宋兆理, 賈 祥, 郭 波, 程志君

(國(guó)防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

在工程實(shí)踐中,復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性和剩余壽命(remaining useful life,RUL)預(yù)測(cè)是重要的研究問(wèn)題。尤其是對(duì)于大型工程,例如衛(wèi)星研制與發(fā)射等,可靠的系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)可以為上層決策提供強(qiáng)有力的支持,從而科學(xué)化地降低整個(gè)系統(tǒng)工程的運(yùn)營(yíng)成本,提高系統(tǒng)的可用性。

單個(gè)設(shè)備的RUL稱為單機(jī)級(jí)RUL,而由多個(gè)單機(jī)或更多層級(jí)組成的復(fù)雜系統(tǒng)的RUL稱為系統(tǒng)級(jí)RUL。對(duì)于處于工作狀態(tài)的設(shè)備,無(wú)論是在單機(jī)層面還是在系統(tǒng)層面,都需要合適的RUL預(yù)測(cè)方法來(lái)監(jiān)管設(shè)備的使用方式,制定將來(lái)的維護(hù)和更換計(jì)劃。與單機(jī)級(jí)RUL相比,系統(tǒng)級(jí)的RUL預(yù)測(cè)往往更加重要,也更加困難。單機(jī)級(jí)RUL預(yù)測(cè)的關(guān)鍵在壽命分布、數(shù)據(jù)特征、融合策略等方面[1-2],而系統(tǒng)級(jí)的RUL預(yù)測(cè)還需要考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、信息折算等[3-5]。因此,探索有效的系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)方法是可靠性研究領(lǐng)域的重要問(wèn)題之一。近年來(lái)已經(jīng)涌現(xiàn)出一些研究成果,大致分為3大類:① 基于貝葉斯理論的方法;② 基于隨機(jī)過(guò)程的方法;③ 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。

對(duì)于具有高可靠性和少量數(shù)據(jù)的設(shè)備,貝葉斯理論可以充分利用驗(yàn)前信息和試驗(yàn)數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[6]提出一種貝葉斯非參數(shù)估計(jì)方法,以獲取具有單機(jī)和系統(tǒng)驗(yàn)前的系統(tǒng)驗(yàn)后可靠性函數(shù)。基于貝葉斯框架,最小方差無(wú)偏估計(jì)器(minimum-variance unbiased estimator,MVUE)[7]或數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)器[8]可以準(zhǔn)確地進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)。在典型的系統(tǒng)可靠性結(jié)構(gòu)中,串聯(lián)和并聯(lián)結(jié)構(gòu)的工作原理相對(duì)簡(jiǎn)單,因此基于貝葉斯理論的相關(guān)研究成果和公式推論較多[9-12];而對(duì)于表決系統(tǒng)和冷備系統(tǒng),由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,簡(jiǎn)便易操作的方法較少。

對(duì)于設(shè)備使用過(guò)程中產(chǎn)生的性能監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),很多方法通過(guò)建立基于隨機(jī)過(guò)程的可靠性模型進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)。一定程度上來(lái)說(shuō),這些方法能夠還原系統(tǒng)在工作狀態(tài)下的真實(shí)退化過(guò)程,從而保證預(yù)測(cè)精度。目前,利用隨機(jī)過(guò)程預(yù)測(cè)系統(tǒng)級(jí)RUL的模型很多,例如Markov過(guò)程[13]、Gamma過(guò)程[14]、Wiener過(guò)程[15]、Petri網(wǎng)[16]。文獻(xiàn)[17]將系統(tǒng)視為一個(gè)整體考慮其性能退化過(guò)程,提出了一種基于解析模型的RUL預(yù)測(cè)方法。這些方法運(yùn)用場(chǎng)景廣泛,能夠在無(wú)法獲得失效數(shù)據(jù)的情況下預(yù)測(cè)系統(tǒng)的RUL,但數(shù)據(jù)來(lái)源相對(duì)單一,在預(yù)測(cè)對(duì)象具備多源信息的條件下,難以基于不同類型的信息進(jìn)行融合預(yù)測(cè)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)方法內(nèi)涵豐富,包括非參數(shù)分析、回歸分析、蒙特卡羅(Monte-Carlo,MC)仿真等一系列具體方法。文獻(xiàn)[18-19]使用極大似然估計(jì)方法進(jìn)行了衛(wèi)星和衛(wèi)星子系統(tǒng)的非參數(shù)可靠性分析和威布爾擬合。統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)不確定性問(wèn)題具有良好的魯棒性,能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)RUL,所以被越來(lái)越多地用于隨機(jī)疲勞分析和可靠性分析中[20-22]。然而,由于隨機(jī)仿真預(yù)測(cè)的精確度是建立在足夠的時(shí)間成本之上,所以難以滿足工程中存在的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的需求。

