郜中星，徐睿東，張勇剛

（1.哈爾濱工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

半球諧振陀螺（hemispherical resonator gyro，HRG）是一種基于科氏效應(yīng)的固體波動(dòng)陀螺，在高精度、高可靠性和抗輻射等方面具有突出的優(yōu)勢(shì)[1]，可以滿足軍用領(lǐng)域和民用領(lǐng)域的多種傳感需求。半球諧振子（hemispherical shell resonator，HSR）作為半球諧振陀螺的核心元件，其各向異性的程度與工作在全角模式下的陀螺性能密切相關(guān)。半球諧振子周向的剛度分布不均勻，會(huì)導(dǎo)致駐波的波形綁定和頻率裂解現(xiàn)象，而周向的阻尼（或品質(zhì)因數(shù)）分布不均勻，會(huì)導(dǎo)致駐波方位角向阻尼較小的方向漂移并自鎖[1]。通常，用于表征半球諧振子的特征參數(shù)主要包括：剛度各向異性Δω，剛度失準(zhǔn)角，阻尼各向異性 Δ(1 /τ)，阻尼失準(zhǔn)角[2]。目前，可以通過離子束或激光調(diào)平等方法將剛度分布不均勻抑制到最小程度（可小于0.5 mHz），但殘余的頻率裂解仍會(huì)對(duì)陀螺的靈敏度等性能產(chǎn)生影響。而阻尼分布不均勻目前尚缺乏有效手段進(jìn)行處理，因此成為了制約全角半球諧振陀螺精度提升的關(guān)鍵因素[3,4]。綜上，對(duì)半球諧振子的四種特征參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)不僅可以為陀螺的性能評(píng)估提供參考，還可以為全角半球諧振陀螺漂移誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差的補(bǔ)償提供依據(jù)。

S.L.Li 等[5]提出了根據(jù)駐波進(jìn)動(dòng)效應(yīng)的周期來求解半球諧振子頻率裂解的方法，但求解的分辨率和有效性會(huì)受到半球諧振子品質(zhì)因數(shù)的制約。I.P.Prikhodko 等[6]研究了在全角半球諧振陀螺中由阻尼各向異性引起的角度漂移會(huì)隨著外界輸入轉(zhuǎn)速的增加而呈現(xiàn)線性減小的現(xiàn)象，并提出了通過高速虛擬旋轉(zhuǎn)來減小阻尼各向異性的影響。P.Taheri-Tehrani 等[7]提出了利用非理想諧振子振動(dòng)方程來求解阻尼各向異性Δ(1 /τ)的方法，但該方法需要將化簡(jiǎn)后的振動(dòng)方程與角度測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合來提取 Δ(1 /τ)，因而會(huì)引入較全文的結(jié)構(gòu)安排如下：首先，根據(jù)非理想半球諧振子在橢圓坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)全角半球諧振陀螺的工作原理和控制系統(tǒng)進(jìn)行了介紹；然后，根據(jù)非理想半球諧振子的正交誤差方程和駐波方位角誤差方程，構(gòu)建了基于LMS 算法的特征參數(shù)辨識(shí)模型；最后，基于Simulink 工具箱搭建了全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺(tái)，利用該平臺(tái)仿真驗(yàn)證了所提出辨識(shí)方法的有效性。

1 全角半球諧振陀螺的工作原理和控制系統(tǒng)

理想條件下，半球諧振子可以等效于進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。然而，真實(shí)系統(tǒng)中會(huì)存在由各向異性引起的剛度和阻尼耦合誤差項(xiàng)，因此對(duì)非理想的半球諧振子在直角坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行如下描述[9]：

