呂瑞杰，韓炬，楊再遠

（1.灤州吉宏包裝有限公司，河北 唐山063700；2.華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山063210）

0 引言

齒輪傳動的動態(tài)嚙合性能對傳動系統(tǒng)的振動、噪聲、傳遞效率及傳動平穩(wěn)性等有重要影響，因此，對其深入研究是提高傳動系統(tǒng)性能的關(guān)鍵。齒輪傳動的動態(tài)嚙合性能有多種影響因素，如材料性能、齒廓修形、變位、制造誤差、裝配誤差等，國內(nèi)外學(xué)者對此做了大量研究工作。

王志欽等[1]通過數(shù)值仿真研究了齒輪變位對嚙合剛度的影響，陳安華等[2]研究了時變嚙合剛度、嚙合阻尼、支承剛度及支承阻尼對齒輪動態(tài)傳遞誤差的影響，研究中沒有考慮變位因素；Z. H. Zachary[3]開發(fā)了圓柱齒輪動態(tài)傳遞誤差的測試系統(tǒng)；Hu Yumei等[4]應(yīng)用有限元法分析了變位系數(shù)及螺旋角對斜齒輪瞬態(tài)嚙合性能的影響；羅登峰等[5]探討了變位系數(shù)和螺旋角對齒輪強度的影響，得出了要使最大滑動率相等，盡量采用高變位系數(shù)，并指出適當(dāng)?shù)呢?fù)變位與大螺旋角也有利于提高斜齒輪副的承載性能；張義民等[6]應(yīng)用有限元法對直齒輪傳動的嚙合特性進行了分析，研究了不同變位系數(shù)下的嚙合頻率及動態(tài)傳遞誤差；吳勇軍等[7-9]提出了接觸有限元法并對齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的連續(xù)嚙合動態(tài)特性進行了分析；賁道春等[10]通過實踐經(jīng)驗總結(jié)了管磨機齒輪變位系數(shù)分配的優(yōu)化設(shè)計方法，提出了小變位、小滑動率差和小螺旋角的設(shè)計理念，降低了成本并提高了性能；劉學(xué)良等[11]基于有限元方法分析了變位系數(shù)對齒輪固有頻率的影響。目前對齒輪動態(tài)特性的研究以有限元法為主，然而對于由多體組成的齒輪嚙合系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析，應(yīng)用多體動力學(xué)法進行分析更為適合，過去由于多體動力學(xué)分析多假設(shè)物體為剛性體，因此其分析結(jié)果與實際出入較大，隨著多體動力學(xué)平臺的發(fā)展，其對柔性體、剛?cè)狁詈象w的分析研究結(jié)果的可靠性大大提高。

為適應(yīng)復(fù)雜的工況要求，變位齒輪在傳動系統(tǒng)中的應(yīng)用日益廣泛，變位系數(shù)的確定直接影響到齒輪副的裝配尺寸、嚙合特性及傳動特性，因此在齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計過程中，變位系數(shù)的確定非常關(guān)鍵，本文將應(yīng)用多體動力學(xué)方法，計及變位系數(shù)對斜齒輪嚙合副的動態(tài)特性進行研究。

1 斜齒輪嚙合副動力學(xué)模型

圖1 齒輪副動力學(xué)模型

齒輪嚙合過程中由于同時嚙合的輪齒對數(shù)周期性變化，因此，齒輪的嚙合剛度也具有時變性與周期性，且不同嚙合輪齒的嚙合剛度不同，目前齒輪動態(tài)特性研究大多采用A. Kahraman等[12]提出的動力學(xué)模型，該模型中的嚙合剛度被認(rèn)為固定不變，顯然不符合實際情況。本文提出的齒輪嚙合副的動力學(xué)模型如圖1所示，本模型中將齒輪副看作柔性體，各嚙合輪齒的嚙合剛度分別為k1t、k2t…knt。

柔性多體系統(tǒng)與剛性多體系統(tǒng)類同，當(dāng)系統(tǒng)中的柔性體變形與時間無關(guān)時，可退化為剛體系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)中部件之間不存在大范圍運動時，則退化為結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，本文提出的齒輪副動力學(xué)模型中，主動輪與從動輪均為柔性體，將柔性體離散后，應(yīng)用虛位移原理，可列出系統(tǒng)的運動微分方程：t

化簡可得

當(dāng)考慮摩擦?xí)r，

式中：a為懲罰因子；N為單元節(jié)點插值函數(shù)；μ為滑動摩擦因數(shù)；s為位移增量；sT為切向分量；s1、s2分別為切向分量的兩個方向上的量；gN為接觸點之間的法向距離；eN為接觸點法向單位矢量；e1、e2分別為兩個切向的單位矢量。