通常,系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)往往趨于在單機(jī)級(jí)融合所有信息,然后通過(guò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)將其轉(zhuǎn)換到系統(tǒng)級(jí),導(dǎo)致數(shù)據(jù)損耗。如果將融合過(guò)程推遲到系統(tǒng)級(jí)[23],則原始的單機(jī)級(jí)信息可以直接折合到系統(tǒng),減少信息折損。因此,本文提出一種將貝葉斯融合和隨機(jī)仿真相結(jié)合的方法,在系統(tǒng)級(jí)融合現(xiàn)場(chǎng)信息和單機(jī)提供的多源驗(yàn)前信息,進(jìn)而預(yù)測(cè)系統(tǒng)的RUL。該方法既能借助貝葉斯理論將多源信息融合運(yùn)用,又能發(fā)揮仿真方法便捷準(zhǔn)確的優(yōu)勢(shì),為系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)提供一套完整可行的流程。

1 系統(tǒng)描述與假設(shè)

系統(tǒng)通常由具有特定結(jié)構(gòu)的若干個(gè)單機(jī)組成,例如圖1所示的衛(wèi)星平臺(tái)上的某功能系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以分為3個(gè)子系統(tǒng),分別由S1、S2和S3表示。具體地,S1子系統(tǒng)是包含5個(gè)C1單機(jī)的5中取3冷備結(jié)構(gòu);S2子系統(tǒng)是由3個(gè)C2單機(jī),2個(gè)C3單機(jī),1個(gè)C4單機(jī)和6個(gè)C6單機(jī)組成的混聯(lián)結(jié)構(gòu);S3子系統(tǒng)是包含4個(gè)C5單機(jī)的2/4(G)表決結(jié)構(gòu)。

圖1 示例系統(tǒng)的可靠性框圖Fig.1 Reliability block diagram of the prototype system

根據(jù)可靠性框圖,可以通過(guò)逐層劃分,將復(fù)雜的系統(tǒng)分解為具有特定關(guān)聯(lián)形式的單機(jī),從而呈現(xiàn)出系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。

本問(wèn)題聚焦于系統(tǒng)級(jí)的RUL預(yù)測(cè),所以不考慮單機(jī)級(jí)的計(jì)算過(guò)程,而是基于所有單機(jī)的多源信息已知的前提構(gòu)建模型。當(dāng)任何單機(jī)的信息源存在少量缺失時(shí),將利用易于獲得的專家信息(如可靠度估計(jì)值、壽命估計(jì)值等)來(lái)填補(bǔ)這些丟失的數(shù)據(jù)。這樣可以保證每個(gè)信息源都能獲取到系統(tǒng)的無(wú)信息驗(yàn)前分布,并與系統(tǒng)級(jí)的試驗(yàn)信息相結(jié)合來(lái)預(yù)測(cè)RUL,從而避免該方法不適用于不完整信息的情況,增強(qiáng)其適用性。

威布爾分布通常被用于描述系統(tǒng)的故障過(guò)程,其概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)、可靠性函數(shù)和累積概率分布函數(shù)(cumulative probability function,CDF)分別為

f(t)=λβtβ-1exp(-λtβ)

(1)

R(t)=exp(-λtβ)

(2)

F(t)=1-exp(-λtβ)

(3)

