趙希寧 楊曉東 張 偉

(北京工業(yè)大學機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

引言

在工程實際與科學實踐中都存在大量的非線性因素,其中很多因素都可歸納為非線性波問題,因此對非線性彈性波理論的研究有著重要的理論和實際意義[1-2].孤立波和沖擊波現(xiàn)象的研究最早可以追溯到1834 年,英國科學家Russell 偶然發(fā)現(xiàn)了一種在行進的過程中波形和速度沒有明顯變化的波,并稱這種波為孤立波[3].1895 年,Korteweg 等[4]在研究淺水波的運動時,得到了能產(chǎn)生孤立波的淺水運動的非線性方程,并求得了孤立波解,首次證實了孤立波的存在.1965 年,Zabusky 和Kruskal[5]運用仿真手段研究了兩個孤立波的碰撞特性,發(fā)現(xiàn)孤立波在碰撞前后,波形特性不發(fā)生變化,說明了非線性理論中不存在線性疊加原理.1970 年,Taylor 等[6]解釋了沒有色散項只有非線性項的孤立波現(xiàn)象,證明了只有非線性項的孤立波波形比較尖陡,而加入色散項后孤立波的波形變得平緩.1980 年,國內朱位秋[7]研究了彈性桿中非線性波的傳播行為[7].

21 世紀以來,科學家們推導出了固體中非線性演化方程的孤立波解和沖擊波解[8-12].Duan 等[13]基于非線性彈性桿的縱波運動方程,利用攝動理論證明了非線性彈性桿中存在孤立子.Parkes 等[14]利用雅可比橢圓函數(shù)展開法構造并求解了非線性波動方程的精確周期解.研究表明,用該方法可以得到許多新的周期解,且在其極限條件下可以得到更多的激波解或孤立波解.Dai 等[15-16]分別研究了可壓縮和不可壓縮桿中的非線性波傳播問題,導出了一類新的非線性色散方程,證明了這兩類系統(tǒng)中存在沖擊波、孤立波、周期沖擊波等.Zhang 和Liu[17-20]在考慮有限變形、黏性效應和橫向慣性的影響時,得到了彈性圓柱殼和桿的非線性薛定諤方程,證明了孤立解和激波解的存在.Xue 等[21-22]建立了磁電彈桿的非線性波動方程,并通過雅可比橢圓函數(shù)展開法進行求解,結果表明在磁電彈桿存在孤立波.Bulut 等[23]建立了磁電彈桿的非線性縱波方程,并運用sinh-Gordon 展開法對其求解,得到了拓撲孤子解、非拓撲孤子解和奇異孤子解.Lpbal 等[24]研究了含有泊松效應的彈性桿中的非線性縱波擴散問題.

除了對彈性桿非線性縱波的研究之外,對梁結構非線性彎曲波的研究也取得了很多進展[25-28].Zhang 等[29-30]考慮了橫向、軸向和旋轉慣性效應,導出了大撓曲梁的非線性波動方程,得到了孤立波解和沖擊波解.Wei 等[31]建立了壓電層合梁的彎曲波方程,利用拓展的F-展開法和約化攝動法得到了沖擊波解、孤立波解以及亮孤子和暗孤子解.然而,到目前為止,關于壓電耦合效應以及電學邊界條件下壓電層合梁模型非線性彎曲波的研究還沒有報道.

本文提出了含有電學邊界條件的無限長壓電層合梁模型,研究了非線性彎曲波的傳播問題.首先,考慮梁的大撓度引起的幾何非線性效應、壓電耦合效應和電學邊界條件,利用歐拉?拉格朗日方法建立了無限長矩形壓電層合梁彎曲波的非線性模型.其次,采用橢圓函數(shù)展開法對非線性彎曲波方程進行求解,得到了非線性彎曲波動方程的精確周期解及在極限情況下對應的沖擊波解和孤波解.最后,利用約化攝動法得到了非線性薛定諤方程,進一步得到了亮孤子和暗孤子解,且具體研究了外加電壓、壓電層厚度等參數(shù)對沖擊波、孤立波以及孤子特性的影響.

