(中國電力工程顧問集團(tuán)西南電力設(shè)計(jì)院有限公司，四川 成都 610056)

0 引言

輸電線路中常用的鋼筋混凝土基礎(chǔ)形式包括掏挖基礎(chǔ)、挖孔樁基礎(chǔ)和巖石基礎(chǔ)等，其主柱截面通常為圓形，由于風(fēng)荷載和角度力的存在，基礎(chǔ)往往會(huì)受到上拔荷載，同時(shí)存在水平荷載，此時(shí)基礎(chǔ)的受力狀態(tài)為偏心受拉。

大多構(gòu)筑物的基礎(chǔ)只承受壓力，表現(xiàn)為偏心受壓，文獻(xiàn)[1-4]針對(duì)鋼筋混凝土圓形截面偏心受壓構(gòu)件的配筋計(jì)算方法進(jìn)行了探討。而針對(duì)鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構(gòu)件配筋計(jì)算方法的研究很少，文獻(xiàn)[5]按原型基本公式求解配筋時(shí)，未知量α(對(duì)應(yīng)于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角(rad)與2π的比值)步長極小，可以理解為試算法，計(jì)算效率較低。

DLT 5219—2014《架空輸電線路基礎(chǔ)設(shè)計(jì)技術(shù)規(guī)程》[6]條文7.1.3給出了鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構(gòu)件縱向鋼筋截面面積的計(jì)算方法，當(dāng)偏心距e0不大于計(jì)算截面中心至縱向鋼筋截面中心距離的1/2時(shí)，可以按照簡化公式計(jì)算；否則需要求解超越方程，其計(jì)算方法與矩形截面存在巨大差異，不能采用通常的直接解法進(jìn)行計(jì)算，只能依賴于數(shù)值算法。文獻(xiàn)[7]中給出了圖表查系數(shù)法，該圖表即為混凝土結(jié)構(gòu)計(jì)算手冊(cè)中采用的圖表，該方法計(jì)算配筋存在一定的誤差，且不便于工程應(yīng)用。

本文從鋼筋混凝土圓形截面偏心受拉構(gòu)件正截面承載力計(jì)算方程組出發(fā)，對(duì)配筋計(jì)算公式進(jìn)行了整理，提出了高效的鋼筋面積數(shù)值計(jì)算方法，并且證明了該方法求解的可靠性和唯一性。

1 基本公式

根據(jù)GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]附錄E.0.5，可以得到沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面偏心受拉構(gòu)件的正截面受拉承載力計(jì)算式：

式中：N為構(gòu)件的軸心拉力設(shè)計(jì)值；Nu0為構(gòu)件的軸心受拉承載力設(shè)計(jì)值；e0為軸向拉力作用點(diǎn)至截面重心的距離；Mu為構(gòu)件的正截面受彎承載力設(shè)計(jì)值；A為圓形截面面積；fy為縱向普通鋼筋的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；As為全部縱向普通鋼筋的截面面積；r為圓形截面的半徑；rs為縱向普通鋼筋重心所在圓周的半徑；α為對(duì)應(yīng)于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角(rad)與2π的比值；αt為縱向受拉普通鋼筋截面面積與全部縱向普通鋼筋截面面積的比值，當(dāng)α＞0.625時(shí)，αt為0；α1為系數(shù)，輸電線路中基礎(chǔ)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過C50，α1取1.0。

在偏心受拉作用下，圓形截面受力簡圖如圖1所示，其中陰影區(qū)為受壓區(qū)。

圖1 圓形截面受力簡圖

由式(1)～式(5)可知，方程組的未知量為As和α，為了得到鋼筋面積，需要求解超越方程組，可采用迭代法求數(shù)值解。

2 計(jì)算過程

將公式(1)取等號(hào)可得：

式(7)的表達(dá)式比較復(fù)雜，收斂性證明困難，因此可以從式(4)出發(fā)，假定一個(gè)初始鋼筋截面面積As0，通過數(shù)值迭代的方法求解出對(duì)應(yīng)的α，然后將α代入到式(7)即可求解出一個(gè)新的鋼筋截面面積As1，再將As0與As1進(jìn)行比較，如果|As0-As1|達(dá)到要求的精度即可終止計(jì)算，否則將(As0+As1)/2作為初始值，重復(fù)以上計(jì)算過程，直至達(dá)到要求的計(jì)算精度，鋼筋計(jì)算面積取最后一步As0和As1的較大值即可。

將α代入到式(7)后，式(7)即為關(guān)于As的一元二次方程，計(jì)算比較容易，假定B=(l1l2fy-l3Nfy-Ne0fy)，C=-Nl1l2，求解As1的公式為：

為了提高計(jì)算效率，初始As0可根據(jù)構(gòu)造要求取最小配筋面積Asmin，代入式(4)通過迭代法可求解出對(duì)應(yīng)的α，如果式(1)成立，則計(jì)算過程結(jié)束，不再進(jìn)行迭代計(jì)算，鋼筋面積為最小配筋率控制，有效的規(guī)避了配筋計(jì)算面積較小甚至為負(fù)的情況。配筋計(jì)算過程如圖2所示。

圖2 配筋計(jì)算過程

3 迭代方法

計(jì)算過程中的關(guān)鍵在于當(dāng)給定一個(gè)初始截面面積As0時(shí)，如何快速地計(jì)算出對(duì)應(yīng)的α，式(4)為非線性方程，不能直接計(jì)算，需要采用數(shù)值迭代的方法求解出對(duì)應(yīng)的α。

