姚曉童,李 林

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

成品率是半導體制造過程中一項重要的工藝性能指標，精準預測晶圓成品率對于改進生產(chǎn)工藝、減少晶圓制造損失具有重要意義。

目前成品率建模大多基于影響成品率的關(guān)鍵參數(shù)，如缺陷數(shù)量、大小、電性參數(shù)等。文獻[1]考慮缺陷概率密度分布建立了經(jīng)典的泊松成品率預測模型，由于模型結(jié)構(gòu)簡單，應用最為廣泛，但預測準確度較低。文獻[2]考慮缺陷分布存在過度分散性，對文獻[1]進行了改進，建立了廣義泊松分布模型預測晶圓成品率，提高了成品率的預測精度。文獻[3]基于缺陷類型、大小、位置等基本信息建立因果統(tǒng)計模型，進行成品率的預測，并提出了成品率優(yōu)化策略，但由于缺陷數(shù)據(jù)量龐大，模型求解困難。文獻[4 -5]考慮晶圓電性測試的關(guān)鍵參數(shù)，以最小化測試參數(shù)和預測誤差為目標，選取顯著特征向量，進而預測晶圓成品率，但電氣參數(shù)數(shù)據(jù)對象多，對象間關(guān)聯(lián)性強，導致模型預測準確度較低。文獻[6]基于成品率歷史數(shù)據(jù)提出一種混合聚合–熵–共識的模糊協(xié)同智能算法，首先得到成品率預測區(qū)間，然后用反向傳播網(wǎng)絡(luò)去模糊化得到成品率的預測值，具有較好的預測精度。影響晶圓成品率因素眾多，數(shù)據(jù)量大且關(guān)系復雜，但缺陷數(shù)據(jù)仍然是成品率建模最具影響力的因素[7]。

為提高預測精度以及確定晶圓缺陷來源，部分學者考慮晶圓缺陷的聚集性建立成品率預測模型。文獻[8]考慮晶圓缺陷的鄰近效應，利用缺陷模式建立成品率模型，具有較高的預測精度。文獻[9 -10]通過分析晶圓圖，識別缺陷模式，幫助管理者確定減少缺陷任務(wù)的優(yōu)先級以提高晶圓成品率。以上研究表明，考慮晶圓缺陷聚集特性，不僅可以快速查找缺陷來源，且模型預測精度高。但以上成品率模型均是在晶圓水平進行建模，僅考慮晶圓缺陷的一種模式。晶圓生產(chǎn)過程復雜，一片晶圓通常會存在多種缺陷模式，在晶圓水平進行建模在一定程度上降低了模型的預測準確度，難以獲得全面的缺陷損失來源。實際生產(chǎn)過程中，缺陷數(shù)據(jù)存在嵌套結(jié)構(gòu)[11]，即同組晶片缺陷模式具有相似性，現(xiàn)有文獻大多都沒有考慮缺陷數(shù)據(jù)嵌套結(jié)構(gòu)特性。

本文考慮缺陷聚集性和數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)，首先用基于噪聲的密度聚類（density-based spatial clustering of applications with noise，DBSCAN）算法識別缺陷模式，將缺陷計量數(shù)據(jù)按缺陷模式在晶片水平匯總，基于缺陷模式和缺陷數(shù)量建立多水平邏輯回歸（Hierarchical Logit，HL）晶片失效概率模型，研究引起晶片失效的主要缺陷模式、關(guān)鍵工序，進而完成成品率的預測。

