方 力陳春花周 文楊子輝汪建業(yè)

1（中國科學院合肥物質(zhì)科學研究院 合肥230031）

2（中國科學技術大學 合肥230027）

隨著航天技術的發(fā)展和太空探索的深入，空間資源的探索及開發(fā)也成為大國競爭的重要領域［1］。先進電源技術是實現(xiàn)深空探測任務的關鍵因素，小型空間反應堆則是最有前景的解決方案之一［2］。自1950年代以來，美國和俄羅斯（前蘇聯(lián)）相繼開展小型空間反應堆的研究工作［3］，分別提出了SNAP-10A、Kilopower、ROMASHK、BUK、TOPAZ［4］等 電源。由美國提出的Kilopower是世界各國研發(fā)的空間核反應堆電源中的佼佼者［5］。

由于空間堆的特殊性，對其堆芯體積和質(zhì)量的優(yōu)化有著極高的設計價值［6］。目前常用的優(yōu)化模式仍然是以設計人員的經(jīng)驗為基礎，同時結合大量的搜索計算。但由于堆芯系統(tǒng)自身的復雜性、參數(shù)之間的強耦合性等因素，人工求解過程非常低效耗時，且不易獲得全局最優(yōu)解［7］。與依靠人工經(jīng)驗的優(yōu)化設計相比，現(xiàn)代啟發(fā)式搜索方法非常適合求解高度復雜的非凸、不可導、非線性的優(yōu)化問題［8］，如遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等，已被國內(nèi)外廣泛應用于堆芯設計優(yōu)化領域［9?11］。然而，研究發(fā)現(xiàn)上述算法仍然存在參數(shù)敏感和收斂性差的問題。差分進化（Differential Evolution，DE）算法作為一種非常有潛力的優(yōu)化算法，由于其參數(shù)敏感性低、易實現(xiàn)、收斂快、魯棒性強等特點［12］，而被廣泛應用。Sacco等［13］將DE算法應用于反應堆堆芯設計問題，取得了良好的效果。本文基于DE算法，針對空間堆堆芯優(yōu)化設計問題，為了增強其尋優(yōu)能力，平衡全局和局部搜索能力，提出了一種自適應的參數(shù)動態(tài)調(diào)整策略，同時結合SuperMC軟件平臺［14］，將其應用到空間堆優(yōu)化領域，以實現(xiàn)高效低成本的堆芯優(yōu)化設計。

1 自適應DE算法

1.1 經(jīng)典DE算法流程

DE算法是由Storn和Price于1995年首次提出的一種啟發(fā)式進化算法［12］，通過模擬生物進化的機制，達到種群尋優(yōu)的目的，具有控制參數(shù)少、易實現(xiàn)、魯棒性強等優(yōu)點。主要包含初始化、變異、交叉、選擇這些操作，其控制參數(shù)包括進化代數(shù)（G）、種群規(guī)模（NP）、差分權重（F）和交叉概率（CR）。經(jīng)典DE算法流程（如圖1）簡單介紹如下：

圖1 經(jīng)典DE算法流程圖Fig.1 Flow chart of the classic DE algorithm

1）種群初始化

隨機生成在求解空間內(nèi)的NP個D維的個體：

式中：i∈NP，j∈D，low和up分別表示下限值和上限值。

2）變異操作

式中：F表示差分權重表示種群中的不同個體。

3）交叉操作

對臨時個體和原始個體之間進行交叉操作，通過CR與（0，1）范圍內(nèi)的隨機數(shù)ri進行比較，得到變異個體：

式中：CR表示交叉概率，CR∈(0，1)。

4）選擇操作

比較變異個體和原始個體的適應度，保留適應度更好的個體作為下一代：

式中：f表示目標函數(shù)。

1.2 自適應的DE算法

在空間堆堆芯優(yōu)化問題中，重點在于優(yōu)化得到的設計方案是否足夠優(yōu)秀，如何平衡全局和局部搜索能力，加強算法的尋優(yōu)能力是一個重要問題。在遵循算法前中期側重全局搜索能力，后期側重局部搜索能力的思想下，本文提出了針對不同進化階段特點設計的自適應機制，使得算法在不同的階段采用特定的控制參數(shù)，實現(xiàn)控制參數(shù)的動態(tài)調(diào)整，以平衡算法的全局和局部搜索能力，提高算法的尋優(yōu)性能?？紤]DE算法的兩個主要參數(shù)交叉概率CR和差分權重F，差分權重作為最敏感的參數(shù)，決定了子代與父代差異性大小，直接影響算法的搜索能力。故選擇差分權重作為動態(tài)調(diào)整的參數(shù)，摒棄原始算法的定值處理，在算法中引入一種新的動態(tài)自適應性函數(shù)，其表達式為：

