周藝璇

(四川民族學(xué)院 理工學(xué)院，四川 康定 626000)

在高等數(shù)學(xué)中，Taylor定理是最重要的定理之一，本質(zhì)上是用相對簡單的多項(xiàng)式函數(shù)逼近較復(fù)雜的一般函數(shù)。在求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分、不等式證明、函數(shù)性態(tài)分析、判定級數(shù)斂散性以及近似計(jì)算等方面都有著重要應(yīng)用[1-4]。同時(shí)，它也是數(shù)值分析、常微分方程、最優(yōu)化理論等數(shù)學(xué)分支的重要理論基礎(chǔ)。Taylor定理高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性往往使得初學(xué)者望而生畏。為了幫助學(xué)生理解和掌握Taylor定理，適當(dāng)演繹和證明Taylor定理是非常必要的。

1 多項(xiàng)式逼近函數(shù)問題

由微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用可知，若f(x)在x0處可導(dǎo)，則

f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)+o(x-x0)。

其中f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)可以看作一次多項(xiàng)式P1(x)，從而有f(x)=P1(x)+o(x-x0)。若忽略高階無窮小，則可以用來P1(x)逼近f(x)。謝惠民教授在《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》[5]中以例題6.1.3為例，嚴(yán)格證明了：與任意線性函數(shù)相比，P1(x)總能找到x0的某個(gè)鄰域U(x0)，使之與f(x)的差值更小。因此，在一次多項(xiàng)式中，用P1(x)來逼近f(x)是最優(yōu)的。這也是高等數(shù)學(xué)教材選擇用微分近似公式引入的原因。

事實(shí)上，多項(xiàng)式的優(yōu)勢是很明顯的，它只涉及加法、乘法和減法三種運(yùn)算，并且求導(dǎo)、求值都很方便。因此，如何利用多項(xiàng)式來描述一個(gè)給定的函數(shù)就是我們接下來逼近問題的重點(diǎn)。

通過對P1(x)與P2(x)進(jìn)行對比分析，我們發(fā)現(xiàn)為了進(jìn)一步提高精度，n次多項(xiàng)式Pn(x)首先得具有與P1(x)和P2(x)類似的構(gòu)造，其次它的各階導(dǎo)數(shù)都存在。于是假設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，是否存在n次多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，使得f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n)?下面我們說明Pn(x)的存在性和唯一性。

為了驗(yàn)證求得Pn(x)的逼近f(x)的效果，選擇驗(yàn)證Pn(x)逼近f(x)所產(chǎn)生的誤差也就是f(x)-Pn(x)是否是o((x-x0)n)是最為直接且方便的方法。如果是，得到的Pn(x)就是f(x)的很好的一個(gè)逼近。

至此，我們已經(jīng)說明高次多項(xiàng)式可以很好的逼近一般函數(shù)。通過這樣一個(gè)詳細(xì)的推演，不僅能使學(xué)生更加清晰Taylor定理的整個(gè)證明過程，而且還能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深挖課本知識(shí)的興趣。從實(shí)際教學(xué)過程來看，利用直覺發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想在解決問題的過程中起著關(guān)鍵性作用。而形式推導(dǎo)則是驗(yàn)證猜想的重要方法。這種處理方法，在能力提升方面，既可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，也可以鍛煉學(xué)生的邏輯推演能力，進(jìn)一步地能更清楚的認(rèn)識(shí)幾個(gè)微分中值定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而構(gòu)建起相關(guān)理論的框架，為之后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供扎實(shí)的基礎(chǔ)。在知識(shí)講授上，既能鞏固微分中值定理，又能比較自然的引出Taylor公式，從而使得學(xué)生更易于接受并掌握Taylor定理。從實(shí)際教學(xué)效果來看，確實(shí)取得了滿意的效果。

2 Taylor定理

把上述結(jié)論上升為定理，即第1種形式的Taylor定理。

從某種意義上講，余項(xiàng)Rn(x)=o((x-x0)n)也是一個(gè)誤差。即Pn(x)逼近f(x)所產(chǎn)生的誤差。通常Taylor公式被用于做近似計(jì)算，但是帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式在實(shí)際應(yīng)用中是有一定缺陷的。具體在于：

(1)精確度不夠。它只給出了余項(xiàng)的定性描述，說明余項(xiàng)是高階無窮小。

(2)誤差無法估計(jì)。具體的階數(shù)沒有體現(xiàn)，從而不能對誤差進(jìn)行定量分析。

(3)適用范圍較小。帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式若要和f(x)劃等號，前提必須是x與x0靠得比較近。