式中,λ和β為威布爾分布的參數(shù)。值得注意的是,當(dāng)β=1時(shí),即為指數(shù)分布。為了更好地描述預(yù)測(cè)模型,系統(tǒng)中信息源和單機(jī)的數(shù)量分別用n和m表示。在各個(gè)信息源和單機(jī)層面,用i(1≤i≤n)表示信息源的序號(hào),用j(1≤j≤m)表示系統(tǒng)中單機(jī)的序號(hào)。在仿真中,用k表示根據(jù)單機(jī)壽命分布獲得的樣本量,l(1≤l≤k)表示單機(jī)壽命樣本xi, j(l)的序號(hào)。

考慮到系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)的復(fù)雜性,本文建立的模型適當(dāng)簡(jiǎn)化了實(shí)際問(wèn)題,提出以下3個(gè)假設(shè):① 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)清晰,可以用可靠性框圖來(lái)描述;② 系統(tǒng)中所有單機(jī)都是獨(dú)立的;③ 除工作單機(jī)外,連接部件均完全可靠,如冷備系統(tǒng)中的開(kāi)關(guān)等。

2 融合建模與預(yù)測(cè)

根據(jù)多源信息,可以通過(guò)單機(jī)級(jí)的壽命預(yù)測(cè)方法[1-2,24]獲得與每個(gè)單機(jī)的不同信息源相關(guān)的壽命分布。本模型不考慮單機(jī)級(jí)的計(jì)算過(guò)程,將單機(jī)壽命分布作為預(yù)測(cè)模型的原始信息。此外,系統(tǒng)級(jí)還提供了少量的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù),其中包含被監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)和工作狀態(tài)。對(duì)于具有極少失效特征的高可靠性系統(tǒng),極高的測(cè)試成本導(dǎo)致測(cè)試數(shù)量很少,所以現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息是系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)的重要參考。

本文提出的RUL預(yù)測(cè)流程如圖2所示,每種信息都可以獨(dú)立計(jì)算,并基于貝葉斯理論在系統(tǒng)級(jí)融合來(lái)自每個(gè)信息源的驗(yàn)后分布,提高最終預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。應(yīng)當(dāng)注意的是,當(dāng)可以確定單機(jī)的多源信息來(lái)自同一設(shè)備時(shí),在貝葉斯估計(jì)中不需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

圖2 系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)流程Fig.2 Prediction procedure of system RUL

2.1 壽命樣本隨機(jī)仿真

對(duì)于每個(gè)信息源,已知單機(jī)壽命的CDF和PDF分別為Fi, j(t)和fi, j(t),其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,m。借助反函數(shù)法和從0到1的隨機(jī)數(shù),可以通過(guò)仿真獲得單機(jī)的壽命樣本xi, j(l)(l=1,2,…,k)。具體的采樣步驟如算法1所示。

算法 1抽取單機(jī)的壽命樣本

步驟 1對(duì)于第j(j=1,2,…,m)個(gè)單機(jī)的第i(i=1,2,…,n)個(gè)信息源,在0～1之間生成連續(xù)均勻分布的k個(gè)隨機(jī)數(shù)α,使Fi, j(t)=α,得到k個(gè)單機(jī)壽命樣本。

步驟 2對(duì)于系統(tǒng)中的所有m個(gè)單機(jī),重復(fù)步驟1,得到第i個(gè)信息源對(duì)應(yīng)的所有單機(jī)的壽命樣本。

步驟 3對(duì)于已知的所有n個(gè)信息源,重復(fù)步驟1和步驟2,得到每種信息源對(duì)應(yīng)的所有單機(jī)的壽命樣本{xi, j(l)}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;l=1,2,…,k)。

接下來(lái),需要借助這些壽命樣本將單機(jī)級(jí)的信息傳遞到系統(tǒng)級(jí)。以4種常見(jiàn)的可靠性結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行說(shuō)明,用Yi,S、Yi,P、Yi,G和Yi,C分別表示串聯(lián)結(jié)構(gòu)、并聯(lián)結(jié)構(gòu)、表決結(jié)構(gòu)和冷備結(jié)構(gòu)的壽命樣本集。實(shí)際上,這些傳遞原則不僅限于單機(jī)級(jí),同樣也適用于子系統(tǒng)級(jí)和系統(tǒng)級(jí)。

從仿真的角度來(lái)看,根據(jù)各個(gè)單元的壽命樣本集合,串聯(lián)結(jié)構(gòu)、并聯(lián)結(jié)構(gòu)和r/m: G表決結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)壽命樣本分別為