式(1)中，x和為諧振子在x模態(tài)上的位移和驅(qū)動(dòng)力，y和為諧振子在y模態(tài)上的位移和驅(qū)動(dòng)力。Ω 為外界輸入的角速度，0.27γ≈為諧振子的進(jìn)動(dòng)因子，2n=為振型階數(shù)。大誤差。Z.X.Hu 等[8]提出了采用擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）來對(duì)半球諧振子特征參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法。該方法雖然具有較高的識(shí)別精度，但EKF 算法對(duì)樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性要求很高，因此需要半球諧振子具有很小的各向異性才能估計(jì)準(zhǔn)確。綜上，通過簡(jiǎn)單有效的方法快速估計(jì)出半球諧振子的特征參數(shù)，對(duì)于陀螺誤差的補(bǔ)償以及性能的提升將具有重要意義。

本文提出了一種基于最小均方（least mean square，LMS）算法的半球諧振子特征參數(shù)辨識(shí)方法。

圖1 二維諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Motion trajectory of the two-dimensional resonator

二維諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示[10]，在科氏力作用下半球諧振子的振型相對(duì)于安裝基座以γ-Ω 的角速度圍繞中心反向旋轉(zhuǎn)。根據(jù)圖1，x模態(tài)軸與y模態(tài)軸上的位移表達(dá)式為：

圖2 全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of HRG control system with whole-angle mode operation

全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。為了提高檢測(cè)信號(hào)的信噪比，模擬前端使用了跨阻放大、帶通濾波等方法對(duì)檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理。將處理后的檢測(cè)信號(hào)與DDS 產(chǎn)生的參考信號(hào)進(jìn)行乘法解調(diào)，經(jīng)過IIR 濾波后得到用于橢圓參數(shù)解算的四個(gè)有效信號(hào)分別為：cx、sx、cy、sy。再代入到參數(shù)解算方程(4)中分別得到半球諧振子的橢圓參數(shù)為：a、q、θ、δ[12]。

其中，通過對(duì)θ進(jìn)行旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)力與駐波方位角的對(duì)準(zhǔn)；通過對(duì)a進(jìn)行PID 幅值控制產(chǎn)生 _a PID信號(hào)來維持振幅穩(wěn)定；通過對(duì)q進(jìn)行PID 正交控制產(chǎn)生 _q PID信號(hào)來抑制正交誤差；通過對(duì)δ進(jìn)行PID 相位控制產(chǎn)生 _f PID信號(hào)來保證參考信號(hào)與檢測(cè)信號(hào)的相位差恒定。對(duì)以上四個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)通過調(diào)制產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)信號(hào)，最后將驅(qū)動(dòng)信號(hào)施加到驅(qū)動(dòng)端電極可以得到驅(qū)動(dòng)力信號(hào)Fx,Fy。以上各個(gè)環(huán)節(jié)共同構(gòu)成了全角半球諧振陀螺控制系統(tǒng)的一個(gè)完整信號(hào)環(huán)路。

2 基于LMS 算法的特征參數(shù)辨識(shí)模型建立

非理想半球諧振子在橢圓坐標(biāo)系下的正交誤差方程為式(5)所示。

對(duì)陀螺不施加正交控制，雖然此時(shí)q不為0，但正交信號(hào)仍遠(yuǎn)小于幅值信號(hào)即q a?，則式(5)可以簡(jiǎn)化為式(6)的形式。可以看出，式(6)僅含有半球諧振子特征參數(shù)中Δω和的信息，避免了參數(shù)辨識(shí)過程中與 Δ(1 /τ)和產(chǎn)生耦合。

