謝 瑤,張 磊,梁世雷,趙仲航

(河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,江蘇 常州 213022)

0 引 言

薄壁結(jié)構(gòu)以其較高的質(zhì)量-剛度比,廣泛應(yīng)用于工程機(jī)械的承重結(jié)構(gòu)[1-4]。高跨比較大的薄壁結(jié)構(gòu)在承受外力時(shí)容易產(chǎn)生截面變形,直接影響到工程設(shè)備的工作性能,傳統(tǒng)的Timoshenko梁等理論忽略了截面翹曲和畸變等高階形變[5-7],難以為薄壁結(jié)構(gòu)提供一組合理有效的截面變形模式,因此研究薄壁結(jié)構(gòu)的截面特征形變識(shí)別具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于薄壁結(jié)構(gòu)截面變形模式的研究主要包括兩個(gè)方面:在傳統(tǒng)梁理論基礎(chǔ)上考慮特殊行為的變形模式來(lái)改善梁模型,和基于廣義梁理論通過特征值解耦微分方程來(lái)識(shí)別變形模式。YOON K等[8]為不同薄壁結(jié)構(gòu)建立了翹曲函數(shù),并在經(jīng)典變形基礎(chǔ)上添加代表翹曲行為的變形模式。CAPDEVIELLE S等[9]推導(dǎo)了任意形狀復(fù)合材料截面變形中扭轉(zhuǎn)翹曲的公式,考慮翹曲模式對(duì)于構(gòu)件整體行為的影響。王曉峰等[10，11]研究了橫向剪切變形以及橫向剪力所產(chǎn)生的翹曲對(duì)于薄壁梁振動(dòng)特性的影響。段海軍[12]對(duì)薄壁曲梁動(dòng)力學(xué)建模時(shí)考慮了彎扭耦合和扭轉(zhuǎn)翹曲的影響,建立了開口截面薄壁曲梁非線性自由振動(dòng)的有限元模型。隨著廣義梁理論的快速發(fā)展,VIEIRA R F等[13]提出了一個(gè)解耦梁動(dòng)力學(xué)方程的準(zhǔn)則,以導(dǎo)出一組表示高階形變的變形模式。PERES N等[14]將廣義梁理論擴(kuò)展到自然彎曲的薄壁梁領(lǐng)域,并導(dǎo)出圓軸彎曲構(gòu)件包括開放和閉合的截面變形模式。BEBIANO R等[15]通過擴(kuò)展廣義梁理論公式,分析了具有不同截面幾何形狀的薄壁構(gòu)件的屈曲行為。

以上研究表明,對(duì)于薄壁結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有研究方法幾乎能夠處理任意截面變形的力學(xué)行為,但建立的高階模型微分方程的求解計(jì)算較為復(fù)雜,在保證精度的同時(shí),一種避免無(wú)效的截面特征,僅保留能夠反映截面變形本質(zhì)特征的簡(jiǎn)化方法對(duì)于薄壁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算更有效。

基于一組截面基本變形模式,本文建立薄壁結(jié)構(gòu)的一維高階模型,利用模式識(shí)別對(duì)一維高階模型的特征向量分解處理,構(gòu)建最終權(quán)重矩陣,將高階模型計(jì)算出的固有頻率和振型與ANSYS模型分析結(jié)果比較,以驗(yàn)證模型的可靠性。

1 模型的建立

1.1 位移場(chǎng)一維化

本文以一端固定的矩形薄壁梁為研究對(duì)象,結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 矩形薄壁梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖1中,以截面中心為原點(diǎn),建立空間坐標(biāo)系(x,y,z),梁體長(zhǎng)度為l,壁板厚度為t。

在薄壁梁截面中線上建立局部坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2 截面中線上的局部坐標(biāo)系

圖2中,沿截面中線建立的局部坐標(biāo)系由切向s、法向n和軸向z定義,梁體截面中面寬度和高度分別為b和h。

本節(jié)借鑒張磊[16]對(duì)于薄壁梁的分析方法,在截面上引入8個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)捕捉截面變形,如圖3所示。

圖3中,4個(gè)角節(jié)點(diǎn)為一級(jí)節(jié)點(diǎn),4個(gè)邊線中點(diǎn)為二級(jí)節(jié)點(diǎn),分別施加軸向、切向、法向和扭轉(zhuǎn)單位位移,在一級(jí)節(jié)點(diǎn)上施加位移時(shí),其余一級(jí)節(jié)點(diǎn)位移為0,在二級(jí)節(jié)點(diǎn)上施加位移時(shí),其余所有節(jié)點(diǎn)位移均為0。本文采用線性函數(shù)插值軸向和切向位移,采用埃爾米特插值法向位移,并通過形函數(shù)定義基函數(shù),每個(gè)基函數(shù)都表示一種變形模式,由于模型考慮了4個(gè)自由度,共產(chǎn)生32種變形模式,其中1～8為平面外變形,9～32為平面內(nèi)變形。