(4)

(5)

Yi,G(l)=xi,m-r+1(l)

(6)

式(6)中的單機(jī)壽命樣本xi,m-r+1(l)來(lái)自將表決系統(tǒng)中所有樣本升序排列后得到的樣本集合{xi,1(l)≤xi,2(l)≤…≤xi,m(l)}。

在m中取r冷備結(jié)構(gòu),假設(shè)所有備件都相同,則每個(gè)位置的故障過(guò)程都是獨(dú)立的[25]。對(duì)于任一部件位置,每當(dāng)工作單機(jī)發(fā)生故障時(shí),都會(huì)有一個(gè)冷備單機(jī)被激活,并接替其繼續(xù)工作,從而延長(zhǎng)了該部件位置的壽命。以此類推,當(dāng)所有冷備單機(jī)都被激活后,一旦有單機(jī)發(fā)生故障,系統(tǒng)將停止工作。因此,使用壽命最短的部件位置決定了冷備系統(tǒng)的壽命。具體抽樣過(guò)程如算法2所示。

算法 2抽取冷備系統(tǒng)的壽命樣本

步驟 1對(duì)于第j(j=1,2,…,m)個(gè)單機(jī)的第i(i=1,2,…,n)個(gè)信息源,從冷備系統(tǒng)中的單機(jī)壽命樣本{xi, j(l)}(l=1,2,…,k)中找到m個(gè)樣本作為最開(kāi)始工作的單機(jī),記為CLi, j(l)=xi, j(l),已失效的單機(jī)數(shù)p=0。

步驟 2找到min CLi, j(l),令CLi, j(l)=CLi, j(l)+xi, j+1+p(l),更新p=p+1。

步驟 3重復(fù)步驟2(m-r)次,直到系統(tǒng)失效部件超過(guò)r個(gè),得到系統(tǒng)壽命為Yi,G(l)=min CLi, j(l);

步驟 4重復(fù)步驟1～步驟3k次,得到冷備系統(tǒng)的壽命樣本集Yi,C。

2.2 多源驗(yàn)前分布推導(dǎo)

根據(jù)單機(jī)級(jí)信息獲得系統(tǒng)級(jí)不同信息源對(duì)應(yīng)的壽命樣本Si(1≤i≤n)后,采用貝葉斯方法將這些信息視為驗(yàn)前信息,與系統(tǒng)級(jí)信息融合進(jìn)行RUL預(yù)測(cè)。在貝葉斯融合中,主要步驟包括將多源信息分類為驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)信息,由驗(yàn)前信息確定驗(yàn)前分布以及融合現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出驗(yàn)后分布。

各個(gè)信息源的系統(tǒng)壽命樣本集合可以近似描述壽命的分布特征,被視為系統(tǒng)的驗(yàn)前信息。同時(shí),系統(tǒng)的已記錄壽命數(shù)據(jù)被視為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息。以下是從一個(gè)信息源的角度進(jìn)行分析計(jì)算的方法,不同信息源的過(guò)程是相同的。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)壽命樣本進(jìn)行排序,假設(shè)顯著性水平為α,易得壽命的100(1-α)%置信區(qū)間為[QL,QH]。置信區(qū)間反映了壽命樣本的分布,可以用來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的驗(yàn)前分布,從而達(dá)到將單機(jī)級(jí)信息折合到系統(tǒng)級(jí)的效果。

為了根據(jù)不完全信息獲得參數(shù)的驗(yàn)前分布,通常采用最大熵方法(maximum entropy method,MEM),其中信息熵可以作為目標(biāo)函數(shù)[26]。顯然,RUL的置信區(qū)間[μL,μH]滿足Fτ(μL)=α/2和Fτ(μH)=1-α/2,其中Fτ(t)表示在τ時(shí)刻系統(tǒng)RUL的CDF。在系統(tǒng)壽命服從威布爾分布的情況下,置信區(qū)間的下限μL和上限μH分別為

(7)

根據(jù)MEM原理[27],約束問(wèn)題可以表示為

(8)

(9)

由工程經(jīng)驗(yàn)假設(shè)λ服從Gamma分布,β服從均勻分布,λ和β互相獨(dú)立,則其融合驗(yàn)前分布為

(10)

