蔡海濤 黃少瑩 盧妮

摘 要：2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20題，構(gòu)思精妙，入手方向多，解題方法豐富.本文從解題方法以及背景進(jìn)行深層次剖析，由此進(jìn)行一定的教學(xué)反思.

關(guān)鍵詞：解法賞析;背景探究;教學(xué)啟示

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0028-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：蔡海濤（1975-），本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系2020年福建省電化教育館課題《基于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)環(huán)境高中實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐研究》（課題編號(hào)閩教電館KT2042）研究成果.

一、試題呈現(xiàn)

（2020年高考全國(guó)卷Ⅰ·理20）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

本題第（1）小題以橢圓為載體，考查橢圓基本量的運(yùn)算，求標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想.

第（2）小題以探索性問(wèn)題為載體，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、解法賞析

（1）由已知可得A-a，0，Ba，0，G0，1，則AG=（a，1），GB=（a，-1），故AG·GB=a2-1=8，從而a2=9.所以E的方程為x29+y2=1.

（2）解法一 （設(shè)點(diǎn)）：設(shè)P6，y0，則直線AP的方程為y=y09x+3.

由x29+y2=1，y=y09x+3，整理得y20+9x2+6y20x+9y20-81=0，解得x=-3或x=-3y20+27y20+9.

將x=-3y20+27y20+9代入直線y=y09x+3，得y=6y0y20+9，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為-3y20+27y20+9，6y0y20+9.

同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為3y20-3y20+1，-2y0y20+1

故直線CD的方程為

y--2y0y20+1=6y0y20+9--2y0y20+1-3y20+27y20+9-3y20-3y20+1x-3y20-3y20+1，

整理得y+2y0y20+1=8y0y20+369-y04x-3y20-3y20+1=8y063-y20x-3y20-3y20+1，即y=4y033-y20x+2y0y20-3=4y033-y20x-32.

所以直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

點(diǎn)評(píng) 本解法從設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)出發(fā)，得到直線AP的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，由于知道一個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)A）的坐標(biāo)，故可根據(jù)韋達(dá)定理求出另一個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)C）的坐標(biāo)，這種處理方法叫“小聯(lián)立”.同理得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線CD的方程，再求得直線CD過(guò)定點(diǎn).

解法二 （設(shè)直線）：設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，P6，t.

若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

因?yàn)橹本€PA的方程為y=t9（x+3），所以y1=t9（x1+3），直線PB的方程為y=t3（x-3），所以y2=t3（x2-3），則3y1（x2-3）=y2（x1+3）...（*）.

因?yàn)閤229+y22=1，故y22=-（x2+3）（x2-3）9，代入（*）式得27y1y2=-（x1+3）（x2+3），即（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.①

將x=my+n代入x29+y2=1，得（m2+9）y2+2mny+n2-9=0 .

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9，代入①式得（27+m2）（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0，解得n=-3（舍去）或n=32.故直線CD的方程為x=my+32，即直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

若t=0，則直線CD的方程為y=0，亦過(guò)點(diǎn)（32，0）.綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評(píng) 本解法從設(shè)直線CD的方程為x=my+n出發(fā)，再利用已知條件得到n=32，從而求得直線過(guò)定點(diǎn).這是解決直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本方法，即設(shè)方程為y=mx+n或x=my+n，利用已知條件得到m與n的關(guān)系或求出其中一個(gè)變量的值，使得所求直線方程只含有一個(gè)未知數(shù)，從而求得定點(diǎn).

解法三 （利用三點(diǎn)共線）：設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，P6，m.

由A，P，C三點(diǎn)共線得y1x1+3=m9;由B，P，D三點(diǎn)共線得y2x2-3=m3，

從而3y1x1+3=y2x2-3，平方得9y21（x1+3）2=y22（x2-3）2②.

由于x219+y21=1，x229+y22=1，故9y21=-（x1+3）（x1-3），y22=-（x2+3）（x2-3）9，代入②式整理得4x1x2=15（x1+x2）-36.

（?。┊?dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，x1=x2，y1=-y2，故4x1x2=15（x1+x2）-36可化為2x21-15x1+18=0，得x1=32或x1=6（舍去）.所以x1=x2=32.

故直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)（32，0）.

（ⅱ）當(dāng)直線CD斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線CD與x軸交點(diǎn)為Mx0，0.

直線CD方程為（x1-x2）（y-y2）=（y1-y2）（x-x2），故x0=x2y1-x1y2y1-y2③.

由3y1x1+3=y2x2-3得y2=3y1（x2-3）x1+3，代入③式整理得x0=2x1x2-9x1-3x23x2-x1-12.

又4x1x2=15（x1+x2）-36，故x0=4x1x2-18x1-6x22（3x2-x1-12）=9x2-3x1-362（3x2-x1-12）=32，所以直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（32，0）.

（ⅲ）當(dāng)直線CD斜率為0時(shí)，由A，P，C三點(diǎn)共線以及A，P，B三點(diǎn)共線知此時(shí)直線CD方程為y=0，亦過(guò)點(diǎn)（32，0）.

綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評(píng) 本解法利用三點(diǎn)共線，由A，P，C及B，P，D均三點(diǎn)共線，得到兩個(gè)關(guān)系式，結(jié)合C，D兩點(diǎn)在橢圓上，得到C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式4x1x2=15（x1+x2）-36，由直線CD斜率不存在的特殊情況探路，猜測(cè)直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0），對(duì)直線CD斜率存在的一般情況再進(jìn)行驗(yàn)證，這種從特殊情況猜測(cè)再一般情況驗(yàn)證的方法是解決直線過(guò)定點(diǎn)的常用方法.

解法四 設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，則x219+y21=1，x229+y22=1，整理得（x1+3）（x1-3）=-9y21，（x2+3）（x2-3）=-9y22.（*）

（?。┊?dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)， C與B重合，D與A重合，此時(shí)直線CD方程為y=0.

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，直線PA，PB的斜率都存在且y1，y2都不為0.

直線AC的方程為y=y1x1+3（x+3）， 直線BD的方程為y=y2x2-3（x-3）.

令x=6，則有9y1x1+3=3y2x2-3，即3y1x1+3=y2x2-3④.

由（*）式得y1x1+3=x1-3-9y1，y2x2-3=x2+3-9y2.

故3（x1-3）y1=（x2+3）y2⑤.

由④得3x2y1-x1y2=9y1+3y2，由⑤得x2y1-3x1y2=-3y1-9y2，兩式相加得

4x2y1-4x1y2=6y1-6y2⑥.

又由兩點(diǎn)式方程得直線CD方程為（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1），

即（x2-x1）y=（y2-y1）x+x2y1-x1y2.將⑥式代入得（x2-x1）y=（y2-y1）（x-32），

此時(shí)直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評(píng) 本解法與解法三類(lèi)似，由A，P，C及B，P，D均三點(diǎn)共線得3y1x1+3=y2x2-3，又C，D兩點(diǎn)在橢圓上，有3（x1-3）y1=（x2+3）y2，結(jié)合兩式得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2，與直線CD方程進(jìn)行比較，得CD過(guò)定點(diǎn).本法的基本思路即得到C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，利用整體的思想進(jìn)行處理.

解法五 （利用曲線系）：設(shè)直線AC，BD，CD，AB的方程分別為lAC：x=k1y-3， lBD：x=k2y+3，lCD：x=my+n，lAB：y=0.則過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的曲線系方程為

（x-k1y+3）（x-k2y-3）+λy（x-my-n）=μ（x29+y2-1）

比較系數(shù)得，xy項(xiàng)系數(shù)-k1-k2+λ=0，y項(xiàng)系數(shù)3k1-3k2-λn=0，

從而k1+k2=λ，k1-k2=λn3.由x=k1y-3，x=k2y+3得x=3（k1+k2）k1-k2=9n.

因?yàn)橹本€AC，BD的交點(diǎn)P在直線x=6上，故9n=6，即n=32.

所以直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評(píng) 本法構(gòu)建曲線系解題.一般地，若兩曲線C1：fx，y=0和C2：gx，y=0有交點(diǎn)，則過(guò)兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為：λfx，y+μgx，y=0;方程

fx，ygx，y=0表示曲線C1和C2.曲線系是具有某種性質(zhì)的曲線的集合，合理運(yùn)用曲線系解題體現(xiàn)了整體處理的解題策略，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、背景探究

法國(guó)數(shù)學(xué)家迪沙格在《圓錐曲線論稿》中闡述了極點(diǎn)和極線.定義如下：已知圓錐曲線C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，則稱(chēng)Px0，y0和直線l：Ax0x+By0y+x+x02D+y+y02E+F=0是曲線C的一對(duì)極點(diǎn)極線.我們也稱(chēng)點(diǎn)P和直線l為“配極關(guān)系”，即點(diǎn)P為直線l的極點(diǎn)，直線l為點(diǎn)P的極線.對(duì)于橢圓C：xa22+yb22=1，與點(diǎn)Px0，y0對(duì)應(yīng)的極線為xx0a2+yy0b2=1.

根據(jù)此結(jié)論，本題可另解：若直線CD過(guò)定點(diǎn)，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得定點(diǎn)在x軸上.假設(shè)直線CD過(guò)定點(diǎn)Mx0，0，則橢圓E的極線為xx09+y·0=1，得x=9x0=6，故x0=32.故直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

四、教學(xué)反思

1.圓錐曲線的定量問(wèn)題

圓錐曲線中的定量問(wèn)題包括定點(diǎn)、定值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題往往是某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角度、直線的斜率）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不隨參數(shù)的變化而變化，是一個(gè)不變的定量.求解這類(lèi)問(wèn)題常常有兩條途徑，一條是從特殊情況入手，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，猜測(cè)出定點(diǎn)或定值，再通過(guò)觀察規(guī)律證明一般性情況，體現(xiàn)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.另一條途徑是從變量中尋求不變，即先用變量表示要求的量或點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)推理計(jì)算，得出這些量或點(diǎn)的坐標(biāo)和變量無(wú)關(guān)，是一般到特殊的推理過(guò)程.這兩條途徑相得益彰，是數(shù)學(xué)研究中常用的特殊與一般的重要思想方法.