2 斜齒輪傳動分析模型

本文應(yīng)用Creo Parametric構(gòu)建了斜齒輪傳動的全參模型，其基本參數(shù)如表1所示，齒輪副中的主、從動齒輪的材料屬性一致，密度為7.83×10-6kg/m3，彈性模量為219 GPa，泊松比為0.3，模型計及摩擦與變位，不考慮齒輪修形。

表1 斜齒輪傳動基本參數(shù)

為更好地對齒輪傳動過程中的輪齒接觸力等進行研究，對分析模型進行柔性處理，在ADAMS中對主動輪與從動輪之間進行接觸設(shè)置并添加運動副，本模型只考慮主動輪與從動輪，忽略支承軸、軸承及支架的彈性，仿真分析模型如圖2所示。

圖2 斜齒輪傳動模型

3 仿真結(jié)果分析

為研究變位系數(shù)對齒輪嚙合特性及傳動特性的影響，采用的各組變位齒輪傳動模型的變位系數(shù)如表2所示，保持主動輪不變位，從動輪變位，研究模型包括G1～G11共11組，分析求解器采用HHT-I3，靜摩擦因數(shù)設(shè)置為1.1×10-2，動摩擦因數(shù)設(shè)置為1.0×10-2，設(shè)置各模型仿真時間為0.5 s。

3.1 系統(tǒng)傳動誤差分析

齒輪傳動誤差的產(chǎn)生原因很多[13]，負(fù)載是關(guān)鍵影響因素之一，首先研究負(fù)載對傳動誤差的影響。表3所示為G1模型不同的負(fù)載情況。

圖3為G1模型在不同負(fù)載下的輸入輸出角速度曲線，表4為運轉(zhuǎn)平穩(wěn)后各不同負(fù)載下的輸出角速度均值及誤差。

表2 不同模型變位系數(shù)設(shè)置

表3 G1模型負(fù)載設(shè)置

圖3 傳動機構(gòu)輸入輸出角速度曲線

表4 不同負(fù)載下G1模型的從動輪轉(zhuǎn)速

從圖3可看出，當(dāng)傳動平穩(wěn)后，從動輪轉(zhuǎn)速呈周期性波動，且隨負(fù)載增大，波動幅度增加，當(dāng)空載時，轉(zhuǎn)速的波動很小，其從動輪轉(zhuǎn)速幾乎為一直線，從表4的數(shù)據(jù)來看，當(dāng)系統(tǒng)加載后，隨負(fù)載增大，從動輪轉(zhuǎn)速誤差增加，但加載時的轉(zhuǎn)速誤差均小于空載。表明適當(dāng)?shù)募虞d對提高傳動精度有益，但加載后會引起轉(zhuǎn)速的波動，從而使齒輪副嚙合過程中產(chǎn)生振動與噪聲。

圖4為G1_5模型的從動輪受力曲線，從局部放大圖中可以看出，輪齒受力呈周期性波動，意味著齒輪副的嚙合剛度具有時變性與周期性，齒輪副嚙合剛度的變化與傳動過程中齒輪副的嚙合齒數(shù)的變化有關(guān)。圖5所示為G1_5模型在負(fù)載情況下的輪齒受力圖，圖6標(biāo)示了輪齒的標(biāo)號，從圖5中可以看出，在一個周期內(nèi)，受力輪齒對數(shù)的變化規(guī)律為1→2→3→2→1，嚙合齒數(shù)的變化是嚙合剛度時變性的關(guān)鍵原因。

圖4 從動輪受力曲線圖

圖5 齒輪輪齒受力曲線圖

圖7所示為G1模型在不同負(fù)載情況下的動態(tài)傳動誤差曲線。從圖中可明顯看出，傳遞誤差曲線具有周期性，運轉(zhuǎn)平穩(wěn)后，空載時的波動最大，但頻率最小，這與圖3中空載時從動輪的轉(zhuǎn)速曲線基本平直吻合，負(fù)載情況下的傳動誤差波動頻率基本一致，且從圖8的G1_5模型的傳動誤差的幅頻曲線中可以看到，雖然曲線具有明顯的低頻特征，但也包含大量的高頻成分。