1 壓電層合梁模型建立

圖1 給出了矩形壓電層合梁的簡化幾何模型,壓電層合梁由均勻壓電材料和基體材料組成,梁的橫截面在變形前后均保持平面.不考慮泊松效應,以x方向為軸向方向,z軸為彎曲變形方向,其他兩個方向梁不受任何力.基體厚度hs,壓電材料厚度hp,基體梁和壓電層的寬度都是b.壓電層合梁上表面壓電層的極化方向沿z軸正方向,受到電勢V作用,下表面壓電層的極化方向與上表面相反,沿z軸負方向,下表面壓電層接地且電勢為0,壓電層合梁的振動方向沿厚度方向.

圖1 矩形壓電層合梁的示意圖Fig.1 Schematic of the rectangular piezoelectric laminated beam

取梁變形前的軸為x軸,梁發(fā)生橫向彎曲的方向與中性面垂直,在x方向沒有外力作用的情況下,可以采用下列位移表達式

式中W為z方向的撓度,考慮有限撓度的情況下,梁截面上任意點處的應變可以表示為

基體梁和壓電層的本構方程分別為

注意到方程(26) 是含三次非線性的彎曲波方程,因此需要考慮由梁的大撓度引起的非線性效應,色散效應以及壓電耦合效應.當非線性效應和色散效應相互作用并達到平衡時,就會出現(xiàn)孤立波或者沖擊波解.

2 橢圓函數(shù)展開法

Jacobi 橢圓函數(shù)展開法是一種求解非線性方程孤立波解和沖擊波解的有效方法[18].下文將運用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法對該模型下的非線性波動方程進行分析求解.Jacobi 橢圓函數(shù)展開形式可以是正弦函數(shù)snξ、余弦函數(shù)cnξ 和第三類Jacobi 橢圓函數(shù)dnξ.首先利用Jacobi 橢圓函數(shù)正弦展開法,將w(ξ)展開為snξ 的級數(shù)

其中n為解展開的項數(shù),aj為待定系數(shù).為了確定展開項數(shù)n的值,需要滿足非線性方程最高階導數(shù)項和最高階非線性項的次數(shù)相等,且滿足

方程(28)兩式平衡可以得到n=1,因此對Jacobi 橢圓正弦函數(shù)做一階展開,就能得到非線性方程的精確解,此時解的形式具體可以表示為

設方程(26)的解為

其中k是波數(shù),c是波速.將解的形式(30)代入到非線性方程(26),可以得到非線性常微分波動方程

非線性彎曲波方程解的具體形式可以寫為

方程(45) 是非線性彎曲波方程的另一個精確解,顯然當δ1<0 且δ3>0 時,上式成立.根據(jù)橢圓函數(shù)的性質,當模數(shù)m趨于1 時,cnξ 趨于sechξ,則方程(45)可以退化為孤立波解形式

特別地,如果運用第三類Jacobi 橢圓函數(shù)展開法,當模數(shù)m趨于1 時,也可以得到孤立波解.

3 約化攝動法

進一步運用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法求解非線性薛定諤方程,得到非線性薛定諤方程的振幅為

解(70)和(71)的形式與文獻[16]類似,但是方程中系數(shù)的含義有很大差別,尤其是在考慮壓電效應和電學邊界條件以后,孤子解的特性也會受到這些參數(shù)的影響,下面將著重討論.

4 沖擊波和孤立波分析

在數(shù)值計算中,基體梁采用鋁,壓電層為PZT 壓電陶瓷,壓電層合梁的結構參數(shù)和壓電片的材料參數(shù)如下表所示.

表1 壓電層合梁參數(shù)Table 1 Parameters of the piezoelectric laminated beam

圖2 分別給出了線性方程下的色散關系以及對應的相速度曲線和群速度曲線.通過圖2(a) 可以看出,隨著波數(shù)k的增大,頻率也隨著增大,并且增大的速率越來越快.圖2(b) 可以看出,隨著波數(shù)的增大,群速度大于相速度,也就是說,此時彎曲波有反常的色散.