1 問題描述

在半導體行業(yè)中，計算機輔助制造會產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)集，通常每個數(shù)據(jù)集不能直接用來預測成品率，需要對不同數(shù)據(jù)集進行有效整合，如何獲得可行數(shù)據(jù)是成品率建模復雜的原因之一。本文所用數(shù)據(jù)集為產(chǎn)線缺陷監(jiān)控系統(tǒng)數(shù)據(jù)和電氣參數(shù)測量數(shù)據(jù)。缺陷監(jiān)控系統(tǒng)有兩種：一種是以缺陷為單位的缺陷記錄數(shù)據(jù)庫，該系統(tǒng)主要記錄了缺陷的大小、缺陷的類型以及缺陷的位置等基本信息；另一種為缺陷分析工程師使用光學顯微鏡掃描晶圓得到晶圓圖（wafermap），分析晶圓圖可以識別不同的缺陷模式，例如線性缺陷、團狀缺陷等，幫助工程師定位缺陷來源。電氣參數(shù)測量數(shù)據(jù)指在晶圓加工完成后，對晶圓上每個晶片進行針測，以檢查晶片的性能，根據(jù)針測結(jié)果將晶片劃分為不同的bin值?？紤]晶圓缺陷聚集特性，本文用DBSCAN算法對晶圓缺陷進行聚類獲取晶片缺陷模式；將在線缺陷檢測系統(tǒng)中的缺陷在晶片水平進行匯總，即獲得每個晶片缺陷數(shù)量；根據(jù)晶圓針測數(shù)據(jù)集獲取每個晶片bin值，最后將晶片缺陷模式、晶片缺陷數(shù)量以及晶片bin值3個數(shù)據(jù)集進行整合，得到適用于成品率建模的數(shù)據(jù)集。

基于缺陷計量數(shù)據(jù)成品率建模通常會假設(shè)缺陷數(shù)據(jù)是獨立的，但在晶圓實際生產(chǎn)過程中，缺陷數(shù)據(jù)是呈嵌套結(jié)構(gòu)存在的，例如晶片嵌套在晶圓上，晶圓組合在批次中。因此，不同批次或者不同晶圓上的晶片并不是相互獨立的，晶圓嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)如圖1所示。圖中：ynijkt表示第t個產(chǎn)品、第k個批次、第j個晶圓、第i個組別的失效晶片；nj表示第j個晶圓失效晶片的數(shù)量；N表示失效晶片總數(shù)。在該結(jié)構(gòu)中，不同組的缺陷數(shù)據(jù)呈差異性，同組缺陷數(shù)據(jù)呈聚集性，HL模型可以解決嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)組間非獨立性與組內(nèi)聚集性[12]。為此，本文建立了HL成品率預測模型，該模型還可幫助企業(yè)識別顯著性批次、組別，以快速定位關(guān)鍵工序。

圖1 多層次晶圓結(jié)構(gòu)Fig.1 Multi-level wafer structure

2 晶圓缺陷模式識別

2.1 晶圓缺陷聚集特點及劃分依據(jù)

晶圓缺陷聚集性表現(xiàn)為具有明顯的簇、缺陷點集中和簇中點密度大。晶圓缺陷模式主要分為隨機缺陷、局部團狀缺陷、線性缺陷、邊緣環(huán)狀缺陷以及粒子缺陷。5種缺陷模式劃分[13]的主要依據(jù)如表1所示。

表1 5種缺陷模式主要特點及劃分依據(jù)Tab.1 Main characteristics and classification basis of 5 defect modes

基于噪聲的密度聚類算法可由密度可達關(guān)系找出最大密度相連的集合，不需要指定聚類個數(shù)，在有噪聲的情況下可識別出任意形狀的簇。

2.2 DBSCAN聚類算法

假設(shè)鄰域為ε，聚類密度閾值為 minPts，缺陷點集為T={oi},i=1,2,···,6，對缺陷點進行相關(guān)定義。

a.鄰域：缺陷點o1,o2∈T，如果點o2與o1的距離不大于ε，則o1的 領(lǐng)域可表示為Nε(o1)={o2∈T|d(o1,o2)≤ε}，d為缺陷點之間的距離。

b.核心對象：如果缺陷點o1的鄰域內(nèi)至少存在minPts個缺陷點，則o1是一個核心對象。

c.密度直達：如果缺陷點o2在 缺陷點o1的鄰域內(nèi)，且o1點 為核心對象，則稱o2由o1的密度直達。

d.密度可達：存在缺陷點序列o1，o2，o3，o4，o5，o6。在這個序列中，每一個缺陷點都與它前一個缺陷點密度直達，則稱o1與o6密度可達。

e.密度相連：如果缺陷點o1與缺陷點o6密度可達，缺陷點o2與缺陷點o6密度可達，則o1與o2密度相連。

f.簇：由所有密度可達的缺陷點導出的最大密度相連的點集合為一個簇。對于不屬于任何一個核心對象鄰域的缺陷點標示為噪音點。

通過實驗法調(diào)整鄰域 ε與密度閾值 minPts完成晶圓圖所有缺陷點聚類，形成分類簇。將分類簇根據(jù)表1劃分缺陷模式（將小于密度閾值的缺陷點劃分為粒子缺陷），獲得各個缺陷點分類。

