付出高昂的計算代價，而代理模型技術僅需要較少數量樣本點的響應狀態(tài)，即可構建設計變量與目標響應之間的數學模型，為工程優(yōu)化提供了一種高效的響應預測方法，減輕了優(yōu)化過程中的計算代價. 同時在可靠性優(yōu)化設計流程中，需要一種收斂速度和計算精度相匹配的優(yōu)化算法來進行尋優(yōu). 本文翼子板多尺度可靠性優(yōu)化流程如圖5所示.包含了代理模型技術、可靠性分析方法與智能優(yōu)化算法，其具體實施步驟如下：

圖5 翼子板多尺度可靠性優(yōu)化設計流程圖Fig.5 Flowchart of multi-scale reliability-based design optimization for fender

(1) 通過最優(yōu)拉丁超立方[13]對所有設計變量進行試驗設計，一共生成了60個試驗設計樣本點，其中包含50個訓練樣本點和10個驗證樣本點.

(2) 基于所生成樣本點中的材料設計變量，通過第1節(jié)中建立的材料彈性性能預測方法，計算得到相應機織參數下的材料彈性性能.

(3) 基于所生成樣本點中的宏觀結構設計變量，生成相應的翼子板有限元模型，并輸入同一樣本點下預測得到的材料彈性性能. 由于在采樣過程中需要建立大量翼子板有限元模型，因此通過編寫MATLAB程序實現翼子板有限元模型節(jié)點坐標、鋪設方向和材料參數的自動化修改，顯著提升有限元建模效率. 對所有樣本點下的翼子板有限元模型進行多載荷工況的仿真分析，記錄翼子板在不同工況下的性能響應.

(17)

(5) 基于所建立的代理模型，通過蒙特卡洛可靠性分析評價翼子板結構各個指標的可靠度. 蒙特卡洛可靠性分析在3.3節(jié)中介紹.

(6) 粒子群優(yōu)化算法是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化算法，讓設計空間之中的尋優(yōu)粒子記錄當前位置下的信息，并讓所有粒子追隨當代最優(yōu)粒子進行迭代搜索[15]. 由于粒子群優(yōu)化算法具有收斂速度快且全局搜索能力強等優(yōu)勢， 本文采用粒子群優(yōu)化算法對式(16)所述優(yōu)化問題進行尋優(yōu).

(7) 通過對優(yōu)化后翼子板結構進行有限元分析，驗證優(yōu)化結果的有效性.

3.3 可靠性分析方法

結構可靠度一般被定義為結構產品在規(guī)定時間內，在規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的概率. 結構功能函數可以表示為

G(x)=R′(x)-R*

(18)

式中：x為設計變量向量；R′為結構響應；R*為結構響應閾值. 在確定結構功能函數之后，定義結構的安全域為{x：G(x)>0}.

蒙特卡洛模擬也稱為隨機抽樣方法，用蒙特卡洛模擬作為可靠性分析方法時，其主要思想為在輸入變量空間內，對輸入變量進行抽樣，用所抽樣樣本響應值的統(tǒng)計規(guī)律來估計實際結構響應的可靠度. 用蒙特卡洛模擬方法估計失效概率時，由可靠度在安全域中的積分可得：

f(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn

(19)

式中：PR為可靠度；f(x1,x2,…,xn)為設計變量的聯合概率密度函數；ΩS為安全域；I為指示函數，

(20)

利用輸入變量的聯合概率密度函數對輸入變量進行抽樣，生成N個輸入變量的樣本點，并統(tǒng)計落入安全域內的樣本點數NS，那么可靠度可近似表示為安全域內樣本數與總樣本點的比值：

(21)

在樣本量充足的情況下，蒙特卡洛模擬可以獲得高精度的可靠度與失效概率值.

4 優(yōu)化結果及驗證

由于翼子板多尺度可靠性優(yōu)化過程基于Kriging代理模型開展，因此有必要對代理模型的精度進行驗證.本研究中通過R2來評估代理模型精度，R2越接近1，說明代理模型精度越高. 如表6所示，翼子板質量和性能響應的R2均不小于0.93，而翼子板質量的R2為0.99，因此認為此代理模型具有足夠的精度來指導可靠性優(yōu)化設計.

表6 結構性能指標Kriging代理模型R2

在驗證了Kriging代理模型精度之后，通過可靠性優(yōu)化設計流程，結合蒙特卡洛可靠性分析和粒子群優(yōu)化算法，對翼子板進行多尺度可靠性優(yōu)化設計. 表7中展示了初始設計、確定性優(yōu)化及可靠性優(yōu)化下的翼子板設計變量值，其中初始設計為按照設計經驗初步擬定的方案，作為結構輕量化效果的參考對象，確定性優(yōu)化得到的設計方案只考慮了性能約束但未考慮可靠度.

表7 翼子板多尺度優(yōu)化設計方案

圖6所示為可靠性優(yōu)化設計方案在不同工況下位移U的分布云圖.表8展示了通過有限元仿真驗證得到的初始設計方案、確定性優(yōu)化設計方案及可靠性優(yōu)化設計方案下的翼子板性能指標和可靠度指標.3種設計方案下翼子板的質量分別為2.143、1.617及1.673 kg.可以看出，確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化設計方案的所有性能指標都滿足約束指標. 但是確定性優(yōu)化方案雖然實現了翼子板減重，但其性能指標的可靠度不能滿足設計要求，而由多尺度可靠性優(yōu)化設計得到的設計方案不僅相比于初始設計實現21.93%的減重，同時也滿足了所有結構性能的可靠度要求.

圖6 多尺度可靠性優(yōu)化后翼子板在不同工況下位移U的分布云圖Fig.6 Displacement distribution contours of fender under different working conditions after multi-scale reliability optimization

表8 優(yōu)化結果性能指標與可靠度驗證Tab.8 Verification of performance indices and reliability of optimal solution

5 結語

本研究基于解析細觀力學方法建立了三維正交機織復合材料彈性性能預測模型，實現了不同機織參數下材料性能的高效預測，并通過與材料力學性能試驗結果對比，驗證了材料性能預測模型的準確性.針對某款新能源汽車翼子板，以結構剛度及可靠度為約束條件，考慮了多尺度設計變量的不確定性.結合蒙特卡洛可靠性分析、Kriging代理模型和粒子群優(yōu)化算法，建立了多尺度可靠性優(yōu)化設計流程，實現了三維正交機織復合材料翼子板的可靠性優(yōu)化設計. 結果表明，優(yōu)化后的翼子板較初始設計結構的減重率達到了21.93%，為復合材料汽車零部件的輕量化設計提供可借鑒的方法.