薛 米 安， 羅 鉚 鈞， 苑 曉 麗

( 1.河海大學(xué) 海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點實驗室， 江蘇 南京 210024；2.河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院， 江蘇 南京 210024；3.河海大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 南京 211100 )

0 引 言

分層液體晃蕩是指兩種或兩種以上互不相溶的流體在容器內(nèi)的受迫運動，其特點是同時存在自由表面和密度界面．單層液體晃蕩的研究已被廣泛報道，Abramson[1]采用線性勢流理論研究了柱形和球形容器內(nèi)的液體晃蕩，特別是液體動壓對液艙內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響．Faltisen等[2]在Sloshing一書中對液體晃蕩動力學(xué)做出了系統(tǒng)深入的研究．事實上，分層液體晃蕩也是一種常見的現(xiàn)象[1]，如海洋平臺上的油水分離器等．對密度分層晃蕩的探索主要有理論研究[1-4]、數(shù)值研究[5-6]和實驗研究[7]．沈國光等[8]、梁啟智等[9]分別給出了兩層不同密度液體在矩形及圓柱形容器內(nèi)的解析解．劉東喜等[10]基于CLSVOF方法數(shù)值研究了兩層液體晃蕩，表明CLSVOF方法能夠準(zhǔn)確預(yù)測自由表面和油水界面隨時間的變化．Xue等[11]基于改進(jìn)流體體積法模擬了具有自由液面的油-水二維分層液體晃蕩并進(jìn)行了實驗驗證．Molin等[12]通過實驗和數(shù)值模擬研究了含自由液面的三層流體晃蕩，發(fā)現(xiàn)在簡諧激勵下運動幅度增加時由于界面處非線性相互作用的影響，響應(yīng)幅度算子RAO的峰值趨向更高或更低頻率的方向移動．

傅里葉變換[11，13]是一種在時域或頻域內(nèi)分析數(shù)據(jù)的全局變換方法，但是它不能同時分析兩個域中的數(shù)據(jù)．小波變換是繼承和發(fā)展了短時傅里葉變換的局部化思想，能夠分析時變信號的局部特征．對液體晃蕩過程中各物理量的變化進(jìn)行小波變換能夠分析晃蕩系統(tǒng)能量的頻率分布．Jiang等[14]對彈性液艙晃蕩特性試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了Morlet小波變換，表明晃蕩能量主要集中在外激勵頻率附近，并在劇烈條件下擴展到高頻，建議工程師要關(guān)注晃蕩的一階固有頻率和脈沖峰值壓力可能導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)損壞．Morlet小波變換作為新的分析工具，受到眾多學(xué)者關(guān)注，例如，Ma等[15-16]利用Morlet小波變換分離二維入射波和反射波．

非線性是波浪的重要特征，可以表征波浪能量在不同頻率之間的傳遞[17]．非線性波-波相互作用的特征在于二次相位耦合，而小波二階相關(guān)譜是分析波的二次非線性相互作用的強有力的工具，它可以提供相位耦合的相對程度[18]．Dong等[19]利用小波二階相關(guān)譜研究了不規(guī)則波浪在曲線形潛堤上傳播時的非線性特性，并與傅里葉二階相關(guān)譜對比發(fā)現(xiàn)小波二階相關(guān)譜具有更大的有效自由度，可以用來檢測短時間序列的二次相位耦合．由于小波二階相關(guān)譜可以提供相位耦合的時間函數(shù)，可利用其研究物理量的頻率分布隨時間變化的規(guī)律．

本文首先介紹液體晃蕩試驗裝置、分層液體晃蕩色散方程、Morlet小波和小波二階相關(guān)譜方法．其次討論基于快速傅里葉變換和Morlet小波變換的試驗數(shù)據(jù)結(jié)果以及小波二階相關(guān)譜在非線性特征分析中的應(yīng)用．最后利用分層液體晃蕩界面內(nèi)波和晃蕩壓力數(shù)據(jù)分析分層液體晃蕩非線性相互作用．