3 Hierarchical Logit模型

邏輯回歸模型常用于晶圓成品率建模，但它的基本假設(shè)為數(shù)據(jù)是相互獨立的?？紤]晶圓缺陷數(shù)據(jù)嵌套結(jié)構(gòu)和聚集性，本文使用多水平邏輯回歸構(gòu)建晶圓成品率模型。多水平邏輯回歸是廣義混合線性模型的一種。

廣義混合線性模型主要由抽樣模型、結(jié)構(gòu)模型和連接函數(shù)3部分組成。抽樣模型是指反應變量服從某一指數(shù)族分布，本文晶圓成品率為二分類問題（晶片pass/fail），定義 φnijkt為第t個產(chǎn)品、第k個批次、第j個晶圓、第i個組別、第n個晶片的失效概率，yj代 表第j個晶圓上有mj個缺陷晶片的失效晶片數(shù)量，則yj服 從有mj次實驗、每次實驗成功概率為 φn的二項分布

采用Logit連接函數(shù)，即

式中，ηnijkt為晶片失效概率的對數(shù)發(fā)生比，ηnijkt=。 φnijkt取值范圍為(0,1)，當φnijkt>0.5時，晶片失效。

結(jié)構(gòu)模型是解釋變量與自然參數(shù)的線性表達式，與廣義線性模型不同的是，廣義混合線性模型的結(jié)構(gòu)模型包括隨機效應與固定效應兩部分。當不定義隨機效應時，廣義混合線性模型變?yōu)閺V義線性模型。通過晶片組合在晶圓上，晶圓嵌套在批次上，批次嵌套在產(chǎn)品層建立嵌套變量，假設(shè)不同層次不同組別的晶片是相互獨立的，同組內(nèi)晶片具有相似性。在批次層、晶圓層和組別層建立嵌套變量的隨機截距模型，在產(chǎn)品層引入晶片大小變量，構(gòu)建非隨機變化斜率與截距模型。

多層次晶圓晶片失效概率的對數(shù)發(fā)生比綜合線性模型為[12]

式中：wt表示晶圓特征尺寸；xnijkt表示晶片缺陷數(shù) 量；π00000為 截 距 項，πl(wèi)0000(l=1,2,3,4,5)表 示 第l個缺陷模式的自然參數(shù)；π00001表示產(chǎn)品大小的自然參數(shù)； πl(wèi)0001(l=1,2,3,4,5)表示產(chǎn)品層與個體層交互效應的自然參數(shù)；r0ijkt，e00jkt，u000kt分別表示失效概率對數(shù)發(fā)生比在批次層、晶圓層、組別層的隨機效應參數(shù)。

第j個晶圓成品率Yj可表示為

式中， E(φj)表示在第j個晶圓上晶片失效概率的期望值。

使用SAS 9.1軟件NLMIXED過程構(gòu)建模型。選用極大似然估計算法與對偶擬牛頓優(yōu)化算法進行模型求解，使用比值比（odds ratio）解釋特征向量對晶片失效概率的影響，如式（5）所示。比值比代表當晶片為第l個缺陷模式時，缺陷數(shù)量增加一個單位會影響晶片失效概率的增加值。選用Pearson卡方統(tǒng)計量與AIC信息準則指標評價模型擬合優(yōu)度[13]。