式中,a和b是需要計(jì)算的超參數(shù),λ∈[0,∞),β∈[βL,βH]。

(11)

根據(jù)式(7)～式(11),可以通過(guò)

(12)

計(jì)算得到a和b。式中,M1和M2是懲罰因子,需要通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算[27],且

(13)

2.3 融合驗(yàn)后分布推導(dǎo)

隨著多源信息驗(yàn)前分布的獲得,必須將單機(jī)傳遞的驗(yàn)前信息與系統(tǒng)的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)結(jié)合運(yùn)用以減少不確定性。通常,多源信息的融合驗(yàn)前分布表示為

(14)

(15)

式中,

(16)

(17)

根據(jù)MLE-II原理,融合權(quán)重πi隨L(D|πi)增加而增加,表示為

(18)

用P(D|λ,β)表示系統(tǒng)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的似然函數(shù),則系統(tǒng)的驗(yàn)后分布為

(19)

(20)

則融合驗(yàn)后分布可以表示為

(21)

式中,πi(λ,β|D)(i=1,2,…,n)是每個(gè)信息源的驗(yàn)后分布。不難發(fā)現(xiàn),融合驗(yàn)后分布即為由多源驗(yàn)前分布獲得的驗(yàn)后分布的加權(quán)總和。

根據(jù)貝葉斯理論,第i個(gè)驗(yàn)后分布可以表示為

(22)

對(duì)于一個(gè)壽命服從威布爾分布的系統(tǒng),類似于式(15),現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為

P(D|λ,β)=λgβgMβ-1e-λN

(23)

因此,第i個(gè)信息源的融合權(quán)重wi及其驗(yàn)后分布可以分別由式(20)、式(22)和式(23)得到,從而通過(guò)式(21)加權(quán)融合獲得最終的驗(yàn)后分布。

2.4 系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)

根據(jù)式(1)～式(3),在獲得參數(shù)驗(yàn)后分布的條件下,系統(tǒng)RUL的點(diǎn)估計(jì)[5]為

(24)

同時(shí),由置信區(qū)間的滿足條件可以獲得系統(tǒng)RUL的置信區(qū)間下限μL和上限μH分別為

(25)

(26)

得到融合驗(yàn)后分布之后,由于其形式復(fù)雜無(wú)法直接求解,故采用MC仿真[22]近似計(jì)算,過(guò)程如算法3所示。

算法 3求解RUL預(yù)測(cè)結(jié)果

步驟 1根據(jù)融合驗(yàn)后分布π(λ(ε),β(ε)|D)抽樣,得到?組參數(shù)樣本{λ(ε),β(ε)}(ε=1,2,…,?)。

步驟 3對(duì)樣本求均值作為系統(tǒng)RUL的無(wú)偏估計(jì),得到預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 實(shí)例驗(yàn)證

為進(jìn)行方法驗(yàn)證,列舉兩個(gè)算例具體分析。算例1通過(guò)與仿真方法對(duì)比,驗(yàn)證了本文方法的正確性,算例2通過(guò)與現(xiàn)有方法對(duì)比,驗(yàn)證了本文方法的可行性。

3.1 算例1

本算例的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。根據(jù)工程實(shí)際問(wèn)題提供的數(shù)據(jù),在給定單機(jī)的相似產(chǎn)品壽命信息、歷史壽命信息和性能監(jiān)測(cè)信息3個(gè)信息源(n=3)的條件下,系統(tǒng)中6種單機(jī)的壽命服從不同的指數(shù)分布和威布爾分布。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,本例認(rèn)為來(lái)自相同單機(jī)的不同信息源提供相同的壽命分布。根據(jù)模型假設(shè),單機(jī)的壽命分布相互獨(dú)立。具體地,單機(jī)C1、C2、C3、C4、C5服從威布爾分布,單機(jī)C6服從指數(shù)分布,參數(shù)如表1所示。根據(jù)圖2中的系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)流程,給定來(lái)自多個(gè)信息源的單機(jī)壽命分布信息,每個(gè)分布生成k個(gè)樣本。為分析k的不同取值對(duì)結(jié)果的影響,將k分別設(shè)置為1 000、2 000、5 000、10 000、20 000和50 000。然后,根據(jù)圖1中的系統(tǒng)可靠性框圖,可以將單機(jī)壽命信息折合為系統(tǒng)的驗(yàn)前信息,并獲得系統(tǒng)樣本集。