1 液體晃蕩試驗裝置

1.1 振動臺

本試驗是在河海大學(xué)振動測試與液艙晃蕩實驗室的六自由度液艙晃蕩試驗平臺上開展的．試驗中，壓力傳感器、波高儀、攝像機分別被用于測量液體在晃蕩過程中的沖擊壓強、界面波波高和液體運動圖像隨時間變化的規(guī)律．液艙固定在液體晃蕩整體水動力測量儀面板上，測量儀面板通過力傳感器與振動臺相連，液艙與振動臺無相對位移，固定在面板上的力傳感器可以測量運動的流體對液艙內(nèi)壁的水動力．

該試驗裝置可用于水平激勵下的液體晃蕩特性研究，通過計算機控制軟件對振動臺輸入以下運動信息：

x=Asinωt

(1)

式中：運動振幅A=10 mm．

1.2 液艙模型及測量儀器布置

試驗中液艙的長度L=0.51 m，寬度W=0.15 m，高度H=0.47 m．液艙由透明有機玻璃板制作而成，厚度為6 mm，可假定為剛性材料．2只浪高儀分別布置在距離矩形液艙左右壁面18 mm 位置處并固定在液艙上，6只壓力傳感器P1、P2、P3、P4、P5、P6依次安裝在液艙左壁離艙底11.0、30.5、52.0、70.2、90.2、105.0 mm處．試驗液體采用自來水和0#柴油．

1.3 試驗工況

如圖1所示，考慮一個二維矩形液艙，在x向長度為a，其內(nèi)部置入密度和深度分別為ρ1、ρ2和h1、h2的兩層互不相溶流體．在理想流體和微幅波理論假定下，根據(jù)速度勢描述的方程推導(dǎo)出固有頻率ωn與幾何尺度及密度之間的色散關(guān)系為[8]

(2)

式中

γn=2(1+R12thn1·thn2)

圖1 二維矩形液艙分層液體晃蕩示意圖

研究中液體總深度為0.12 m，液體深度比為1.0(兩種液體的深度均為0.06 m)，則由式(2)計算出一階固有頻率為0.97 Hz，試驗中每次液艙運動時長約為100 s．考慮到外激勵頻率接近分層液體固有頻率時，會發(fā)生強非線性相互作用，因此選取外激勵頻率為0.93f0、1.00f0、1.07f0，其中f0為該分層液體系統(tǒng)的固有頻率0.97 Hz．同時為了研究分層液體晃蕩非線性相互作用較弱的情況，選取外激勵頻率為遠(yuǎn)離分層液體系統(tǒng)固有頻率的低頻0.70 Hz和高頻1.40 Hz．

2 Morlet小波變換

2.1 小波能譜

小波變換繼承和發(fā)展了短時傅里葉變換的局部化思想，能夠分析時變信號的局部特征[20]，也可以呈現(xiàn)物理量的時間-頻率分布．對液體晃蕩過程中各物理量的變化進(jìn)行小波變換能夠分析晃蕩系統(tǒng)能量的頻率分布．基于小波變換的結(jié)果WT(s，t)定義小波能譜[18]：

(3)

式中：s為尺度，t為時間．

2.2 Morlet小波

Morlet小波在時域和頻域都有很好的局部性[21]，并且被廣泛應(yīng)用于小波變換的母函數(shù)，其公式為[18]

(4)

式中：ω0是中心角頻率．

2.3 小波二階相關(guān)譜

量綱一化的小波二階相關(guān)譜的定義為[22]

(5)

式中：下標(biāo)w為小波變換的結(jié)果；T為分析信號的時長；fi為頻率，若滿足f1±f2=f3，則bw為一個大于0的數(shù)．bw的值介于0～1，bw等于0說明3個頻率的組成波之間沒有相互作用，bw等于1說明3個頻率的組成波之間完全相關(guān)[14]．因此，可以通過bw來判斷組成波之間非線性相互作用強度的強弱．