式中：QOR表示被檢驗的解釋變量的比值比；odds表示晶片失效發(fā)生概率與不失效概率之比。

4 仿真實驗及結(jié)果分析

本文缺陷數(shù)據(jù)樣本選自某晶圓廠實際生產(chǎn)線監(jiān)測系統(tǒng)，包含 3種不同工藝尺寸產(chǎn)品，15個批次，30個晶圓。3種不同工藝尺寸產(chǎn)品分別可劃分出2480，848，533個晶片。首先對30個晶圓圖進行密度聚類，共識別出4578個缺陷晶片。將產(chǎn)品1與產(chǎn)品2作為訓練集，產(chǎn)品3作為測試集。訓練集數(shù)據(jù)共包括3599個缺陷晶片，測試集數(shù)據(jù)共包含979個缺陷晶片。

4.1 晶圓缺陷模式識別

基于DBSCAN對每個晶圓圖進行聚類，根據(jù)實驗法確定鄰域ε，聚類密度閾值 minPts，部分晶圓缺陷晶片聚類結(jié)果如坐標圖圖2所示。

圖2 晶圓聚類結(jié)果Fig.2 Wafer clustering results

每張晶圓圖具有多種缺陷模式，結(jié)合表1可知：圖2（a）屬于環(huán)狀缺陷與隨機缺陷；圖2（b）屬于線性缺陷；圖2（c）屬于隨機缺陷和局部團狀缺陷。根據(jù)晶圓圖獲取每個缺陷晶片的坐標、缺陷模式、到中心的徑向距離，并根據(jù)徑向距離對晶片分組，分組界限為半徑的一半。

4.2 數(shù)據(jù)聚合及異常值檢測

本文將在線缺陷測量數(shù)據(jù)與晶片針測數(shù)據(jù)基于晶片缺陷模式進行整合，以獲取適用于缺陷建模的數(shù)據(jù)。部分缺陷原始數(shù)據(jù)如表2所示，加粗部分為位于同一晶片上的不同缺陷的數(shù)據(jù)。利用Excel數(shù)據(jù)透視表功能對其進行聚合，缺陷測試數(shù)據(jù)與晶片針測數(shù)據(jù)整合后的數(shù)據(jù)如表3所示。根據(jù)晶片聚類結(jié)果，對表3數(shù)據(jù)進行整合，整合后的數(shù)據(jù)為HL模型的輸入數(shù)據(jù)，如表4所示。

為了提高預測精度，對數(shù)據(jù)進行分析與預處理，將異常值在數(shù)據(jù)中剔除。對訓練數(shù)據(jù)集進行統(tǒng)計分析，每個晶片中存在缺陷均值為2.8，中位數(shù)為1，分位數(shù)為1，分位數(shù)為2，最小值為1，最大值為144?？梢?，在訓練數(shù)據(jù)集中存在大量異常值。為消除異常值對模型的影響，采用one-side trimmed均值異常值檢測方法剔除異常值。該方法統(tǒng)一了數(shù)據(jù)集中的均值與中值，其效率優(yōu)于中值法異常值檢測[14]。本文設(shè)置p值為5%，根據(jù)統(tǒng)計分析結(jié)果，95%的晶片缺陷數(shù)在5以內(nèi)，所以將晶片缺陷數(shù)大于5的晶片樣本在訓練集中刪除。為驗證模型方法的有效性對測試集數(shù)據(jù)不作處理。

表2 缺陷原始數(shù)據(jù)Tab.2 Defect raw data

4.3 回歸結(jié)果分析

4.3.1 Logit回歸

表3 聚合后數(shù)據(jù)Tab.3 Aggregated data

為了探討該數(shù)據(jù)集是否需要使用多水平Logit回歸，首先對訓練集數(shù)據(jù)作一般Logit回歸分析。模型輸入?yún)?shù)為產(chǎn)品編號、批次編號、晶圓編號、組別、晶圓特征尺寸以及缺陷模式，其中晶圓特征尺寸為標準化后的數(shù)值。實驗結(jié)果表明，模型擬合優(yōu)度檢驗Pearson卡方p值為0.009，但預測準確率達90.83%，表明模型沒有充分利用樣本數(shù)據(jù)，模型擬合優(yōu)度表現(xiàn)不優(yōu)，AIC指標值為2423.61。Logit模型顯示晶圓1、晶圓2、組別3、組別7、組別9、組別15、組別19、組別23、隨機缺陷模式、團狀缺陷模式、線性缺陷模式、環(huán)狀缺陷模式以及粒子缺陷模式因子具有顯著性（p<0.1）。