表1 單機(jī)的失效分布信息

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為威布爾型系統(tǒng)形狀參數(shù)的取值范圍是2～10。單機(jī)級(jí)數(shù)據(jù)被視為系統(tǒng)的驗(yàn)前信息,該信息將通過(guò)參數(shù)模型結(jié)合系統(tǒng)級(jí)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)確定驗(yàn)后分布。給定的系統(tǒng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為不同時(shí)間開(kāi)始工作的設(shè)備的定時(shí)截尾數(shù)據(jù),分別是7 503 h、4 854 h、5 642 h、2 638 h、4 097 h,將其視為無(wú)失效數(shù)據(jù)。最終,當(dāng)系統(tǒng)工作到τ時(shí)刻時(shí),將獲得參數(shù)的驗(yàn)后PDF,從而估計(jì)系統(tǒng)RUL。在本實(shí)例中,對(duì)于同一單機(jī),由于不同的信息源來(lái)自相同的壽命分布,因此預(yù)測(cè)結(jié)果中每個(gè)信息源所占的權(quán)重幾乎相等。

為了證明本文方法的有效性和可行性,將用仿真方法與其進(jìn)行比較。在仿真中,不考慮多源信息融合,而是由表1中給出的信息直接提取樣本,并將其按照第2.1節(jié)中的折算原則折合到系統(tǒng)級(jí),從而作為驗(yàn)前信息計(jì)算RUL。仿真結(jié)果可以被認(rèn)為是實(shí)際值,用作驗(yàn)證本文方法的參考。雖然本方法基于大量的仿真抽樣,但算法的耗時(shí)都較小,以秒為單位,所以此例沒(méi)有對(duì)算法的運(yùn)行時(shí)間展開(kāi)分析。表2匯總了兩種方法在τ=2年時(shí)的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果,包括點(diǎn)估計(jì)和80%置信區(qū)間,以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)估計(jì)的均方誤差(mean square error,MSE)。圖3展示了不同k取值情況下通過(guò)兩種方法獲得的PDF曲線。

表2 系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)結(jié)果

以仿真方法所得的系統(tǒng)RUL點(diǎn)估計(jì)預(yù)測(cè)結(jié)果為對(duì)比標(biāo)準(zhǔn),本文方法所得點(diǎn)估計(jì)預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差如圖4所示。

由表2可以看出,本文方法獲得的系統(tǒng)RUL點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間結(jié)果與仿真方法所得結(jié)果近似吻合,體現(xiàn)了本文方法的可行性。對(duì)于樣本量k的不同取值,本文方法的MSE均小于仿真方法的MSE,說(shuō)明本文提出的預(yù)測(cè)模型所得結(jié)果分布更集中,具有更好的收斂性。由圖3可以看出,隨著樣本量k的增大,本文方法所得PDF曲線與仿真方法所得PDF曲線的重合度增加,反映了仿真實(shí)驗(yàn)“樣本量越大,結(jié)果越精確”的特性。然而,當(dāng)k不斷增大時(shí),仿真抽樣的時(shí)間成本也不斷提高,雖然本例的時(shí)間成本可忽略不計(jì),但對(duì)于實(shí)際中的大型復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)說(shuō),樣本量的增大可能會(huì)使算法的運(yùn)行時(shí)間成倍增長(zhǎng)。因此,需要在保證結(jié)果精確性和較低時(shí)間成本的前提下,設(shè)置合適的樣本量大小。通過(guò)分析圖3和圖4可以判斷,當(dāng)k=10 000時(shí),預(yù)測(cè)結(jié)果已經(jīng)基本穩(wěn)定,且點(diǎn)估計(jì)預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差較低(小于5%)。

圖3 不同k取值下本文方法與仿真方法所得的PDFFig.3 PDFs from the proposed method and simulation method with different k

圖4 系統(tǒng)RUL點(diǎn)估計(jì)的相對(duì)預(yù)測(cè)誤差Fig.4 Relative prediction error of system RUL point estimation