非線性方程常用的求根方法包括二分法、牛頓法等。二分法通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值，具有線性收斂速度。牛頓法是一種線性化方法，具有二階收斂速度，本文采用收斂速度更快的牛頓法。對(duì)于偏心受拉圓形截面，其受壓區(qū)面積所占的比例一般不會(huì)太大，在迭代求解α?xí)r其初始值可取0.3。牛頓法近似解的表達(dá)式為：

如果函數(shù)f(α)在求解區(qū)間(m,n)上連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)，且f(m)f(n)＜0，這時(shí)函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，滿足牛頓法的應(yīng)用條件。

4 算法收斂性證明

從單調(diào)性和唯一性出發(fā)，對(duì)算法收斂性進(jìn)行證明。

4.1 單調(diào)性證明

為了證明公式(4)的收斂性，將其構(gòu)造為以下函數(shù)：

由GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》附錄E.0.4可知：

因此可以得到α的取值區(qū)間為0.125≤α＜1，當(dāng)α＞0.625 時(shí)αt等于 0。

將式(9)改寫為關(guān)于α的分段函數(shù)：

當(dāng)0.125≤α≤0.625時(shí)：

當(dāng) 0.625＜α＜1 時(shí) ：

容易看出函數(shù)f(α)在0.625點(diǎn)保持連續(xù)，符合牛頓法的基本要求。其一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：

當(dāng)0.125≤α≤0.625時(shí)：

當(dāng) 0.625＜α＜1時(shí) ：

由式(12)和式(13)容易得出，一階導(dǎo)數(shù)f'(α)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)存在，且均大于0，因此f(α)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)f'(α)在0.625點(diǎn)并不連續(xù)，說明f(α)在0.625處不光滑，但并不影響此函數(shù)的收斂性，當(dāng)取到0.625這個(gè)點(diǎn)時(shí)，取左端或者右端的導(dǎo)數(shù)均能收斂到真解，左端的一階導(dǎo)數(shù)更大，可優(yōu)先取左端的導(dǎo)數(shù)，收斂速度更快。

當(dāng)采用牛頓法迭代求解α?xí)r，近似根的表達(dá)式為：

4.2 唯一性證明

為了證明函數(shù)f(α)在區(qū)間內(nèi)具有唯一的實(shí)數(shù)解，可計(jì)算區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值：

架空輸電線路中常用的基礎(chǔ)混凝土等級(jí)為C25和C30，縱向普通鋼筋等級(jí)為HRB400，根據(jù)JGJ94—2008《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》條文4.1.1可知，正截面配筋率可取0.65%～0.2%。為了計(jì)算出f(0.125)的最大值，混凝土等級(jí)取為C30，最小配筋率取為0.2%，可得：

以上過程證明了函數(shù)f(α)在區(qū)間[0.125, 1)內(nèi)連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)遞增、有且僅有一個(gè)實(shí)根，因此給定一個(gè)初始鋼筋截面面積以后，可以采用牛頓法求解出式(4)中對(duì)應(yīng)的α。

5 算例

通過兩個(gè)算例來驗(yàn)證本文配筋計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和收斂性，算例一的配筋為最小配筋率控制，算例二的配筋為計(jì)算控制。

算例計(jì)算對(duì)象為承受偏心受拉的圓形截面基礎(chǔ)，基礎(chǔ)樁徑d=1 400 mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，縱向鋼筋等級(jí)為HRB400，縱向鋼筋保護(hù)層厚度為60 mm，最小配筋率為0.5%，算例均由西南電力設(shè)計(jì)院有限公司自主開發(fā)的單樁批量快速計(jì)算軟件完成。

5.1 算例一

假定軸向拉力N=1 000 kN，偏心距e0=1 000 mm。按照前述計(jì)算過程，首先求解出滿足構(gòu)造要求的最小配筋面積Asmin=7 693 mm2，再通過牛頓法求解出式(4)中對(duì)應(yīng)的α，迭代時(shí)初始α可取0.3，迭代過程如表1所示：

表1 算例一迭代過程

由以上迭代過程可知，當(dāng)?shù)?次時(shí)α就達(dá)到了較高的精度，將α代入到式(1)可以得到：

因此，式(1)成立，說明此時(shí)鋼筋面積由最小配筋率控制，不再進(jìn)行計(jì)算。

5.2 算例二

假定軸向拉力N=2 000 kN，偏心距e0=1 000 mm。由于N＞1 027 kN，所以公式(1)不成立，鋼筋面積為計(jì)算控制，將算例一求出的初始Asmin對(duì)應(yīng)的α代入式(8)即可求出新的鋼筋面積As1，如此往復(fù)計(jì)算直至鋼筋面積達(dá)到規(guī)定的精度，迭代過程如表2所示。

表2 算例二迭代過程

由以上迭代過程可知，當(dāng)?shù)?5次時(shí)配筋面積已基本收斂，As1與As0的差異在0.5%，計(jì)算精度在工程可接受的范圍內(nèi)，最終的鋼筋計(jì)算面積為15 623 mm2。將最后一個(gè)迭代步的α和As1代回到原方程組，計(jì)算表明結(jié)果吻合，證明了本文計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和可靠性。

6 結(jié)語

本文針對(duì)輸電線路中常用的圓形截面基礎(chǔ)，提出了基礎(chǔ)偏心受拉時(shí)縱向普通鋼筋截面面積的計(jì)算方法，并且證明了該計(jì)算方法的收斂性和可靠性。算例表明，該方法計(jì)算效率高、準(zhǔn)確性好，目前已在西南電力設(shè)計(jì)院有限公司自主開發(fā)的單樁批量快速計(jì)算軟件中得到應(yīng)用。