表4 模型分析數(shù)據(jù)Tab.4 Model analysis data

4.3.2 Nested Logit回歸

考慮缺陷數(shù)據(jù)嵌套結(jié)構(gòu)，在Logit回歸模型中加入嵌套變量，Nested Logit模型輸入?yún)?shù)為產(chǎn)品編號（批次編號）、批次編號（晶圓編號）、晶圓編號（組別）、晶圓特征尺寸以及缺陷模式，輸入數(shù)據(jù)集為剔除異常值后的訓練集。與Logit模型相比，Nested Logit模型給出了更加精確的信息，不僅識別出重要的批次、晶圓信息，同時給出產(chǎn)品1的批次1與其他批次有顯著差異，批次1中的晶圓1、晶圓2有顯著差異。對于同一片晶圓，不同組別晶片失效概率差異較大，這些信息可以幫助企業(yè)工程師找出潛在的質(zhì)量偏差，進而在制造過程中進行故障排除。在顯著性水平 α=0.1下，Nested Logit回歸模型識別出產(chǎn)品1（批次1）、批次1（晶圓1）、批次1（晶圓2）、晶圓1（組別2）、隨機缺陷、團狀缺陷、線性缺陷、環(huán)狀缺陷以及粒子缺陷解釋變量具有顯著性。Nested Logit回歸模型的Pearson卡方p值為0.128，表明Nested Logit 模型對數(shù)據(jù)擬合較優(yōu)，AIC指標值為1902.191。該模型AIC指標值小于Logit 回歸模型的AIC指標值，p值更加顯著，表明Nested Logit回歸模型優(yōu)于一般Logit回歸模型。

根據(jù)Nested Logit回歸模型顯著性因子構(gòu)建晶片失效概率模型，由于產(chǎn)品編號、批次編號、晶圓編號、組別等變量對于每個數(shù)據(jù)樣本都是不同的，因此利用隨機缺陷、團狀缺陷、線性缺陷、環(huán)狀缺陷以及粒子缺陷因子構(gòu)造晶片失效概率模型為

式中，ηn=?4.4321+1.4199xn+1.4203xn+1.377xn+1.1566xn+0.8149xn。

4.3.3 Hierarchical Logit回歸

Nested Logit回歸模型的基本假設(shè)為同組內(nèi)的晶片是相互獨立的，但在晶圓生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生的系統(tǒng)缺陷通常是集群存在的，且Nested Logit回歸模型沒有考慮產(chǎn)品層與個體層的交互效應，在實現(xiàn)多產(chǎn)品的混合預測方面有待進一步考察。

本文所構(gòu)建的HL回歸模型的固定效應參數(shù)包括晶圓特征尺寸、缺陷模式、晶圓特征尺寸與缺陷模式交互變量，隨機截距模型參數(shù)為產(chǎn)品編號（批次編號）、批次編號（晶圓編號）、晶圓編號（組別）。結(jié)果顯示：隨機效應參數(shù)中晶圓編號（組別）和產(chǎn)品編號（批次編號）具有顯著性，協(xié)方差估計分別為（0.2584，0.1053），表明缺陷模式斜率受產(chǎn)品層和組別層（晶片失效概率組均數(shù)）影響較大；但批次編號（晶圓編號）不具有顯著性，表明在批次層和晶圓層晶片失效概率組間差異不大。在顯著性水平 α=0.1下，HL模型識別出產(chǎn)品1（批次1）、晶圓1（組別2）、晶圓2（組別2）、隨機缺陷、團狀缺陷、線性缺陷、環(huán)狀缺陷以及粒子缺陷、晶圓特征尺寸、晶圓特征尺寸以及隨機缺陷、晶圓特征尺寸以及團狀缺陷、晶圓特征尺寸以及線性缺陷、晶圓特征尺寸以及環(huán)狀缺陷解釋變量具有顯著性(p<0.1)。 Pearson卡方p值為0.79，模型的擬合優(yōu)度提高，在顯著性0.05下，該模型基于缺陷數(shù)據(jù)擬合晶片失效概率是合適的。AIC指標值為1692.5，小于Logit 回歸模型AIC指標值與Nested Logit回歸模型AIC指標值，因此，HL回歸模型擬合更優(yōu)。

