馬 耀，汪振華，盧躍峰，章 波

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

對(duì)于經(jīng)典再生型顫振的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)一直是機(jī)械加工領(lǐng)域的重要課題，眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，提出的預(yù)測(cè)方法主要分為數(shù)值法和解析法兩大類[1]。

在解析法中，文獻(xiàn)[2]提出經(jīng)典半離散方法，之后對(duì)半離散法進(jìn)行改進(jìn)，使用一次多項(xiàng)式插值近似時(shí)滯項(xiàng)，將零階半離散方法發(fā)展至一階半離散方法[3]。由于半離散法采用多個(gè)等距時(shí)間點(diǎn)來(lái)離散刀齒通過(guò)周期，并且可以考慮一種或多種效應(yīng)，因而在加工領(lǐng)域已有諸多應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]基于半離散法，提出快速獲得的變螺旋銑刀的穩(wěn)定性葉瓣圖方法。但是，在半離散法的數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，需要計(jì)算大量的指數(shù)矩陣和矩陣序列，這是因?yàn)樵趻呙枨邢鲄?shù)空間時(shí)必須在內(nèi)部循環(huán)中對(duì)其進(jìn)行更新，這會(huì)導(dǎo)致半離散法計(jì)算效率的損失。

在半離散基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5]提出全離散方法，為了減少內(nèi)部循環(huán)時(shí)指數(shù)矩陣的計(jì)算次數(shù)，采用類似哈密頓正則替換方法，將空間形式的方程分為常數(shù)項(xiàng)和時(shí)變項(xiàng)，從而只需在主軸轉(zhuǎn)速循環(huán)內(nèi)計(jì)算常數(shù)項(xiàng)指數(shù)矩陣項(xiàng)，減少計(jì)算過(guò)程中指數(shù)矩陣的計(jì)算次數(shù)。文獻(xiàn)[6]使用全離散法獲得超聲附和銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖。文獻(xiàn)[7]使用全離散法研究銑刀磨損對(duì)銑削穩(wěn)定域和表面形位誤差的影響。文獻(xiàn)[8]在全離散基礎(chǔ)上，通過(guò)精細(xì)時(shí)間積分方法改良計(jì)算時(shí)間損失，并且提出使用黃金搜索法改良順序掃掠尋找關(guān)鍵切深的計(jì)算結(jié)構(gòu)。

在數(shù)值計(jì)算方面，文獻(xiàn)[9]基于半離散方法在處理指數(shù)矩陣時(shí)需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間，提出一種用于銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的完全離散化方法，離散化了延遲微分方程的所有部分，包括延遲項(xiàng)，時(shí)域項(xiàng)和參數(shù)矩陣。由于采用直接積分的方案，避免了指數(shù)矩陣的計(jì)算。文獻(xiàn)[10]提出使用二分查找方法尋找關(guān)鍵軸向切深的計(jì)算框架，提出一種基于龍格庫(kù)塔的完全離散化方法。文獻(xiàn)[11]使用增強(qiáng)型完全離散法對(duì)球頭銑刀五軸切削穩(wěn)定域預(yù)測(cè)。

綜上所述，由于半離散法較低的計(jì)算效率，高階半離散法相較于低階方法更高的計(jì)算精度與遞歸搜索關(guān)鍵切深的高效計(jì)算框架，本文提出使用三階牛頓插值多項(xiàng)式來(lái)近似時(shí)間延遲項(xiàng)，采用二分查找法尋找關(guān)鍵切深，同時(shí)使用精細(xì)時(shí)間積分算法[12]的改進(jìn)三階半離散法。

1 改進(jìn)三階半離散法

考慮單自由度動(dòng)力學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式[2]可得:

(1)

φj(t) 為當(dāng)前切削角度，表示為：

(2)

其中，j為當(dāng)前切削刀齒數(shù)，j=1,2,···,N，N為刀具總齒數(shù)。

g(φj(t)) 為窗函數(shù)，表示為：

(3)

式中，φst和φex分別表示為切入角和切出角，與加工方式有關(guān)，表示為：

(4)

其中，a/R為浸入比，為徑向切深和刀具半徑的比值。

對(duì)于式(1)的響應(yīng)可以表達(dá)為如下直接積分表達(dá)式：

(5)