圖2 (a)色散曲線;(b)相速度和群速度與波數(shù)的關系Fig.2 (a)Dispersion curves;(b)relationship between phase velocity and group velocity and wave number

首先,考慮壓電層厚度和基體梁厚度均為0.05 m,此時可以求得縱波波速c0=2905.4 m/s.圖3 分別給出了沖擊波解和孤立波解隨時間t和空間x的變化,如圖3(a)所示.當波速c等于20 m/s 時,結構產(chǎn)生沖擊波解,當波速c等于4000 m/s 時,結構產(chǎn)生孤立波解,且沖擊波解和孤立波解是非周期的.

圖3 不同波速下的沖擊波和孤立波Fig.3 Shock wave and solitary wave under different wave velocities

圖4 給出了沒有加外電壓時不同波速下沖擊波隨空間x的變化曲線.從圖4(a) 可以看出,當波速分別為200 m/s 和500 m/s 時,沖擊波的振幅分別為0.1 m 和0.25 m.說明隨著波速的增大,沖擊波的振幅增大.但是當波速c=500 m/s 時,沖擊波的波面要比波速c=200 m/s 時的波面要陡,說明沖擊波的波寬降低.同樣圖4(b)給出了不同壓電層厚度對沖擊波的影響.可以明顯看出,當壓電層厚度為0.05 m 時,沖擊波的振幅大約為0.1 m,當壓電層厚度為0.01 m時,沖擊波的振幅大約為0.08 m,說明沖擊波的振幅和波寬都略有降低.

圖5 給出了沒有外加電壓情況下不同波速下的孤立波解的曲線.由圖5(a)可知,當波速c=3000 m/s時,沖擊波的振幅約為1.5 m,當波速c=4000 m/s時,沖擊波的振幅約為2 m,說明隨著波速的增大孤立波振幅增大,同樣可以看出孤立波的波寬有所增大.圖5(b)給出了壓電層厚度對孤立波的影響,可以看出,當壓電層厚度為0.05 m 時,孤立波的振幅略大于壓電層厚度為0.01 m 時的孤立波振幅,但是當壓電層厚度為0.05 m 時的孤立波波寬小于壓電層厚度為0.01 m 時的波寬.通過分析圖4 和圖5 中不同時刻下的沖擊波和孤立波的行波曲線,發(fā)現(xiàn)沖擊波和孤立波都是右行波.

圖4 不同(a)波速和(b)壓電層厚度下的沖擊波Fig.4 Shock wave at different(a)wave velocities and(b)thicknesses of the piezoelectric layer

圖5 不同(a)波速和(b)壓電層厚度下的孤立波Fig.5 Solitary waves with different(a)wave velocities and(b)thicknesses of the piezoelectric layer

圖6 分別顯示了波速和壓電層厚度對沖擊波振幅的影響.由圖6(a)可以看出,隨著波速的增大,沖擊波的振幅增大,當波速較小時,外電壓也會對沖擊波的振幅產(chǎn)生影響,隨著外電壓的增大,沖擊波的振幅也隨之增大.圖6(b) 給出了壓電層厚度對沖擊波振幅的影響,隨著壓電層厚度的增大,沖擊波的振幅增大,且波速較小時,沖擊波振幅變化不明顯.圖7 給出了波速和壓電層厚度對沖擊波波寬的影響.由圖7(a)不難發(fā)現(xiàn),隨著波速增大,沖擊波波寬有所降低.當波速較小時,隨著外電壓的增大,沖擊波的波寬增大.圖7(b) 討論了壓電層厚度對沖擊波波寬的影響,隨著壓電層厚度的增大,且當波速較小時,沖擊波的波寬會先減小后增大,對于波速較大的情況,沖擊波的波寬變化不明顯.總的來說,沖擊波的波寬和振幅主要受波速的影響較大,當波速較小時,外電壓對沖擊波的振幅以及波寬影響較大.

圖8 分別給出了不同波速和壓電層厚度下的孤立波振幅的變化.由于孤立波產(chǎn)生的條件,所需波速必須大于縱波波速c0,通過圖6 和圖7 的分析可以確定:外電壓的影響在波速較小的情況下對沖擊波的振幅和波寬影響較大,當波速較大的時候,壓電的影響可以忽略.如圖8(a)所示,隨著波速c的增大,孤立波的振幅近似為線性增大,且隨著電壓的增大,孤立波的振幅基本不變.通過圖8(b)可以看出,隨著壓電層厚度的增大,孤立波的振幅逐漸增大,但是增大的幅度逐漸減小,隨著波速的增大,孤立波的振幅增大.通過圖9(a)和圖9(b)可以看出,隨著波速和壓電層厚度的增大,孤立波的波寬也隨之增大,外加電壓對孤立波波寬幾乎沒有影響.