在顯著性水平 α =0.1下，使用固定效應參數(shù)因子構(gòu)建晶片失效概率，模型為

式中，ηnt=?4.4155+0.553wt+1.5424xn?0.2498wt·xn+1.3376xn?0.2159wtxn+1.3267xn?0.2433wtxn+1.138xn?0.1694wtxn+0.6889xn。

4.4 成品率預測及分析

根據(jù)模型（6）與模型（7）預測測試集晶片失效概率，通過式（4）計算每個晶圓成品率。HL回歸模型、Nested Logit回歸模型與Seed’s模型對測試集中每一個晶圓的缺陷晶片pass數(shù)預測值，如圖3所示。圖4展示了HL回歸模型、Nested Logit回歸模型與傳統(tǒng)成品率預測模型Seed’s模型[1]對測試集中每個晶圓成品率的預測情況。

圖3 晶圓預測通過數(shù)Fig.3 Number of wafers predicted to pass

圖4 測試集晶圓成品率預測值Fig. 4 Predicted yield of the test set

由圖3和圖4可以看出Seed’s模型成品率預測值低于成品率實際值，而低估成品率會增加廠商缺陷分析成本。Nested Logit回歸模型的成品率預測值比真實值高，預測偏差比Seed’s模型低，預測準確率較高。因此，考慮晶圓生產(chǎn)過程的嵌

套結(jié)構(gòu)可以提高成品率預測精度，同時可輔助工程師決策，但未考慮產(chǎn)品層與個體層的交互效應和缺陷數(shù)據(jù)的組內(nèi)聚集性，可適用于單一產(chǎn)品的預測。本文提出的HL模型成品率預測值與實際值最為接近，預測偏差遠小于Seed’s模型，比Nested Logit回歸模型預測更加精確，可適用于不同產(chǎn)品成品率預測，具有更高的預測能力與可行性。

根據(jù)HL模型實驗結(jié)果得出，缺陷分析工程師應重點關(guān)注產(chǎn)品1的批次1。分析產(chǎn)品1批次1，晶圓缺陷模式多為團狀缺陷且晶片缺陷數(shù)量多，團狀缺陷主要發(fā)生在刻蝕工藝和光刻工藝，可檢查各工藝步驟，通過實驗排除法確定缺陷來源。根據(jù)缺陷模式比值比，團狀缺陷模式對晶圓受缺陷限制的成品率影響最大，晶片缺陷數(shù)量每增加一單位，缺陷失效概率增加4.27，其次為線性缺陷模式、環(huán)狀缺陷模式與粒子缺陷模式。晶圓特征尺寸與受缺陷限制的成品率呈負相關(guān)，即晶圓特征尺寸越小，對缺陷控制要求越高。

5 結(jié) 論

基于缺陷計量數(shù)據(jù)構(gòu)建晶片失效概率模型，進而預測成品率。首先采用基于噪聲的密度聚類算法對缺陷點聚類，獲得缺陷模式；考慮缺陷聚集性與缺陷數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)，構(gòu)建HL模型預測晶片失效概率。該模型考慮了晶片水平更加具體的信息，違背了更少的Logit回歸模型的假設(shè)，具有更高的預測精度。同時考慮了產(chǎn)品層與個體層的交互效應，可適用于不同產(chǎn)品的混合預測。

下一階段研究可以考慮更多的影響因素提高模型的預測能力，如缺陷大小、缺陷類型等，并針對各缺陷模式對成品率影響進行更深入的研究，提出指導半導體生產(chǎn)線加工與調(diào)度決策的可行性策略，提高芯片質(zhì)量，降低芯片成本。