那自然就會(huì)產(chǎn)生下面一個(gè)問題：怎么樣克服Taylor公式Peano余項(xiàng)的缺點(diǎn)，而保持它的優(yōu)點(diǎn)。即它的右端仍然是一個(gè)多項(xiàng)式，但誤差項(xiàng)是可以進(jìn)行定量分析的具體的表達(dá)式。另外還要擴(kuò)大它的適用范圍，比如，是否能將附近的范圍擴(kuò)大到區(qū)間上？這個(gè)區(qū)間是否可以無限？帶著這些疑問，再次回顧舊知。

如果f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，并且假設(shè)x0∈[a，b]，x=x0+Δx∈[a，b]，則根據(jù)Lagrange中值定理有f(x)=f(x0)+f(1)(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0與x之間。

于是猜測：如果f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，那么f(x)的表達(dá)式會(huì)不會(huì)在形式上有類似的推廣。即f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)+f(2)(ξ)(x-x0)2。

于是我們修正猜測，并總結(jié)出：如果f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，則

3 兩種形式的Taylor定理的比較

(1)條件不同。Peano要求函數(shù)在x0處n階可導(dǎo)，而Lagrange要求函數(shù)在區(qū)間n+1階可導(dǎo)。

(2)余項(xiàng)的表達(dá)式不同。Peano余項(xiàng)是一個(gè)高階無窮小，而Lagrange的余項(xiàng)是具體的表達(dá)式，即對Lagrange余項(xiàng)可以進(jìn)行定量分析。

(3)在帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式中，x是區(qū)間I上的任意一點(diǎn)，沒有要求在x0附近。所以這個(gè)公式在整個(gè)區(qū)間上都是適用的。并且這個(gè)區(qū)間既可以是有限的，也可以是無限的，從而擴(kuò)大了適用范圍。

(4)求解方法不同。帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式是由Cauchy中值定理求得的，而帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式則是反復(fù)應(yīng)用L’Hospital法則證明。

但從本質(zhì)上講，兩者都是用多項(xiàng)式逼近f(x)得到的，并且都是用已知點(diǎn)的信息：函數(shù)值，各個(gè)階導(dǎo)數(shù)值等來表示未知點(diǎn)。

類比是提出數(shù)學(xué)問題和猜想的一個(gè)重要途徑。通過使用類比的思想方法來探究Taylor定理，能更進(jìn)一步讓學(xué)生加深對Taylor定理的理解與掌握。

4 舉例

以y=sinx為例，從幾何直觀理解Taylor定理。當(dāng)x0=0時(shí)，有

借助matlab數(shù)學(xué)軟件，作出正弦函數(shù)sinx以及n取五次、七次、十五次時(shí)對應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)P5(x)，P7(x)，P15(x)具體的函數(shù)圖像如圖1。

圖1 當(dāng)x0=0時(shí)，y=sinx與多項(xiàng)式函數(shù)P5(x)，P7(x)，P15(x)的圖像對比

不難看出，隨著次數(shù)的增加，多項(xiàng)式逼近sinx的效果越好，誤差越小?？紤]到matlab數(shù)學(xué)軟件作為學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)的一種工具，在后續(xù)的一些數(shù)學(xué)及工程課程的學(xué)習(xí)有著較為廣泛的應(yīng)用。我們可以將程序源代碼告訴學(xué)生，讓學(xué)生自己在課后操作，從而加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)理論的理解，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算、建模等技能。

程序源代碼：

>>x=-8：0.01：8；

y1=sin(x)；

y2=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)；

y3=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)-x.^7/factorial(7)；

y4=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)-x.^7/factorial(7)+x.^9/factorial(9)-x.^11/factorial(11)+x.^13/factorial(13)-x.^15/factorial(15)；

plot(x，y1，‘-’)

gtext(‘sin(x)’)

hold on

plot(x，y2，‘：’)

gtext(‘p5(x)’)

hold on

plot(x，y3，‘--’)

gtext(‘p7(x)’)

hold on

plot(x，y4，‘-.’)

gtext(‘p15(x)’)

axis([-8 8 -4 4])

legend(‘sin(x)’，‘p5(x)’，‘p7(x)’，‘p15(x)’)

另一方面，這也從幾何直觀上說明多項(xiàng)式函數(shù)是可以逼近一般函數(shù)的。但是前提條件是多項(xiàng)式函數(shù)要在開區(qū)間上n+1階可導(dǎo)。由此可見，用多項(xiàng)式研究函數(shù)必然會(huì)給我們帶來極大方便。

5 結(jié)束語

用上述方式講授Taylor定理是比較嚴(yán)密的。同時(shí)，對數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，特別是證明思路和余項(xiàng)的比較相對全面。在講授中，采用啟發(fā)式教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生自主探索Taylor公式，并將數(shù)學(xué)理論知識(shí)與函數(shù)圖像相結(jié)合，增加了直觀性。這樣不僅能達(dá)到復(fù)習(xí)加深已學(xué)過知識(shí)的目的，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，使之對學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣，從而激發(fā)其智力因素，加深掌握已學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)、提高邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到滿意的教學(xué)效果。