圖6 (a)波速和(b)壓電層厚度對沖擊波振幅的影響Fig.6 Influences of(a)wave velocity c and(b)piezoelectric layer thickness hp on the amplitude of the shock wave

圖7 (a)波速和(b)壓電層厚度對沖擊波波寬的影響Fig.7 Influences of(a)wave velocity c and(b)piezoelectric layer thickness hp on the width of the shock wave

圖8 (a)波速和(b)壓電層厚度對孤立波振幅的影響Fig.8 Influences of(a)wave velocity c and(b)piezoelectric layer thickness hp on the amplitude of the solitary wave

圖9 (a)波速和(b)壓電層厚度對孤立波波寬的影響Fig.9 Influences of(a)wave velocity c and(b)piezoelectric layer thickness hp on the width of the solitary wave

5 亮孤子和暗孤子分析

根據(jù)亮孤子和暗孤子存在條件,可試圖通過調節(jié)外電壓或者壓電層厚度來分別實現(xiàn)亮孤子和暗孤子的條件,所以有必要研究色散系數(shù)α 和非線性系數(shù)β隨壓電層厚度hp和外電壓V的變化.下面著重分析外加電壓和壓電層厚度對色散系數(shù)的影響.圖10(a)給出了外加電壓對色散系數(shù)的影響,可以看出,隨著外加電壓V的增大,色散系數(shù)呈線性增大.觀察到色散系數(shù)隨著外加電壓的增大出現(xiàn)正負變化,當色散系數(shù)α >0 時,結構有亮孤子解;當色散系數(shù)α <0時,結構有暗孤子解.另外,當壓電層厚度hp=0.01 m時,色散系數(shù)與外加電壓的斜率更大.圖10(b)可以看出,隨著壓電層厚度的增大,色散系數(shù)的絕對值先增大后減小,但是色散系數(shù)的符號不發(fā)生變化.當取不同外加電壓時,色散系數(shù)的符號才會發(fā)生變化,且外加電壓對亮孤子解和暗孤子解的影響更大,因此可以通過調整作用在壓電層合梁上的電壓來實現(xiàn)亮孤子和暗孤子.

圖10 (a)外加電壓和(b)壓電層厚度對色散系數(shù)的影響Fig.10 Influences of(a)external voltage and(b)the thickness of the piezoelectric layer on the dispersion coefficient

接下來給出了不同參數(shù)下的亮孤子解和暗孤子解.圖11(a)給出了波數(shù)k=0.02,外電勢V=10 V 和壓電層厚度hp=0.05 m 時的壓電層合梁中亮孤子解隨慢變τ 和ξ 的變化關系,可以看到振幅較大的范圍分布主要集中在中心附近的狹小區(qū)域內,最大振幅為0.01 m,當離開中心區(qū)域,振幅很快下降到零,且隨著τ 的變化,亮孤子解的振幅和波形均不發(fā)生變化.圖11(b)給出了當波數(shù)k=0.02,外電勢V=?10 V 和壓電層厚度hp=0.05 m 時的壓電層合梁中暗孤子解隨τ 和ξ 的變化關系,可以看到在中心點附近,振幅最小且為零,離開中心點,振幅很快增大并達到最大值,此時最大振幅約為0.01 m.

圖11 亮孤子解和暗孤子解Fig.11 Bright soliton and dark soliton

圖12(a)給出了不同壓電層厚度下亮孤子解的特性,當hp=0.05 m 時,亮孤子解的振幅約為0.021 m;當hp=0.01 m 時,亮孤子解的振幅大約為0.031 m.τ=0 時刻,亮孤子位于中心,τ=5 s 時刻,亮孤子發(fā)生右移,且壓電層厚度hp為0.05 m 時亮孤子移動的幅度比壓電層厚度hp等于0.01 m 時要大,且在移動后亮孤子振幅不發(fā)生變化,波形不發(fā)生改變.同樣通過觀察圖12(b) 可以發(fā)現(xiàn),當V=10 V 時,亮孤子的振幅約為0.021 m;當V=50 V 時,亮孤子解的振幅大約為0.048 m.在τ=0 時刻,亮孤子位于中心,τ=5 s 時刻,亮孤子發(fā)生右移,且外加電壓V為50 V時亮孤子移動的幅度比外加電壓V等于10 V 時要大,且在移動后亮孤子振幅和波形同樣不發(fā)生改變.綜上,可以得出結論:壓電層厚度和外加電壓對亮孤子特性有明顯的影響.

