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2020 年全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)理科21 題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，將函數(shù)與不等式進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，打破了常規(guī)解答思路，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為易于處理的新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究.該題綜合考查了考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.考生普遍認(rèn)為此題雖然常規(guī)，但卻不容易完整地解答出來.

一、試題解析及學(xué)生存在的問題

【2020 年全國卷I，理科21 題】已知函數(shù)f(х)=ex+aх2-х.

（1）當(dāng)a=1 時(shí)，討論f（х）的單調(diào)性；（2）當(dāng)х≥0 時(shí)，f（х）≥1—2 х3+1，求a 的取值范圍.

第（1）問已知具體函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，難度不大，但要運(yùn)用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確進(jìn)行表達(dá).第（2）問乍看很簡單，方法也很多，但每一種方法都有難點(diǎn)需要突破.下面結(jié)合考生的作答情況對兩種思路進(jìn)行分析.

思路一：參變分離法

學(xué)生案例1

該考生采用參變分離的方法進(jìn)行解答，未能完整解出正確答案，主要存在以下兩方面問題：

1.在參變分離時(shí)，由于思維不嚴(yán)謹(jǐn)，未對х是否為0 進(jìn)行分類討論；

2．不能對g（х）的單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.

針對g（х）單調(diào)性的判斷，有的考生做出了如下解答：

學(xué)生案例2

該考生想通過多次求導(dǎo)來研究g（х）的單調(diào)性，他發(fā)現(xiàn)存在х′O使得h(х′O)=0，g（х）max=g(х′O)，但是由于不知道х′O的具體取值，所以他想用“虛設(shè)零點(diǎn)”的辦法，通過х′O滿足h(х′O)=eх′O（2-х′O）+ 1—2（х′O）3-х′O-2=0 將g(х′O)代出來，但由于計(jì)算復(fù)雜、冗長，未能得出結(jié)果.事實(shí)上，通過試根可知х′O=2，本題得解.

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)g(х′O) 的分子含有三次多項(xiàng)式時(shí)，就可以試根，不必經(jīng)過多次求導(dǎo).由（2-х）eх，

該考生想到近幾年來解決恒成立問題的一個(gè)“好”辦法—“端點(diǎn)效應(yīng)”，即h（O）=0，則要求h′（0）≥0，又h′（0）=0，則要求h′（0）=1+2a ≥0，由 此 得 到這 個(gè) 錯(cuò) 誤 的結(jié)果.實(shí)際上，只是本題的必要條件，而不是充分條件，更不是充要條件.將代回不等式中得到就會發(fā)現(xiàn)不等式并不是恒成立的，因?yàn)椐?1時(shí)不等式就不成立.這反映了學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)一直在模仿套路，邏輯思維并不是很清楚.

如果想直接分類討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里介紹一種方法—“指數(shù)好朋友”，遇到eх時(shí)試將eх放到分母上，即e-х是eх的“好朋友”.采用這個(gè)辦法解題需要有很強(qiáng)的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、直觀想象能力等，不如第一種解法思路簡單，所以，對題目合理有效的數(shù)學(xué)建模是解題的關(guān)鍵.

二、導(dǎo)數(shù)備考中需要注意的問題

1.規(guī)范使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá).在讀題、審題、作答的過程中，恰當(dāng)使用文字語言、圖形語言、符號語言進(jìn)行思維表達(dá)，并按需進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，這是正確解答數(shù)學(xué)題目的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維能力的基本功.

2.重視數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是其他能力實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ).建議高三學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，多反思運(yùn)算的合理性、邏輯性、選擇性、簡捷性，多積累關(guān)于導(dǎo)函數(shù)處理的運(yùn)算技巧，切實(shí)提高自己的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3.深切體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的工具性作用.對于一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，當(dāng)我們想知道它的幾何性質(zhì)時(shí)，就可以使用導(dǎo)數(shù).對函數(shù)性質(zhì)的研究，往往從函數(shù)的單調(diào)性開始.且導(dǎo)數(shù)的使用，有需即用，不論次數(shù).

4.突破常規(guī)套路，提高思維能力.解題過程中要多思考為何這樣做，這樣做的合理性、必要性是什么；多反思此類題目有哪些常規(guī)思維方法，這些思維方法有無相通之處.

以上思考、反思的過程，就是提高思維能力的過程.掌握方法，再輔以適當(dāng)?shù)念}目進(jìn)行訓(xùn)練，就能達(dá)到提高思維能力的效果.