式中：F表示第G代的差分權重值；Fmin表示最小差分權重值；ΔF表示差分權重的變化范圍；G表示當前進化的代數(shù)；Gmax表示總進化代數(shù)。

選用此函數(shù)作為動態(tài)自適應性函數(shù)主要基于以下考慮：首先滿足最起碼的單調(diào)遞減性，保證差分權重整體減小的趨勢，在算法的初始階段，選用較大的差分權重值，注重其全局搜索能力，在進化后期，選用較小的差分權重值，注重其局部搜索能力。其次，此函數(shù)在定義域內(nèi)為凸函數(shù)，更符合優(yōu)化的前中期注重全局搜索能力，優(yōu)化的后期注重局部搜索能力的整體優(yōu)化思想。

與此同時，參數(shù)的取值也很重要。研究發(fā)現(xiàn)［15］，當差分權重F∈（0.4，0.95）和交叉概率CR∈（0.1，0.8）時，算法表現(xiàn)更好，其中交叉概率CR首選0.5，結合對差分權重F動態(tài)調(diào)整的策略和自適應性函數(shù)，我們選取最小差分權重值Fmin為0.4，差分權重的變化范圍ΔF為0.55。

此外，在空間堆堆芯優(yōu)化問題中不可避免地存在約束問題。在約束處理方面，主要考慮的是設計方案的keff是否滿足設計要求，本文采用將約束違反情況作為單獨項考慮［16］，約束處理的策略主要基于以下三條原則：

a）在父代和子代同時違反keff約束時，選擇違反約束程度更小的個體；

b）在父代和子代其中只有一方違反keff約束時，選擇未違反約束的個體；

c）在父代和子代均未違反keff約束時，選擇目標函數(shù)值更小的個體。

算法偽代碼如下所示：

1.3 算法的驗證

為了驗證算法的優(yōu)化能力與穩(wěn)定性，選擇優(yōu)化問題常用的標準測試函數(shù)Rastrigin函數(shù)作為測試函數(shù)［17］，其二維測試函數(shù)表達式為：

選取具有兩個獨立變量的Rastrigin函數(shù)圖形，以方便可視化，函數(shù)圖像如圖2所示。

觀察函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)有非常多的局部極小點，而全局僅有一個極小值點，極小值點是（0，0），該處的函數(shù)值為0，我們設置種群大小為30，最大進化代數(shù)為30，分別采用經(jīng)典的DE算法和自適應的DE算法進行20次實驗計算，對比兩者求解的結果，結果對比如表1所示。

圖2 二維Rastrigin函數(shù)圖像Fig.2 Image of two-dimensional Rastrigin function

表1 優(yōu)化結果對比Table 1 Comparison of optimization results

通過結果對比，可以發(fā)現(xiàn)，在種群規(guī)模和進化代數(shù)相同的情況下，自適應DE算法的最優(yōu)解、平均解和最差解表現(xiàn)都更好，顯然自適應的DE算法在尋優(yōu)能力方面表現(xiàn)的更加優(yōu)秀。

2 Kilopower堆芯優(yōu)化

2.1 優(yōu)化問題設計

Kilopower空間堆是由美國提出的目前最簡潔且可行性最高的反應堆概念之一，目前存在4.3 kW、13.0 kW、21.7 kW等幾種不同熱功率的堆芯模型，不同功率的堆芯僅在體積、質(zhì)量和熱管排布上有所區(qū)別。本文采用體積、質(zhì)量最小的4.3 kW Kilopower反應堆作為優(yōu)化模型，理論上來說，它對結構參數(shù)更為敏感，優(yōu)化難度也更大。該反應堆是在低功率下運行的，其燃料、熱管、反射層、屏蔽是一體化的，熱量導出的要求也很低，故在本優(yōu)化設計中暫未考慮熱工方面的問題。反應堆采用的是富集度為93%的高濃縮鈾，燃料采用的是鈾鉬合金，反射層采用的是BeO，在正常運行狀態(tài)下，堆芯的keff=1.012 5±0.000 5［18］。模型整體如圖3所示。

圖3 反應堆模型尺寸Fig.3 Reactor model size

以此模型為基礎進行優(yōu)化研究。在保證空間堆堆芯整體幾何形狀不變的情況下，以保證keff滿足設計條件為約束條件，優(yōu)化空間堆堆芯各部件的尺寸，優(yōu)化目標是降低空間堆堆芯的整體質(zhì)量。

在堆芯優(yōu)化問題的設計中，主要需要注意以下方面：

1）優(yōu)化變量

在堆芯設計優(yōu)化的問題中，變量為各個堆芯部件的關鍵尺寸參數(shù)。主要的優(yōu)化參數(shù)有燃料棒長度、燃料棒半徑、上下反射層厚度、反射層半徑。

