王 旭 龐義卓 白嘉豪 王文靜 魏國(guó)華
(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京100081)
在導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)中,測(cè)量目標(biāo)著靶點(diǎn)坐標(biāo)和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向?qū)τ谠u(píng)估導(dǎo)彈性能起著關(guān)鍵作用[1]。在導(dǎo)彈與靶平面交會(huì)的過(guò)程中,天線陣列中接收到目標(biāo)輻射信號(hào)的天線間相位差隨時(shí)間的變化規(guī)律由導(dǎo)彈的速度矢量和矢量脫靶量一共6個(gè)參數(shù)決定。在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型已知的前提下,測(cè)量系統(tǒng)通過(guò)互相關(guān)或其他方法可得到接收陣元間的相位差時(shí)間序列數(shù)據(jù),進(jìn)一步再通過(guò)構(gòu)建方程組進(jìn)行求解等方法就能估計(jì)出著靶點(diǎn)坐標(biāo)和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向[2]。著靶點(diǎn)的測(cè)量精度不但與相位差數(shù)據(jù)提取精度有關(guān),而且也受到天線陣列布放結(jié)構(gòu)的影響,因此天線陣列幾何結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題一直被廣泛討論和研究[3–7]。文獻(xiàn)[8–10]對(duì)平面陣列的不同布放結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比和分析,但是其結(jié)論不能直接推廣應(yīng)用到3維空間的定位問(wèn)題中。本文針對(duì)3維空間著靶點(diǎn)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,建立了觀測(cè)模型,闡述了采用非線性尋優(yōu)處理進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法,提出了一種從靈敏度[10]的角度對(duì)比不同陣列布放結(jié)構(gòu)性能的方法,并利用著靶點(diǎn)估計(jì)CRLB(Cramer-Rao Lower Bound)的理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了該方法的可靠性[11]。
靈敏度反映了待估計(jì)參數(shù)的變化對(duì)觀測(cè)量的影響情況。2維平面上利用平面陣的目標(biāo)定位問(wèn)題中,陣列布放結(jié)構(gòu)與定位精度的關(guān)系可以通過(guò)幾何分析比較直觀地得出結(jié)論[8],而且不同方向上定位精度的差異與基線分量的排布緊密相關(guān)。但是在3維空間下對(duì)著靶點(diǎn)參數(shù)估計(jì)的精度,除了會(huì)受到觀測(cè)量噪聲大小、陣列布放結(jié)構(gòu)和落點(diǎn)坐標(biāo)影響以外,還會(huì)受到彈道偏角α、彈道傾角β、觀測(cè)點(diǎn)數(shù)I和數(shù)據(jù)提取間隔T的影響,估計(jì)過(guò)程更復(fù)雜,很難通過(guò)幾何分析的方式直觀地比較不同陣列布放結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。靈敏度可以反映相位差觀測(cè)量受目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響情況[10],對(duì)于某個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)來(lái)說(shuō),天線陣列布局的不同會(huì)造成靈敏度的差異,因此比較靈敏度大小對(duì)判斷陣列布放結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣有價(jià)值。
為了簡(jiǎn)化表達(dá)式,令
則ti時(shí)刻目標(biāo)與天線m和天線n的距離可分別表示為
圖1 目標(biāo)軌跡與靶平面之間的相對(duì)位置關(guān)系
圖2 3種常見(jiàn)空間陣列
圖3 陣列與靶平面的相對(duì)位置
圖4 觀測(cè)量對(duì)著靶點(diǎn)位置變化的靈敏度
圖5 著靶點(diǎn)位置估計(jì)CRLB
由圖4、圖5和表1可見(jiàn),中心輻射陣和面心輻射陣對(duì)著靶點(diǎn)坐標(biāo)的靈敏度分布特征比較相似,在各個(gè)方向上靈敏度變化比頂角輻射陣更加均勻,并且具有著靶點(diǎn)距離靶中心越遠(yuǎn)靈敏度越低、CRLB越大的特點(diǎn)。從數(shù)值上看,面心輻射陣的靈敏度值最高,頂角輻射陣次之,中心輻射陣最低。這說(shuō)明同樣是選取8對(duì)接收天線提取相位差的情況下,面心輻射陣的相位差觀測(cè)量對(duì)著靶點(diǎn)坐標(biāo)的變化最敏感,而中心輻射陣最遲鈍。CRLB的計(jì)算結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn),如圖5所示,從靶平面上的整體數(shù)值分布來(lái)看,面心輻射陣的CRLB界最低,即無(wú)偏估計(jì)理論上可以達(dá)到的精度最佳,頂角輻射陣次之,中心輻射陣最差,與靈敏度計(jì)算結(jié)果反映的3種陣列的優(yōu)劣情況一致。
同樣仿真條件下,觀測(cè)量對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)角度參數(shù)變化的靈敏度和角度估計(jì)CRLB分布情況如圖6和圖7所示。
比較觀測(cè)量對(duì)角度參數(shù)的靈敏度和角度估計(jì)CRLB的計(jì)算結(jié)果可以看出,在整個(gè)靶平面上,頂角輻射陣的靈敏度最大,CRLB也最低。中心輻射陣的靈敏度高于面心輻射陣,靶平面中部區(qū)域的CRLB也優(yōu)于面心輻射陣,但是對(duì)于著靶點(diǎn)位于靶平面邊緣的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),面心輻射陣的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)CRLB則小于中心輻射陣??梢?jiàn),對(duì)某些軌跡存在著觀測(cè)量對(duì)角度參數(shù)靈敏度越大,CRLB反而越差的現(xiàn)象。通過(guò)式(13)和式(21)可以看出,觀測(cè)量對(duì)某一個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化的靈敏度與其它參數(shù)的變化無(wú)關(guān),而CRLB的計(jì)算過(guò)程中,不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)則互相影響。當(dāng)假設(shè)其余參數(shù)已知時(shí),即排除參數(shù)間相互影響,某個(gè)參數(shù)的CRLB與靈敏度的分布情況更加一致。仿真條件不變,假設(shè)著靶點(diǎn)坐標(biāo)Pθ=[xθ,yθ,zθ]T和彈道傾角β已知,彈道偏角α的CRLB和靈敏度對(duì)比結(jié)果如圖8和圖9所示。
表1 不同陣列的靈敏度和CRLB對(duì)比
圖6 觀測(cè)量對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)角度參數(shù)變化的靈敏度
圖7 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)角度估計(jì)CRLB
通過(guò)仿真計(jì)算結(jié)果可以看出,頂角輻射陣靈敏度最高同時(shí)CRLB最優(yōu),中心輻射陣次之,面心輻射陣最差??梢?jiàn),當(dāng)假設(shè)除彈道偏角α外的參數(shù)均為已知時(shí),觀測(cè)量對(duì)α變化的靈敏度和α估計(jì)CRLB分布情況更為一致。
圖8 觀測(cè)量對(duì) 變化的靈敏度
α
圖9 α估計(jì)CRLB
本文針對(duì)基于PDOA著靶點(diǎn)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題提出了一種利用靈敏度分析來(lái)判斷不同陣列類型定位性能的方法。通過(guò)靈敏度和CRLB的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出,靈敏度分析的方法可以較為直觀和準(zhǔn)確地體現(xiàn)不同陣列定位性能的差異,為工程設(shè)計(jì)提供了一種陣列結(jié)構(gòu)選型和比較的方法。