對(duì)式(5)中的Q(kτ+τ-s)和X(kτ+τ-s-T)兩項(xiàng)進(jìn)行插值處理，其中周期系數(shù)矩陣Q(kτ+τ-s)使用兩端項(xiàng)Qk+1=Q(kτ+τ)，Qk=Q(kτ)進(jìn)行線性插值，得:

(6)

對(duì)時(shí)滯項(xiàng)X(kτ+τ-s-T)進(jìn)行三階牛頓多項(xiàng)式插值，得：

X(kτ+τ-s-T)≈aXk+3-m+bXk+2-m+cXk+1-m+dXk-m

(7)

式中，Xk+1=X(kτ+τ)，Xk-m=X(kτ-mτ)，Xk+1-m=X(kτ+τ-mτ)，Xk+2-m=X(kτ+2τ-mτ)，Xk+3-m=X(kτ+3τ-mτ)。

將式(6)和式(7)帶入式(5)得到：

Xk+1=F0Xk+Fm-3Xk+3-m+Fm-2Xk+2-m+Fm-1Xk+1-m+FmXk-m

(8)

其中，F(xiàn)0=Φ0

(9)

Fm-3=Qk+1(L5-L1)+QkL1

(10)

Fm-2=Qk+1(L6-L2)+QkL2

(11)

Fm-1=Qk+1(L7-L3)+QkL3

(12)

Fm=Qk+1(L8-L4)+QkL4

(13)

并且，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

指數(shù)矩陣Φ1～Φ5由精細(xì)時(shí)間積分法計(jì)算[12]。

由式(8)構(gòu)造離散映射:

yk+1=Akyk

(22)

式中，yk=col(Xk，Xk-1，···，Xk+1-m，Xk-m)

(23)

Ak為序列矩陣，表示為:

(24)

而后，一個(gè)周期上轉(zhuǎn)移矩陣Θ可以由矩陣序列Ak(k=0,1,···,m-1)表達(dá)出來(lái)，即:

ym=Θy0

(25)

其中，Θ=Am-1Am-2···A1A0。

(26)

最后根據(jù)Floquet理論獲得穩(wěn)定極限曲線，若轉(zhuǎn)移矩陣特征值等于1，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。采用二分查找法尋找關(guān)鍵切深，圖1為算法流程圖。

圖1 三階半離散方法流程圖

2 算法收斂率分析

使用MATLAB進(jìn)行仿真，參數(shù)選擇與文獻(xiàn)[13]中相同，在表1中列出。加工方式為順銑，徑向切削深度與刀具直徑之比a/D=1，主軸速度Ω=5000 rpm，4個(gè)軸向切削深度ap=0.1，0.4，0.7和1 mm。在圖2中，y軸表示精確關(guān)鍵特征值μ0和近似關(guān)鍵特征值μ之間的偏差：其中，μ0由一階半離散法確定，離散參數(shù)選擇m= 1000?？梢宰C明，如果m足夠大，采用4種方法取得的||μ|-|μ0||值都將接近0。因此，如果一種方法具有更快的收斂速度，則||μ|-|μ0||的值將更快地接近0。

在相同的切削條件下，0th-SDM，1st-SDM， 2nd-SDM和3rd-SDM的收斂曲線在圖2中顯示。從圖中可以看出，與低階的半離散法相比，三階半離散法具有更快的收斂速度。例如，如圖2b所示，在m= 50時(shí)，3rd-SDM獲得的||μ|-|μ0||值為5×10-4。而0th-SDM，1st-SDM和2nd-SDM所獲得的誤差值分別是32×10-3，18×10-3和7×10-3，都大大超過(guò)5×10-4。不難發(fā)現(xiàn)，本文提出的3rd-SDM相比于0th-SDM，1st-SDM，2nd-SDM具有更快的收斂速度。

(a) ap=0.1 mm,|μ0|=0.736 763 3(穩(wěn)定)

(b) ap=0.4 mm,|μ0|=0.991 715 5(穩(wěn)定)

(c) ap=0.7 mm,|μ|=1.219 689 0(穩(wěn)定)