截面中線上點(diǎn)的位移通過軸向u(s,z)、切向v(s,z)和法向w(s,z)3個(gè)位移分量表示,并通過模態(tài)疊加法將截面變形模式的形函數(shù)線性疊加,建立截面的一維位移場(chǎng)如下:

圖3 8節(jié)點(diǎn)矩形薄壁梁的基本變形模式

(1)

式中:α—幅值函數(shù);φ(s)—平面外變形的基函數(shù);φ(s),ω(s)—平面內(nèi)變形的基函數(shù)。

幅值函數(shù)α表示如下:

α=[α1z)α2(z) …α32(z)]T

(2)

三維位移場(chǎng)B(u,v,w)可以表示為:

B=Lψα

(3)

式中:L—微分算子;ψ—位移轉(zhuǎn)換矩陣。

L,ψ分別表示如下:

(4)

(5)

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

在小位移條件下,依據(jù)Kirchhoff假設(shè),可得薄壁梁的應(yīng)變分量為:

ε=CB

(6)

式中:C—微分算子。

C的表達(dá)式如下:

(7)

根據(jù)線彈性本構(gòu)關(guān)系,薄壁梁的應(yīng)力分量為

σ=Ehε

(8)

式中:Eh—本構(gòu)矩陣。

Eh表示如下:

(9)

式中:E—彈性模量;v—泊松比;G—剪切模量。

依據(jù)Hamilton原理建立薄壁梁的動(dòng)力學(xué)方程,有:

(10)

式中:T—臂架的動(dòng)能;U—臂架勢(shì)能;W—外力勢(shì)能。

T,U,W可以分別表示為:

(11)

(12)

(13)

式中:ρ—薄壁梁材料密度;p—作用在臂架截面上的分布力列向量。

p可表示為:

(14)

將式(11～13)代入式(10),可得薄壁梁的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(15)

1.3 有限元格式

本文采用有限單元法求解一維高階模型,通過拉格朗日線性插值函數(shù)將薄壁梁離散為n個(gè)單元,即:

α=Ndi,i=1,2…n

(16)

式中:i—單元節(jié)點(diǎn)號(hào);N—線性插值函數(shù);d—節(jié)點(diǎn)位移向量。

線性插值函數(shù)N表示如下:

(17)

(18)

式中:ξ1,ξ2—插值函數(shù);(i),(i+1)—單元兩端。

總體節(jié)點(diǎn)位移向量D可以表示為:

(19)

將式(16～18)代入式(10),可得:

(20)

式中:Λ—軸向積分區(qū)域;A—截面積分區(qū)域;p—作用在臂架截面上的分布力列向量。

動(dòng)力學(xué)方程的形式可整理為:

(21)

式中:m—單元質(zhì)量矩陣;k—單元?jiǎng)偠染仃?f—單元載荷矩陣。

m,k可以分別表示為:

(22)

(23)

(24)

式中:l—單元長(zhǎng)度。

本文研究的薄壁梁處于無(wú)阻尼下的自由振動(dòng)狀態(tài),故載荷向量f作為0處理。

求解單元質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣k。組裝集成薄壁梁的總體質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K可以表示為:

(25)

式中:Ti—節(jié)點(diǎn)位移向量di到總體節(jié)點(diǎn)位移向量D的轉(zhuǎn)換矩陣。

2 截面特征識(shí)別

本文以截面32種變形模式為基礎(chǔ)構(gòu)建矩形薄壁梁的動(dòng)力學(xué)模型,理論上能夠完成模型的求解,但是由于考慮的變形模式過多,計(jì)算復(fù)雜,所以有必要從上述變形中識(shí)別出一組合理有效的變形模式來(lái)改善模型。

2.1 振型參數(shù)提取

高階模型的特征向量通常被作為識(shí)別變形模式的基礎(chǔ),求解薄壁梁高階模型的廣義特征值即可轉(zhuǎn)化得到系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而求得薄壁梁高階模型的特征向量,并將特征向量集成在矩陣H中,表示如下:

(26)

式中:(k)—特征向量的階數(shù)。

將每一階特征向量改寫特征矩陣α(k),表示如下:

(27)

由于薄壁梁在軸線方向被離散為n個(gè)單元,則α(k)的列向量可以用幅值函數(shù)表示為:

(28)

特征矩陣的列向量反映了幅值函數(shù)的變化情況,通過對(duì)特征矩陣的分解處理以完成截面特征的識(shí)別。

對(duì)平面內(nèi)外變形模式的識(shí)別是分開進(jìn)行的,即對(duì)原有平面外變形模式識(shí)別出新平面外變形模式,對(duì)原有平面內(nèi)變形模式識(shí)別出新平面內(nèi)變形模式,即:

(29)

2.2 特征識(shí)別算法

主成分分析是通過線性變換將原有多個(gè)變量轉(zhuǎn)換為幾個(gè)線性無(wú)關(guān)變量的方法。本文利用在投影方向上的方差大小來(lái)判斷該方向的參與程度。

在特征識(shí)別前需要對(duì)樣本特征矩陣進(jìn)行去中心化,可得:

(30)

式中:m—特征矩陣中列向量元素個(gè)數(shù)。

對(duì)特征矩陣x(k)構(gòu)建協(xié)方差矩陣A,表示為:

A=x(k)(x(k))T

(31)

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,求解特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。將最大特征值對(duì)應(yīng)的特征稱為主要變形模式,其余特征值對(duì)應(yīng)的特征則為次要變形模式。

將特征值λ由大到小排序,即:

(32)

式中:r—協(xié)方差矩陣的秩。

每一階特征矩陣分解產(chǎn)生的有效變形模式數(shù)量取決于q,q為滿足下式的最小整數(shù),即:

(33)

式中:t—閾值,0

(34)

將所有權(quán)重系數(shù)集成到權(quán)重矩陣τ(k)中,即:

(35)

在特征識(shí)別過程中,某些變形模式可能在不同模態(tài)階數(shù)中重復(fù)出現(xiàn),為保證正交性,權(quán)重矩陣中的列向量需要滿足線性無(wú)關(guān)性,即:

rank(τ(k))=q

(36)

最終權(quán)重矩陣為截面32種變形模式的線性組合提供了權(quán)重集合,表示如下:

(37)

式中:ui(s)—軸向位移分量;vi(s)—切向位移分量;wi(s)—法向位移分量。

結(jié)合式(21～25),利用MATLAB編制有限元程序,求解薄壁梁的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,求得模型的廣義特征值,分別對(duì)平面外和平面內(nèi)的特征向量分解處理,直至識(shí)別出的變形模式滿足計(jì)算精度的需求;對(duì)變形模式的形函數(shù)幅值進(jìn)行歸一化處理,以確保其最大位移為1;求解變形模式的形函數(shù),將其用于替換被集成在動(dòng)力學(xué)方程中的基函數(shù),以簡(jiǎn)化梁模型。

3 數(shù)值算例及模型驗(yàn)證

由于從高階模型的前4階特征向量中識(shí)別出的特征以經(jīng)典變形為主,本文以矩形薄壁梁第5階特征向量的平面外變形為例說明了識(shí)別過程,識(shí)別出具有代表性的翹曲變形,并對(duì)識(shí)別方法的可靠性和通用性進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 數(shù)值算例

矩形薄壁梁的結(jié)構(gòu)如圖1所示,其參數(shù)包括:長(zhǎng)度l=1.00 m,寬度b=0.16 m,高度h=0.20 m,厚度t=0.01 m,密度ρ=7 800 kg/m3,彈性模量E=2×1011Pa,泊松比v=0.3。

將薄壁梁沿軸線方向離散為n=80個(gè)單元,對(duì)平面外變形模式的5階特征矩陣分解處理,協(xié)方差矩陣A的特征值為:

(38)

(39)

結(jié)合式(37),可獲得一種確定的平面外變形模式,對(duì)應(yīng)于翹曲變形,如圖4所示。

圖4 五階特征向量的平面外主變形模式

結(jié)合式(30～37),依據(jù)特征識(shí)別算法流程編制相應(yīng)的MATLAB計(jì)算程序,依次對(duì)矩形薄壁梁的前12階特征向量進(jìn)行分解處理,共可識(shí)別出11種最終截面變形模式,如圖5所示。

圖5 矩形薄壁梁前12階振型識(shí)別截面變形模式

其中,圖5(a～d)為平面外變形模式,圖5(e～k)為平面內(nèi)變形模式;變形模式圖5(a～c)和圖5(e～g)對(duì)應(yīng)于截面的剛性位移,剩余6種是基于翹曲和畸變的高階形變,表明識(shí)別出的變形模式具有實(shí)際的物理意義。

變形模式的排列順序反映了它們的層次性。其中,圖5(a～h)為主要變形模式,圖5(i～k)為次要變形模式。

矩形薄壁梁的截面變形模式并不僅僅局限于上述11種變形模式,當(dāng)需要進(jìn)一步提高模型的計(jì)算精度時(shí),可通過增大閾值t,引入一些參與度較低的變形模式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3.2 模型驗(yàn)證