2）目標函數(shù)

針對堆芯優(yōu)化問題，采用堆芯各部件的總質(zhì)量作為目標函數(shù)。

式中：mi表示堆芯各部件的質(zhì)量。

3）約束條件

在約束處理方面，主要考慮的是堆芯的keff，一方面，優(yōu)化后堆芯設計的keff不低于原始設計值，另一方面，在控制棒完全插入堆芯時，能克服其剩余反應性，保證足夠的停堆裕度。因此將keff介于1.012 5～1.020 0作為優(yōu)化過程中的約束條件。

結合堆芯優(yōu)化問題和自適應的DE算法，堆芯優(yōu)化的整體流程如下：

步驟1：在求解空間內(nèi)隨機生成堆芯的關鍵尺寸參數(shù)；

步驟2：根據(jù)關鍵尺寸參數(shù)生成相應的物理模型，調(diào)用SuperMC軟件進行中子輸運計算得到該堆芯設計模型keff，記錄其是否違反約束以及違反程度；

步驟3：通過物理模型，計算該堆芯設計方案的目標函數(shù)值；

步驟4：通過父代變異和交叉操作生成子代方案的關鍵尺寸參數(shù)，重復步驟2、步驟3，評價子代堆芯設計方案，并選擇父子兩代中更加優(yōu)秀的設計方法保留；

步驟5：重復步驟4，如此反復完成指定的進化代數(shù)，選擇最后一代中最優(yōu)秀的方案作為最終的堆芯設計方案。

2.2 優(yōu)化結果

基于以上堆芯優(yōu)化方案，在自適應的DE算法下，進行4次優(yōu)化驗證，優(yōu)化結果如表2所示。

從表2的優(yōu)化結果可以看出：自適應的DE算法對Kilopower的堆芯優(yōu)化效果明顯，在4組優(yōu)化試驗中，均能保證在keff滿足約束和堆芯幾何形狀不變的情況下，有效降低堆芯的質(zhì)量。其中優(yōu)化效果最好的是No.4，優(yōu)化后的堆芯質(zhì)量為82.9 kg，與原始設計相比，減重38.2%，優(yōu)化效果顯著。

表2 空間堆堆芯優(yōu)化結果Table 2 Space reactor core optimization results

選取優(yōu)化結果最好的No.4，其優(yōu)化曲線如圖4所示。

整個優(yōu)化過程，設置的種群大小為30，最大進化代數(shù)為30，整個搜索過程計算930個模型，通過優(yōu)化曲線我們可以觀察到，當優(yōu)化進行到第10代左右時，已基本呈現(xiàn)收斂。

圖4 優(yōu)化曲線Fig.4 Optimization curve

下面對No.4組進行詳細分析，優(yōu)化前后關鍵尺寸參數(shù)對比如表3所示。

優(yōu)化前后各部件質(zhì)量對比如表4所示。

表3 堆芯關鍵尺寸優(yōu)化結果對比Table 3 Comparison of optimization results of critical dimensions of reactor core

表4 反應堆質(zhì)量優(yōu)化結果對比Table 4 Comparison of reactor quality optimization results

對比優(yōu)化前后的堆芯模型，優(yōu)化前堆芯質(zhì)量為134.2 kg，優(yōu)化后的質(zhì)量為82.9 kg，減重38.2%，優(yōu)化效果明顯。詳細分析各部件質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)燃料的質(zhì)量由原始設計的32.9 kg增加到38.0 kg，反射層由原始的72.5 kg降低到16.1 kg，從物理學角度分析，增加燃料質(zhì)量可以增加堆芯在裂變反應中產(chǎn)生的中子數(shù)量，而減少反射層厚度能降低中子通過反射層返回堆芯的概率，最終使keff滿足設計要求。

3 結語

本文基于經(jīng)典DE算法，提出了一種自適應的DE算法，并將其應用于空間堆的結構設計中。以堆芯整體幾何形狀保持不變?yōu)榍疤幔远研举|(zhì)量最小為優(yōu)化目標，以堆芯keff滿足設計要求為約束條件，對Kilopower空間堆的堆芯參數(shù)進行優(yōu)化設計。優(yōu)化后堆芯總質(zhì)量相比原設計堆芯總質(zhì)量減重38.2%，這初步證明了自適應DE算法在空間堆設計中的正確性和有效性，可節(jié)省大量的時間和人力成本，也為反應堆的設計提供了重要參考。同時，后續(xù)仍需對該算法進一步改進，以提升其在更復雜設計中的適用性。

致謝感謝中國科學院合肥物質(zhì)科學研究院老師們的悉心指導以及同學們的幫助。