3 結(jié)果與討論

3.1 界面波波高的小波分析

選取5個工況中左側(cè)波高儀的數(shù)據(jù)，界面波波高隨時間變化曲線如圖2所示．分層液體剛開始晃蕩時，外激勵頻率從0突增到工況頻率，系統(tǒng)快速獲得能量，界面波波形增大且不對稱．波形的變化主要是由界面波各頻率成分的非線性相互作用產(chǎn)生的高次諧波所致．因此，可以從界面波形圖中看到運動初始時系統(tǒng)非線性相互作用較強．

(a) f=0.70 Hz

(b) f=0.90 Hz

(c) f=0.97 Hz

(d) f=1.03 Hz

(e) f=1.40 Hz

分布于不同頻率的界面波能量可以很清楚地從快速傅里葉變換中觀察到，如圖3所示．當(dāng)外激勵頻率等于固有頻率時，界面波所獲得的能量最大，并且由非線性相互作用產(chǎn)生頻率為1.94 Hz的界面波．當(dāng)外激勵頻率接近固有頻率時，界面波獲得的能量相較于共振情況減小，但非線性相互作用較強．當(dāng)外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率時，系統(tǒng)獲得的能量較少，且非線性相互作用也較弱，能量譜中能量的轉(zhuǎn)移是由于組成波之間的非線性相互作用所致，如在低頻工況下，頻率為0.70 Hz(外激勵頻率)的界面波和頻率為0.97 Hz(固有頻率)的界面波發(fā)生非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為1.67 Hz的界面波；在高頻工況下，頻率為1.40 Hz(外激勵頻率)的界面波和頻率為0.96 Hz(固有頻率)的界面波發(fā)生非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.36 Hz的界面波，但獲得的能量低于頻率等于外激勵頻率的界面波自身之間發(fā)生非線性相互作用產(chǎn)生頻率為2.80 Hz的界面波所獲得的能量．

雖然可以從快速傅里葉變換中了解到主要頻率成分的界面波參與了非線性相互作用，但是它們在時間序列中哪個時間段發(fā)生是未知的．因此基于Morlet小波變換研究了其時頻特性和統(tǒng)計分布，如圖3所示．當(dāng)外激勵頻率為理論固有頻率時(圖3(c))，在時間段0～2.7 s，界面波的頻率主要為外激勵頻率，在2.7 s之后，由非線性相互作用產(chǎn)生頻率為1.94 Hz的界面波，并且隨著時間的推移，頻率為1.94 Hz的界面波所獲得的能量越來越多．當(dāng)外激勵頻率為0.90 Hz接近固有頻率時(圖3(b))，在時間段0～10.0 s發(fā)生的非線性相互作用強于其他時間段，并且從界面波波高隨時間變化曲線(圖2(b))中可以看到包絡(luò)現(xiàn)象，而每個包絡(luò)周期結(jié)束時，是非線性相互作用最弱的時間段．當(dāng)外激勵頻率為1.03 Hz接近固有頻率時(圖3(d))，可以看到在整個運動時間段內(nèi)均發(fā)生了非線性相互作用．當(dāng)外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率時(圖3(a)和圖3(e))，界面波之間在運動初始時間段發(fā)生較強非線性相互作用，但隨著運動時間的推移，非線性相互作用逐漸減弱至一定程度并持續(xù)至運動結(jié)束．此外，通過Morlet小波變換還可以了解到界面波形成的最大波高發(fā)生在強非線性相互作用的時間段內(nèi)，如外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率(圖3(a)和圖3(e))時，界面波在運動初始時間段內(nèi)發(fā)生強非線性相互作用，此時產(chǎn)生的界面波波高值最大(圖2(a)和圖2(e))；外激勵頻率為理論固有頻率(圖3(c))時，界面波隨著運動時間的不斷推移，其非線性相互作用也逐漸增強，此時界面波波高的最大值產(chǎn)生在非線性相互作用最強的時間段內(nèi)(圖2(c))．