本文分別以截面32種和11種變形模式構(gòu)造薄壁梁的高階模型1和2。高階模型均將薄壁梁沿軸線方向均離散為80個(gè)單元;ANSYS模型采用Shell 181單元,控制單元尺寸為10 mm,將模型離散為7 200個(gè)Shell 181單元,沿梁體軸向100個(gè)單元,截面離散為72個(gè)單元。

相對(duì)誤差是以ANSYS模型結(jié)果準(zhǔn)確的前提下得出的。ANSYS模型固有頻率用f表示,兩種高階模型則依次用f1和f2表示,對(duì)應(yīng)的誤差用δ1和δ2表示,k表示模態(tài)階數(shù)。

薄壁梁前10階固有頻率的比較如表1所示。

表1 前10階固有頻率的比較

由表1數(shù)據(jù)可得:對(duì)比高階模型1和2,隨著考慮變形模式數(shù)量的減少,相對(duì)誤差有所增加,高階模型1代表了該種模型的精度上限;對(duì)比高階模型2與ANSYS模型,高階模型2在減少截面變形模式個(gè)數(shù)后,與ANSYS模型的誤差在1.94%以內(nèi),模型精度仍能滿足計(jì)算需求,在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率,驗(yàn)證了本文識(shí)別方法的可靠性。

高階模型2的前8階特征向量的平面外變形模式幅值沿軸向變化如圖6所示。

圖6 平面外變形模式幅值沿梁體軸向變化

圖(6)中:主要變形模式(a～h)的幅值是次要變形模式(i～k)的數(shù)十倍,幅值大小體現(xiàn)了它們對(duì)于截面變形參與程度的不同。

當(dāng)模型的計(jì)算精度要求不高時(shí),可以選用較高優(yōu)先級(jí)的主要變形模式,以形成更為簡(jiǎn)化的高階模型,能夠有效提高計(jì)算效率。

為了驗(yàn)證所識(shí)別出的變形模式的通用性,本文以11種變形模式為基礎(chǔ),對(duì)不同長(zhǎng)細(xì)比e(僅改變薄壁梁長(zhǎng)度)下的矩形薄壁梁進(jìn)行計(jì)算分析,如圖7所示。

圖7中,在長(zhǎng)細(xì)比e為4、6和8下,高階模型的計(jì)算結(jié)果與ANSYS模型吻合良好,表明識(shí)別出的變形模式適用于不同長(zhǎng)細(xì)比的矩形薄壁梁。

薄壁梁前8階振型比較如圖8所示。

圖7 不同長(zhǎng)細(xì)比e下固有頻率對(duì)比

圖8 ANSYS模型與本文模型前8階振型的比較

圖8中,每一階振型中左側(cè)是在ANSYS shell 181單元下的結(jié)果,右側(cè)是基于11種變形模式的高階模型的振型,右側(cè)網(wǎng)格在橫截面上定義為80個(gè)點(diǎn),軸向定義為40個(gè)點(diǎn),采用80×40的矩形來(lái)描述薄壁結(jié)構(gòu)振型。

兩種振型非常接近,識(shí)別出的截面變形模式在振型中都有所體現(xiàn),這加強(qiáng)了變形模式和振型之間的聯(lián)系,表明識(shí)別出的變形模式和高階梁模型能夠準(zhǔn)確再現(xiàn)薄壁結(jié)構(gòu)的三維振型。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)薄壁結(jié)構(gòu)一維高階模型求解復(fù)雜、效率低等問題,筆者以32種截面變形模式為基礎(chǔ)構(gòu)建了基函數(shù),結(jié)合哈密頓原理構(gòu)造了薄壁梁的一維高階模型,對(duì)薄壁梁的截面形變進(jìn)行了特征識(shí)別,并以識(shí)別產(chǎn)生的變形模式重構(gòu)了高階模型,分別通過MATLAB和ANSYS進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。

研究結(jié)論如下:

(1)提出了一種薄壁結(jié)構(gòu)截面特征形變識(shí)別方法,基于主成分分析對(duì)薄壁梁高階模型的前12階特征向量分解處理,共識(shí)別出11種變形模式;識(shí)別出的變形模式具有實(shí)際的物理意義及層次性,高階模型導(dǎo)出的三維振型與ANSYS模型吻合良好,識(shí)別出的截面變形模式在振型中都有所體現(xiàn);

(2)以11種變形模式重構(gòu)了高階模型,將模型的前10階固有頻率與識(shí)別前模型及ANSYS模型結(jié)果進(jìn)行了比較,誤差在1.94%以內(nèi),在保證精度的同時(shí)提高了模型的計(jì)算效率;

(3)本文所識(shí)別出的變形模式具有通用性,適用于不同長(zhǎng)細(xì)比下的矩形薄壁梁結(jié)構(gòu)。

該研究結(jié)果可為提高薄壁結(jié)構(gòu)一維高階模型的計(jì)算效率提供一定的理論依據(jù)。