將式(6)進(jìn)一步展開可以得到：

下面，基于LMS 算法構(gòu)建關(guān)于ωΔ 和的參數(shù)辨識(shí)模型，令：

則可以得到：

根據(jù)式(10)的估計(jì)結(jié)果，可以得到剛度各向異性ωΔ 和剛度失準(zhǔn)角的辨識(shí)結(jié)果分別為：

非理想半球諧振子在橢圓坐標(biāo)系下的駐波方位角誤差方程如式(12)所示。

對(duì)陀螺施加正交控制，此時(shí)q被抑制到0，則式(12)可以簡(jiǎn)化為式(13)的形式。可以看出，式(13)僅含有半

球諧振子特征參數(shù)中(1/)τΔ和的信息，避免了參數(shù)辨識(shí)過程中與ωΔ 和產(chǎn)生耦合。

將式(13)進(jìn)一步展開可以得到：

下面，基于LMS 算法構(gòu)建關(guān)于(1/)τΔ和的參數(shù)辨識(shí)模型，令：

則可以得到：

根據(jù)式(17)的估計(jì)結(jié)果，可以得到阻尼各向異性Δ(1/τ)和阻尼失準(zhǔn)角的辨識(shí)結(jié)果分別為：

式(5)-(18)給出了基于LMS 算法對(duì)半球諧振子進(jìn)行特征參數(shù)辨識(shí)的過程，通過優(yōu)化以及轉(zhuǎn)速激勵(lì)Ω 的選擇，可以進(jìn)一步提高辨識(shí)精度和辨識(shí)速度。

3 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提出的特征參數(shù)辨識(shí)方法的有效性，利用Simulink 工具箱搭建了全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺(tái)，如圖3所示。通過不同的參數(shù)設(shè)定，可以仿真分析半球諧振子的各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律。其中：非理想半球諧振子模塊包含了式(1)中需要辨識(shí)的四種特征參數(shù)；電容檢測(cè)模塊包含了C/V 轉(zhuǎn)換、帶通濾波與A/D 轉(zhuǎn)換；信號(hào)解調(diào)模塊包含了參考信號(hào)與檢測(cè)信號(hào)的乘法解調(diào)和數(shù)字低通濾波器；橢圓參數(shù)解算模塊用于半球諧振子橢圓參數(shù)a、q、θ、δ的解算；信號(hào)調(diào)制模塊包含了幅值控制、正交控制、相位控制以及旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換；最后，靜電驅(qū)動(dòng)模塊包含了D/A 轉(zhuǎn)換與高壓放大。

圖3 全角半球諧振陀螺仿真模型Fig.3 Simulation model of HRG with whole-angle mode operation

表1 列出了用于驗(yàn)證所提出辨識(shí)方法的轉(zhuǎn)速激勵(lì)條件和半球諧振子特征參數(shù)?？梢杂?jì)算得到對(duì)應(yīng)的Δω和 Δ(1/τ)分別為：。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Simulation parameters of HRG

通過圖3所示的Simulink 程序得到正交分量q的數(shù)據(jù)集和駐波方位角θ的數(shù)據(jù)集，同時(shí)利用所提出的基于LMS 算法的辨識(shí)模型，圖4 和圖5 分別給出了半球諧振子特征參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果。可以看出，半球諧振子的四個(gè)特征參數(shù)全部在8 s 以內(nèi)辨識(shí)出來，并且全部收斂于設(shè)定值，從而仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。通過優(yōu)化LMS 的算法步長(zhǎng)，可以實(shí)現(xiàn)更精確、更快速的辨識(shí)。

圖4 ωΔ 和的辨識(shí)結(jié)果Fig.4 Identification results of ωΔ and

圖5 和的辨識(shí)結(jié)果Fig.5 I dentification results of and

4 結(jié)論

本文根據(jù)非理想半球諧振子在橢圓坐標(biāo)系下的正交誤差方程和駐波方位角誤差方程，構(gòu)建了基于LMS算法的半球諧振子特征參數(shù)辨識(shí)模型。根據(jù)全角半球諧振陀螺工作原理，基于Simulink 搭建了全角半球陀螺控制系統(tǒng)的仿真平臺(tái)。仿真結(jié)果表明，所提出的辨識(shí)方法能在8s 內(nèi)辨識(shí)出半球諧振子的剛度各向異性、剛度失準(zhǔn)角、阻尼各向異性和阻尼失準(zhǔn)角，從而實(shí)現(xiàn)了快速且準(zhǔn)確的特征參數(shù)辨識(shí)。下一步的工作將會(huì)利用半球諧振陀螺實(shí)際采集的數(shù)據(jù)集對(duì)所提出的參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，同時(shí)研究特征參數(shù)的在線辨識(shí)方法，從而實(shí)現(xiàn)半球諧振陀螺輸出誤差的實(shí)時(shí)校準(zhǔn)與補(bǔ)償。