(a) f=0.70 Hz

(b) f=0.90 Hz

(c) f=0.97 Hz

(e) f=1.40 Hz

3.2 晃蕩壓力的小波分析

通過快速傅里葉變換和Morlet小波變換對界面波的比較分析，可以更深入地了解響應(yīng)系統(tǒng)與外激勵之間的聯(lián)系，因此采用同樣的方法對分層液體晃蕩壓力進(jìn)行分析，壓力隨時間變化如圖4所示．圖4(a)～4(c)分別為外激勵頻率0.70、0.97和1.40 Hz，P1測點；圖4(d)～4(f)分別為外激勵頻率0.70、0.97和1.40 Hz，P6測點．由圖4可知，當(dāng)外激勵頻率等于理論固有頻率時產(chǎn)生的晃蕩壓力大于當(dāng)外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率時產(chǎn)生的壓力．

(a) P1測點，f=0.70 Hz

(b) P1測點，f=0.97 Hz

(c) P1測點，f=1.40 Hz

(d) P6測點，f=0.70 Hz

(e) P6測點，f=0.97 Hz

(f) P6測點，f=1.40 Hz

圖5顯示了晃蕩壓力時間序列的快速傅里葉變換和Morlet小波變換．在晃蕩壓力的快速傅里葉變換中，當(dāng)外激勵頻率為0.70 Hz時，P6測點各個壓力頻率成分的振幅值均大于P1測點各個壓力頻率成分的振幅值，值得注意的是P6測點位于自由表面波和界面波之間，P1測點位于界面波之下且接近液艙底部，這說明自由表面波和界面波在P6測點處產(chǎn)生更大的壓力；當(dāng)外激勵頻率為0.97 Hz(理論固有頻率)時，發(fā)現(xiàn)壓力頻率成分為3倍外激勵頻率的振幅值大于壓力頻率成分為2倍外激勵頻率的振幅值，相同的，P6測點各個壓力頻率成分的振幅值均大于P1測點各個壓力頻率成分的振幅值，且P6測點壓力頻率成分中4倍外激勵頻率的壓力振幅值大于壓力頻率成分為2倍外激勵頻率的壓力振幅值；當(dāng)外激勵頻率為1.40 Hz 時，P1測點壓力頻率成分中含有外激勵頻率的倍頻，而P6測點中含有一階固有頻率和外激勵頻率耦合成的頻率，這表明作用在液艙壁面上的壓力特征是不同的．

(a) P1測點，f=0.70 Hz

(b) P1測點，f=0.97 Hz

(c) P1測點，f=1.40 Hz

(d) P6測點，f=0.70 Hz

(e) P6測點，f=0.97 Hz

(f) P6測點，f=1.40 Hz

Morlet小波變換給出了晃蕩壓力頻率分布隨時間的變化．當(dāng)外激勵頻率為0.70 Hz時，與界面波序列相對應(yīng)，在運動初始時間段有著較強的非線性相互作用，使得晃蕩壓力中含有1.67 Hz頻率成分，當(dāng)運動達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，非線性相互作用減弱；當(dāng)外激勵頻率為0.97 Hz(理論固有頻率)時，可以看到分層液體晃蕩在全時間段內(nèi)發(fā)生強非線性相互作用，大量能量傳遞至頻率成分等于3倍外激勵頻率的界面波，同時，P6測點壓力非線性相互作用也強于P1測點壓力非線性相互作用；當(dāng)外激勵頻率為1.40 Hz時，在運動初始時間段有著較強的非線性相互作用，之后的時間段內(nèi)非線性相互作用較弱．綜上可知通過Morlet小波變換，可以揭示最大壓力發(fā)生在非線性相互作用最強的時間段內(nèi)．

3.3 基于小波二階相關(guān)譜的非線性相互作用程度分析

快速傅里葉變換可以給出時間全局上的物理量頻率分布，Morlet小波變換可以給出隨時間變化的物理量頻率分布，但是由于非線性相互作用，這兩種分析方法并不能具體描述不同或相同頻率成分之間的非線性相互作用程度．通過小波二階相關(guān)譜可以看出界面波序列的二階耦合相關(guān)程度的大小，可用于研究分層液體晃蕩界面波之間的二階非線性相互作用．

