史芳芳,葉國菊,劉 尉,趙大方

(1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

(2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

1 引言

21世紀(jì)以來,由于分?jǐn)?shù)階積分理論廣泛應(yīng)用于量子力學(xué)、高能物理、水動力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域,彰顯了其獨(dú)特優(yōu)勢和不可替代性,因此其理論和應(yīng)用深受國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注.2013年,Sarikaya M Z等人將Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分與Hermite-Hadamard不等式結(jié)合,建立一類分?jǐn)?shù)階積分形式的Hermite-Hadamard型不等式[4].隨后,國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家對分?jǐn)?shù)階積分形式的Hermite-Hadamard型不等式從不同凸性和不同定義的分?jǐn)?shù)階的角度進(jìn)行了推廣和改進(jìn)以及應(yīng)用了大量的工作[1,4?6].

另一方面,不確定性問題出現(xiàn)在許多確定性的數(shù)學(xué)或者計算模型中,因此區(qū)間分析作為一種新的解決不確定性問題的重要工具被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域,如計算物理學(xué)、誤差分析、機(jī)器人技術(shù)等.特別地,一些經(jīng)典的積分不等式被推廣到區(qū)間值函數(shù)的形式中,例如Hermite-Hadamard不等式[3]、Ostrowski不等式[7]等.2019年,Huseyin引入了區(qū)間值函數(shù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義,并且證明了一些區(qū)間值函數(shù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分形式的Hermite-Hadamard不等式,即

受此啟發(fā),本文引入了區(qū)間值函數(shù)整合分?jǐn)?shù)階積分的概念,討論了其若干重要性質(zhì).將文獻(xiàn)[1]中的Hermite-Hadamard型不等式推廣到區(qū)間值函數(shù)整合分?jǐn)?shù)階積分的形式中,同時也推廣了文獻(xiàn)[2,3]的相關(guān)結(jié)果.

2 預(yù)備知識

在文獻(xiàn)[8]中,Dinghas給出了區(qū)間值函數(shù)Riemann可積的定義.我們用IR([a,b])表示所有Riemann可積的區(qū)間值函數(shù)構(gòu)成的集合,用R([a,b])表示所有Riemann可積的實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合.

其中Γ是Gamma函數(shù).

在文獻(xiàn)[1]中,Ahmad推廣了Riemann-Liouville積分,引入了整合分?jǐn)?shù)階積分.為進(jìn)一步推廣,我們定義了區(qū)間整合分?jǐn)?shù)階積分.

在a和b的定義為：

注1當(dāng)α=n+1時,定義3即為定義2.

證由引理1和定義3即可證得.

證畢.

3 主要結(jié)果

其中α∈(n,n+1].

因此

即證得(3.1)式中的第一個不等式.

類似地,我們有

證畢.

注2若定理1中h(t)=t,則

注3若定理1中α=n+1,h(t)=t,則得到文獻(xiàn)[2]中的定理2.

注4若定理1中n=1,α=2,則得到文獻(xiàn)[3]中的定理4.1.

其中α∈(n,n+1].

且在[0,1]上關(guān)于t取積分,

令x=tb+(1?t)a,我們有

由引理2,有

即證得(3.4)式中的第一個不等式.類似地,

在(3.5)式兩邊同乘以tn(1?t)α?n?1ξ(tb+(1?t)a)并在[0,1]上關(guān)于t取積分,得

因此,.

證畢.

注6若定理2中h(t)=t,則

注8若定理1中α=n+1,h(t)=t,則得到文獻(xiàn)[10]中的定理3.3.

且

其中,

因此,

由定義3,我們有

將不等式(3.10)–(3.11)式代入到(3.9)式,即證得(3.6)式.

類似地,

證畢.

且

注9若定理1中α=n+1,則得到文獻(xiàn)[2]中的定理3和定理4.

注10若定理1中n=1,α=2,則得到文獻(xiàn)[3]中的定理4.5和定理4.6.

注11若定理3中h(t)=t,則

且