3 有效性驗(yàn)證

為了清楚的比較所提出半離散方法的計(jì)算效率和精度，傳統(tǒng)的零階半離散法和一階半離散法將其表示為0th-SDM和1st-SDM，而二階半離散法采用精細(xì)時(shí)間積分法，記為p-2nd-SDM，本文提出的改進(jìn)三階半離散法記為I-3rd-SDM。為了比較所提出I-3rd-SDM與其它半離散法的計(jì)算效率，與文獻(xiàn)[13]采用的方法相似，在高速銑削加工條件下，從計(jì)算效率和銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性方面驗(yàn)證了所提出算法的有效性。圖3顯示了使用不同半離散法獲得的穩(wěn)定性葉瓣圖與相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間。為了進(jìn)行清楚的比較，由1st-SDM確定參考穩(wěn)定性葉瓣圖，取m= 300，并用紅色標(biāo)記為精確的參考穩(wěn)定邊界，藍(lán)色線條為相應(yīng)半離散法求出穩(wěn)定邊界曲線。銑削動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)如表2所示。加工參數(shù)為順銑，浸入比a/D=1。

表1 模態(tài)和銑削參數(shù)

圖3給出了高主軸速度時(shí)具有不同離散參數(shù)m=20，30和40時(shí)0th-SDM，1st-SDM，p-2nd-SDM與I-3rd-SDM獲得的穩(wěn)定性葉瓣和所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間。所有算法均位于Ω∈[5×103,10×103] rpm和ap∈[0,4] mm進(jìn)行計(jì)算，stx×sty=200×100。從圖3中可以看出，由于采用PTI算法，花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間更少。例如，在m= 30時(shí)，0th-SDM和1st-SDM的計(jì)算時(shí)間分別為144 s和93 s。p-2nd-SDM的計(jì)算時(shí)間為46 s，相比于0th-SDM和1st-SDM的計(jì)算時(shí)間分別減少68%和50%。更顯著的時(shí)間減少發(fā)生在p-2nd-SDM和I-3rd-SDM之間，由于I-3rd-SDM采用二分查找的計(jì)算框架，只需要花費(fèi)6 s，這意味著I-3rd-SDM具有更高的計(jì)算效率。

在計(jì)算精度方面，如圖3所示，與低階方法相比， I-3rd-SDM獲得的穩(wěn)定性葉瓣圖與參考穩(wěn)定性邊界具有更好的一致性。例如，在m=30時(shí)，0th-SDM和1st-SDM的穩(wěn)定性凸角與參考穩(wěn)定性邊界有明顯的偏差。盡管p-2nd-SDM進(jìn)一步減小了偏差，但與參考穩(wěn)定性邊界中間區(qū)域和頂部區(qū)域之間仍然存在明顯的差異。當(dāng)使用I-3rd-SDM時(shí)，雖然存在PTI算法帶來(lái)的計(jì)算精度下降，但是穩(wěn)定性波瓣中間部分幾乎與參考穩(wěn)定性邊界重合，而頂部區(qū)域也只有較小的偏差。這進(jìn)一步表明，與低階SDM相比，本文提出的I-3rd-SDM具有更高的計(jì)算精度。

圖3 高速銑削時(shí)0th-SDM、1st-SDM、P-2nd-SDM與I-3rd-SDM的計(jì)算精度比較

4 結(jié)論

本文基于三階牛頓插值多項(xiàng)式和精細(xì)時(shí)間積分法，結(jié)合二分查找法尋找關(guān)鍵切深，提出一種用于銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的改進(jìn)三階半離散方法，可以得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)于考慮再生效應(yīng)的銑削動(dòng)力學(xué)等式，通過(guò)柯西轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間的微分時(shí)滯方程，對(duì)時(shí)滯采用三階牛頓插值多項(xiàng)近似，獲得各個(gè)等距時(shí)間點(diǎn)的矩陣序列，從而求得傳遞矩陣特征值并應(yīng)用Floquet理論，獲得穩(wěn)定性葉瓣圖。

(2)在收斂性、有效性等方面將改進(jìn)三階半離散法與低階半離散法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，三階半離散法的收斂速度更高。在算法有效性方面，三階半離散法兼具計(jì)算精度和計(jì)算效率。

(3)仿真的結(jié)果也表明，采用二分查找法框架獲得穩(wěn)定性極限曲線的效率將產(chǎn)生巨大的提高，并且該方法也適用于低階的半離散法中使用，將會(huì)進(jìn)一步拓寬半離散法在實(shí)際加工中的應(yīng)用。