2.關(guān)注解析幾何的核心教育價(jià)值

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，由于解析幾何蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、特殊與一般思想等），所以解析幾何試題可有效檢測(cè)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于高考遵循的“一核四層四翼”命題指導(dǎo)思想，復(fù)習(xí)教學(xué)要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，立足基礎(chǔ)性，以體系建構(gòu)為目標(biāo)對(duì)板塊的必備知識(shí)進(jìn)行全面梳理，在提升學(xué)科關(guān)鍵能力上應(yīng)以運(yùn)算求解能力和抽象概括能力為重點(diǎn)，著力發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等核心素養(yǎng)，彰顯解析幾何獨(dú)特的分支教育價(jià)值以落實(shí)學(xué)科教學(xué)的立德樹(shù)人根本任務(wù).

用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，即：幾何問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→代數(shù)結(jié)論→幾何結(jié)論.所以，它的兩大任務(wù)是：把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;研究代數(shù)問(wèn)題，得出代數(shù)結(jié)論.怎樣將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題？（1）要主動(dòng)去理解幾何對(duì)象的本質(zhì)特征;（2）善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來(lái);（3）恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這點(diǎn)是關(guān)鍵：一要研究具體的幾何對(duì)象具有什么樣的幾何特征（如果幾何特征不清楚，就不可能準(zhǔn)確將其代數(shù)化），這就要在審題上下功夫;二是選擇最簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式（方便后續(xù)的代數(shù)研究），這需要大局觀;（4）注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.

直線上的交點(diǎn)或者動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，代數(shù)上多結(jié)合幾何條件或設(shè)點(diǎn)或列方程，進(jìn)而用方程思想求解問(wèn)題，建議必須依題構(gòu)圖，結(jié)合曲線的性質(zhì)從題意與圖形中抽象出關(guān)鍵的幾何特征，并以簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式加以呈現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為待求目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變形演算.

3.關(guān)注解析幾何的簡(jiǎn)化運(yùn)算

解析幾何的主要特征是“算”，考生如果對(duì)運(yùn)算方法運(yùn)用不當(dāng)，面臨繁雜的運(yùn)算將無(wú)從下手，有效運(yùn)算、簡(jiǎn)便運(yùn)算是求解解析幾何問(wèn)題必須重視的環(huán)節(jié)，包括如何設(shè)元、如何設(shè)方程、如何整體代換、如何化簡(jiǎn)等.

教學(xué)過(guò)程中，建議教師不能只是談思路方法，應(yīng)通過(guò)課堂師生共同演算的體驗(yàn)，增加實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行算法算理的指導(dǎo).另外，解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路、輕視動(dòng)手運(yùn)算的缺點(diǎn).運(yùn)算能力差是學(xué)生普遍存在的問(wèn)題，不僅在解析幾何問(wèn)題中要加強(qiáng)訓(xùn)練，在其它板塊中也要加強(qiáng)訓(xùn)練，只有把提高學(xué)生的運(yùn)算能力貫徹于教學(xué)的過(guò)程之中，才能收到較好的效果.還有，要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí)，尤其是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識(shí)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.譬如圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示所求的量或點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)推理計(jì)算，導(dǎo)出這些量或點(diǎn)的坐標(biāo)和變量無(wú)關(guān).其基本策略是定點(diǎn)和定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān).在這類(lèi)試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.另外，對(duì)于某些定點(diǎn)問(wèn)題的證明，可以先通過(guò)特殊情形探求定點(diǎn)坐標(biāo)，然后對(duì)一般情況進(jìn)行證明，這種方法在填空題中更為實(shí)用.

五、對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2017年高考全國(guó)卷Ⅰ·理20）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

答案：（1）C的方程為x24+y2=1.（過(guò)程略）（2）l過(guò)定點(diǎn)（2，-1）.

2.直線l：y=x+b與橢圓C：x252+y92=1不相交.過(guò)直線l上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，求證：MN過(guò)定點(diǎn).

答案：設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，則切線PM：x1x25+y1y9=1，PN：x2x25+y2y9=1.把Px0，y0分別代入得x0x125+y0y19=1，x0x225+y0y29=1，說(shuō)明直線xx0a2+yy0b2=1同時(shí)經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)，所以直線MN的方程為xx025+yx0+b9=1，即（x25+y9）x0+yb9=1，令x25+y9=0可得y=9b，x=-25b，所以MN過(guò)定點(diǎn)-25b，9b，與動(dòng)點(diǎn)P無(wú)關(guān).

參考文獻(xiàn)：[1]蔡海濤.多思少算覓蹊徑 輕舟巧過(guò)解幾山[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（5）：86-88.

[責(zé)任編輯：李 璟]