圖12 不同(a)壓電層厚度和(b)外加電壓的亮孤子解Fig.12 Bright soliton at different(a)thicknesses of the piezoelectric layer(b)external voltages

圖13(a) 給出了不同壓電層厚度下暗孤子解的特性,當壓電層厚度hp=0.05 m 時,暗孤子解的振幅約為0.021 m;當hp=0.01 m 時,暗孤子解的振幅大約為0.031 m.在τ=0 時刻,暗孤子位于中心;τ=5 s時,亮孤子發(fā)生左移,且壓電層厚度hp為0.05 m 時亮孤子移動的幅度比壓電層厚度hp等于0.01 時要大,且在移動后暗孤子振幅不發(fā)生變化,波形不發(fā)生改變.同樣由圖13(b)可以看出,當V等于?10 V 時,暗孤子解的振幅約為0.021 m;當V等于?50 V 時,暗孤子解的振幅大約為0.048 m.在τ=0 時刻,暗孤子位于中心;τ=5 s 時刻,亮孤子發(fā)生左移,且外加電壓V為?50 V 時暗孤子移動的幅度比外加電壓V等于?10 V 時要大,且在移動后暗孤子振幅和波形同樣不發(fā)生改變,因此,壓電層厚度和外加電壓對暗孤子特性也有明顯的影響.

圖13 不同(a)壓電層厚度和(b)外加電壓的暗孤子解Fig.13 Dark soliton at different(a)thicknesses of the piezoelectric layer(b)external voltages

繼續(xù)研究了壓電層厚度和外電壓對亮孤子振幅的影響.通過圖14(a)和圖14(b)可知,隨著壓電層厚度的增大,亮孤子解的振幅均有所減小,同時減小的幅度隨壓電層厚度的增大而減小;而隨著電壓的增大,亮孤子解的振幅增大.

圖14 (a)壓電層厚度和(b)外加電壓對亮孤子振幅的影響Fig.14 Influences of(a)the thickness of the piezoelectric layer and(b)external voltage on the amplitude of the bright soliton

6 總結

本文將矩形壓電層合梁簡化為一維無限長模型,導出了含有電學邊界條件下的矩形壓電層合梁的非線性彎曲波動方程.用傳統(tǒng)的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法得到了相應的沖擊波解和孤立波解.并用多尺度攝動方法求得了相應的亮孤子解和暗孤子解.得到如下結論:(1)隨著波數(shù)k增大,頻率隨之增大,且增大的速率越來越快;隨著波數(shù)k增大,群速度大于相速度,此時彎曲波有反常色散.(2) 當波速c和小于縱波波速c0時,存在沖擊波解,且隨著波速c的增大,沖擊波的振幅增大,波寬減小;隨著壓電層厚度hp增大,沖擊波振幅增大,波寬先減小后增大;外加電壓對波速較小時的沖擊波的振幅和波寬有一定影響,隨著電壓的增大,沖擊波的振幅增大,波寬減小.(3)當波速c和大于縱波波速c0時,存在孤立波解,隨著波速c的增大,沖擊波的振幅和波寬增大;隨著壓電層厚度hp的增大,沖擊波振幅和波寬增大;外加電壓對孤立波幾乎沒有影響.(4)隨著外加電壓V增大,色散系數(shù)α 增大,且外加電壓V對色散系數(shù)的影響比壓電層厚度hp對色散系數(shù)的影響更大,可以通過調整作用在壓電層合梁上的電壓來改變色散系數(shù)的符號,得到亮孤子和暗孤子.(5) 隨著壓電層厚度hp的增大,亮孤子和暗孤子的振幅均有所減小,隨著外加電壓V增大,亮孤子和暗孤子的振幅增大.