為了探究本文提出的RUL預(yù)測(cè)方法對(duì)于不同評(píng)估時(shí)期的適用性,在實(shí)例給定的τ=2年的前提下,將預(yù)測(cè)時(shí)間推遲,得到RUL點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間的預(yù)測(cè)結(jié)果(設(shè)k=10 000)如圖5所示。

圖5 不同τ取值下系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.5 Prediction results of system RUL with different τ

由圖5可以看出,系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)結(jié)果隨著τ增大而減小,并且τ越大,τ與RUL預(yù)測(cè)值之和(即期望的系統(tǒng)壽命)越小。對(duì)于正常工作的設(shè)備,壽命期望值應(yīng)維持不變,而此例中壽命隨τ增大而減小,表明本方法對(duì)于工作到中后期的設(shè)備RUL預(yù)測(cè)趨于保守。這一現(xiàn)象與系統(tǒng)壽命服從威布爾分布的特性有關(guān),其故障率會(huì)隨著工作時(shí)間的延長(zhǎng)而增大,導(dǎo)致系統(tǒng)加速退化,屬于“浴盆曲線”的耗損故障階段[29]。

3.2 算例2

本算例將本文中的預(yù)測(cè)方法應(yīng)用于文獻(xiàn)[30]中的實(shí)際問(wèn)題(已省略時(shí)間單位),以驗(yàn)證本方法的可行性。該對(duì)比系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)化的衛(wèi)星系統(tǒng),由7個(gè)單機(jī)組成,其結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 對(duì)比系統(tǒng)的可靠性框圖Fig.6 Reliability block diagram of comparison system

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),利用文獻(xiàn)[30]提供的系統(tǒng)和失效信息(見(jiàn)表3),及其壽命數(shù)據(jù)5.4, 8.59, 6.34, 6.08, 9.26, 5.11, 10.55, 6.37, 10.56, 4.73，可以應(yīng)用本方法預(yù)測(cè)該衛(wèi)星系統(tǒng)的RUL,并且預(yù)測(cè)結(jié)果與原方法所得的結(jié)果近似。另外,本方法還能預(yù)測(cè)RUL的置信區(qū)間,從而提供更豐富的評(píng)估結(jié)果。

表3 對(duì)比系統(tǒng)的失效信息

4 結(jié) 論

本文的問(wèn)題來(lái)自工程實(shí)踐中具有高可靠性和極少試驗(yàn)數(shù)據(jù)的衛(wèi)星平臺(tái),在單機(jī)級(jí)RUL研究相對(duì)成熟的基礎(chǔ)上,結(jié)合貝葉斯理論和隨機(jī)仿真,提出融合多源信息的系統(tǒng)級(jí)RUL預(yù)測(cè)方法。當(dāng)然,除了衛(wèi)星平臺(tái)系統(tǒng),本文方法也適用于具有類似特征的其他系統(tǒng)。本文提出的方法具有較強(qiáng)的適應(yīng)性,介紹的實(shí)例僅為驗(yàn)證提出方法的一種可能情況。在工程實(shí)踐中,如果單機(jī)的壽命分布未知,可以通過(guò)性能退化監(jiān)測(cè)來(lái)獲得本文方法所需的壽命樣本,同樣能利用本方法進(jìn)行系統(tǒng)RUL預(yù)測(cè)。本方法的優(yōu)勢(shì)還在于利用仿真將單機(jī)的失效信息傳遞到系統(tǒng)級(jí),減少分析推導(dǎo)和計(jì)算的復(fù)雜操作;在系統(tǒng)級(jí)融合多源信息,減小信息折損,保證已知數(shù)據(jù)的充分運(yùn)用;幫助決策者了解不同信息源在RUL預(yù)測(cè)中所占的權(quán)重,為后期的大型設(shè)備運(yùn)行策略和任務(wù)規(guī)劃提供支撐。

基于現(xiàn)有研究,后續(xù)將對(duì)更復(fù)雜的系統(tǒng)展開(kāi)RUL分析,不局限于由獨(dú)立單機(jī)組成的系統(tǒng),深入考慮單機(jī)的相關(guān)性失效,以更貼近工程實(shí)際的應(yīng)用需求。