圖6所示的是5個工況下界面波(圖2)的小波二階相關(guān)譜．小波二階相關(guān)譜的橫縱坐標(biāo)均為頻率，由2.3可知，bw的值介于0～1，bw等于0說明3個頻率的組成波之間沒有相互作用，bw等于1說明3個頻率的組成波之間完全相關(guān)[14]．小波二階相關(guān)譜顯示當(dāng)外激勵頻率為0.70 Hz時(圖6(a))，有頻率為0.70 Hz和0.97 Hz的界面波通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為1.67 Hz的界面波，有頻率為0.70 Hz和1.67 Hz的界面波通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.37 Hz的界面波；當(dāng)外激勵頻率為0.90 Hz時(圖6(b))，有頻率為0.90 Hz的界面波之間通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為1.80 Hz的界面波，有頻率為0.90 Hz和1.80 Hz的界面波通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.70 Hz的界面波；當(dāng)外激勵頻率為0.97 Hz時(圖6(c))，有頻率為0.97 Hz之間的界面波通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為1.94 Hz的界面波；當(dāng)外激勵頻率為1.03 Hz時(圖6(d))，有頻率為1.03 Hz的界面波之間通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.06 Hz的界面波；當(dāng)外激勵頻率為1.40 Hz時(圖6(e))，有頻率為0.96 Hz和1.40 Hz的界面波通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.36 Hz的界面波，有頻率為1.40 Hz的界面波之間通過非線性相互作用產(chǎn)生了頻率為2.80 Hz的界面波．

同時，從圖6中觀察到非線性相互作用程度最強的為外激勵頻率接近理論固有頻率(圖6(b)、(c)和(d))，其程度在小波二階相關(guān)譜中接近1．小波二階相關(guān)譜越接近1，說明非線性相互作用程度越強．不同或相同頻率的界面波之間發(fā)生非線性相互作用產(chǎn)生疊加頻率的界面波，且所產(chǎn)生的界面波能量來源是發(fā)生非線性相互作用的界面波．

(a) f=0.70 Hz

(b) f=0.90 Hz

(c) f=0.97 Hz

(d) f=1.03 Hz

(e) f=1.40 Hz

4 結(jié) 論

(1)快速傅里葉變換可以給出時間全局上的物理量頻率分布，通過快速傅里葉變換對分層液體晃蕩界面波和晃蕩壓力進(jìn)行了分析，結(jié)果表明頻率成分等于外激勵頻率所獲得的能量最大，并且當(dāng)外激勵頻率從高頻或低頻趨近于固有頻率時，界面波波高和晃蕩壓力都逐漸增大，非線性相互作用程度增強．

(2)Morlet小波變換可以給出隨時間變化的物理量頻率分布，通過Morlet小波變換對分層液體晃蕩界面波和晃蕩壓力進(jìn)行了分析．結(jié)果表明界面波最大波高和最大晃蕩壓力發(fā)生在強非線性相互作用的時間段內(nèi)，當(dāng)外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率時，只在分層液體晃蕩初始時間段內(nèi)發(fā)生較強的非線性相互作用；當(dāng)外激勵頻率等于理論固有頻率時，非線性相互作用程度隨著時間推移越來越強．從Morlet小波變換結(jié)果可知液體晃蕩吸收的能量主要集中在外激勵頻率附近．

(3)小波二階相關(guān)譜可以解釋Morlet小波變換中出現(xiàn)的頻率變化．非線性相互作用程度最強的工況為外激勵頻率等于理論固有頻率，其程度在小波二階相關(guān)譜中接近1．小波二階相關(guān)譜越接近1，說明非線性相互作用程度越強．當(dāng)外激勵頻率遠(yuǎn)離理論固有頻率時，界面波頻率成分之間也有相當(dāng)程度的非線性相互作用(bw>0.5)．