曹建莉，韓景芳

(河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州 450001)

1 引言

非線性發(fā)展方程可以描述各種現(xiàn)象隨著時間變化的過程，涉及等離子物理、流體力學(xué)、生命科學(xué)、高分子材料系統(tǒng)等領(lǐng)域，因而，求解非線性發(fā)展方程顯得尤為重要.本文考慮BLMP方程

uy t+uxxxy-3uxxuy-3uxuxy=0.

(1-1)

文獻(xiàn)[1]將KdV方程推廣到(2+1)維；文獻(xiàn)[2]通過李群方法得到新的相似約化解，包括有理解、雙曲函數(shù)解、Jacobi橢圓函數(shù)解和三角周期解；文獻(xiàn)[3]獲得了方程的變量分離解；文獻(xiàn)[4]基于Bell多項式和雙線性變換獲得了方程的雙線性B?cklund變換和Lax對.文獻(xiàn)[5]運用Hirota雙線性方法，研究了方程的有理解、lump解及其解之間的相互作用.文獻(xiàn)[6]得到了方程的碰撞解.

Hirota雙線性方法、Wronskian技巧是求解孤子方程的重要方法.本文主要基于方程的雙線性形式，利用Wronskian技巧和Pfaff式得到其Wronskian解和Grammian解，所得結(jié)果用Maya圖進(jìn)行表示.

2 BLMP方程的精確解

2.1 BLMP方程的Wronskian解

文獻(xiàn)[7]中得到了BLMP方程的雙線性形式、N-孤子解，并給出了一種Wronskian解.

令

u=-2(lnf)x,

(2-1)

將(2-1)代入(1-1)，可得到BLMP方程的雙線性形式

(2-2)

即

(fty+fxxxy)f-3fxxyfx-fxxxfy-ftfy+3fxxfxy=0.

(2-3)

Wronskian的定義如下：

(2-4)

設(shè)函數(shù)φj=φj(x，y，t)在t≥0，-∞

(2-5)

當(dāng)Wronskian(2-4)在滿足(2-5)的條件下，就得到(2-2)的Wronskian解.

2.2 BLMP方程的Grammian解

在已有上述Wronskian解的基礎(chǔ)上，設(shè)

(2-6)

a，b，c，d只表示正負(fù)號.

Grammian的形式如下：

(2-7)

引入Pfaff式元素，根據(jù)Pfaff式的元素求導(dǎo)，將(2-6)的條件代入其中，則

在上述計算中，可得a，c同號，b，d同號，統(tǒng)一分別用e和f表示.

Pfaff式的導(dǎo)數(shù)可由Pfaff式元素求導(dǎo)，并利用Pfaff式展開公式擴展到整體得到.

其中，Pfaff式中的{1，2，…，N，N*，…，2*，1*}用“·”表示.

將上述導(dǎo)數(shù)代入(2-3)式，得

再由-4-4f=0，得b=d=-1.則

所得結(jié)果對應(yīng)的Maya圖表為

結(jié)果為行列式的Jacobi恒等式.故(2-7)式在(2-6)的條件下，且b=d=-1時，為(2-2)的Grammian解.

3 變系數(shù)BLMP方程的精確解

2uy t+uxxxy+3uxxuy+3uxuxy=0.

(3-1)

(3-2)

則方程變?yōu)?/p>

puy t+uxxxy+quxxuy+quxuxy=0.

(3-3)

作變換

u=R(lnτ)x，

(3-4)

(3-5)

3.1 變系數(shù)BLMP方程的Wronskian解

文獻(xiàn)[9]中王明亮和李志斌等教授提出了齊次平衡法構(gòu)造孤子解，文獻(xiàn)[10]中，利用相似的平衡法構(gòu)造方程的Wronskian解和Grammian解.

(3-6)

將(3-6)代入(3-5)，用平衡法求得：m為任意正整數(shù)，n1=3，n2=0.

令

φj，t=αφj，xxx，φj，y=βφj,mx,

(3-7)

當(dāng)m=1時，

φj，t=α1φj，xxx，φj，y=β1φj,x.

(3-8)

由-3β1-β1-pα1β1=0得，pα1β1=-4β1，上式計算為

所得結(jié)果用Maya圖表表示為

結(jié)果為行列式的Plücker關(guān)系式.當(dāng)m=1時，(2-4)在(3-8)的條件下，且pα1=-4時，為(3-5)的Wronskian解.

Wronskian可用Pfaff式表示為Wr(φ1，φ2，…，φn)=(d0，d1，d2，…，dN-1，1，2，…，N).其中，

3.2 變系數(shù)BLMP方程的Grammian解

由(2-6)同理設(shè)

φi，y=a1φi，x，φi,t=b1φi,xxx，ψj，y=a1ψj，x,ψj，t=b1ψj，xxx.

(3-9)

將Grammian用Pfaff式表示，基于(2-7)式，求τ關(guān)于x，y，t的各階導(dǎo)數(shù)，代入(3-5)得

由-4a1-pa1b1=0，得-4=pb1時，有

所得結(jié)果與BLMP方程的Grammian解都為Jacobi恒等式，只相差系數(shù)，Maya圖相同.故在(3-9)的條件下，且-4=pb1時，(2-7)為(3-5)的Grammian 解.

4 結(jié)論

相對行列式，Pfaff式的性質(zhì)人們了解的很少，但是Pfaff式的性質(zhì)比行列式更豐富.本文基于雙線性方法得到方程的Wronskian解時，雙線性方程結(jié)果化為Plücker關(guān)系式，求Grammian解時雙線性方程化為Jacobi恒等式，通過其Maya圖表不難發(fā)現(xiàn)，這兩種行列式的恒等式只是Pfaff式恒等式的特殊情形：

文中還利用雙線性形式的倒推得到了一個變系數(shù)的BLMP方程，采用平衡法可構(gòu)造Wronskian解.Pfaff式的廣泛應(yīng)用、平衡法以及這種倒推方法也可以在其他方程中進(jìn)行考慮.

致謝本工作受到河南省研究生教育優(yōu)質(zhì)課程、河南省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計劃項目、理學(xué)院教研項目的支持資助，在此表示感謝.