圖6 齒輪輪齒標(biāo)號圖

圖7 G1模型動態(tài)傳動誤差曲線

圖8 G1模型負(fù)載時傳動誤差幅頻曲線

圖7中空載與負(fù)載工況下的傳動誤差差別較大，空載情況下，傳動誤差波動較大，且波動幅值在正負(fù)之間變換，而負(fù)載情況下，動態(tài)傳動誤差波動較小，且傳動誤差為正，從放大圖中可以看出傳動誤差曲線具有多組正弦曲線疊加后的形態(tài)。傳動誤差的波動與系統(tǒng)嚙合剛度的變化是對應(yīng)的，由于運轉(zhuǎn)平穩(wěn)后，系統(tǒng)負(fù)載恒定，且沒有考慮修形、制造及裝配誤差等因素的影響，因此，可以根據(jù)傳動誤差的波動情況，計算出系統(tǒng)的時變剛度。圖8所示為G1_5模型的傳動誤差曲線經(jīng)過傅立葉變換后得到的幅頻曲線，從放大圖中可看出，雖然曲線具有明顯的低頻特征，但也包含大量的高頻成分，反觀空載時的傳動誤差幅頻曲線，基本不含高頻信號。

3.2 變位系數(shù)對動態(tài)嚙合性能的影響

為研究變位系數(shù)對斜齒輪嚙合副動態(tài)性能的影響，對G1～G11共11組模型進行仿真，各模型的仿真時間均設(shè)為9000d*step (time,0,0,0.1,1)，負(fù)載均設(shè)置為4.2e4*step(time,0.2,0,0.3,1)。圖9～圖11分別為變位系數(shù)對傳動誤差、輪齒最大受力及最大相對滑動速度的影響。

由圖9可知，變位系數(shù)對傳動誤差影響明顯，對于研究所涉及的模型，當(dāng)變位系數(shù)在-0.3～0.3范圍內(nèi)變化時，變位系數(shù)的增加與傳動誤差成反比，變位系數(shù)越大，誤差均值與誤差波動越小，尤其需要注意的是，在本模型中適當(dāng)?shù)夭捎米兾辉O(shè)計有利于傳動誤差的降低，且當(dāng)從動輪正變位時，傳動誤差隨變位系數(shù)先減小、后增大，當(dāng)從動輪負(fù)變位時，傳動誤差隨變位系數(shù)先增大、后減小。由圖9數(shù)據(jù)可知，在11 組模型中，當(dāng)從動輪變位系數(shù)為-0.5時，其傳動誤差均值及其波動最小。

圖9 變位系數(shù)對傳動誤差的影響

圖10為不同變位系數(shù)下輪齒最大受力均值走勢圖。由圖10可以看出，當(dāng)變位系數(shù)從-0.5變化到-0.4時，輪齒受力增大幅度很小，但從-0.4變位到-0.3時，輪齒最大受力急劇增大，增長了近10倍，然后當(dāng)變位系數(shù)從-0.3變化到0.3時，輪齒最大受力逐漸減小，基本呈線性變化。圖9與圖10形成了相互印證，當(dāng)傳動誤差均值及傳動誤差波動大時，輪齒最大受力也相應(yīng)較大。結(jié)合圖9與圖10可以看出：當(dāng)變位系數(shù)分別為0.3、0.4、0.5時，其輪齒最大受力基本一致，但傳動誤差有大幅增加；當(dāng)變位系數(shù)為-0.4與-0.5 時，其輪齒最大受力基本一致，但傳動誤差有大幅差距。

圖10 變位系數(shù)對輪齒最大受力的影響

圖11為不同變位系數(shù)下輪齒最大相對滑動速度走勢圖。最大滑動速度是輪齒齒面磨損的重要指標(biāo)，從圖11中可看出，最大滑動速度隨變位系數(shù)的增大而減小，尤其當(dāng)變位系數(shù)為0.3時出現(xiàn)突變，滑動速度急劇下降。

綜合前述變位系數(shù)對傳動誤差、輪齒受力及最大滑動速度的分析，可以看出，在本文涉及的斜齒輪副中，對從動輪進行0.3的變位會得到更好的動態(tài)特性。

圖11 變位系數(shù)對最大滑動速度的影響

3.3 螺旋角對齒輪副動態(tài)嚙合性能的影響

為研究螺旋角對斜齒輪嚙合傳動動態(tài)性能的影響，選擇G3模型進行分析，此時主動輪不變位，從動輪變位系數(shù)為0.3，螺旋角的選擇如表5所示。

表5 螺旋角參數(shù)設(shè)置

圖12為螺旋角對動態(tài)傳動誤差及其波動范圍的影響走勢圖，一般斜齒輪的螺旋角的選取角度為[8°，20°]，隨著螺旋角的增加，傳動誤差及其波動范圍先減小后增大。從圖中可以看出當(dāng)螺旋角為14°時，傳動誤差最小。

圖12 螺旋角對傳動誤差的影響

圖13 為螺旋角對輪齒最大受力的影響曲線。由圖12與圖13可知，螺旋角對輪齒最大受力與傳動誤差的影響走勢相關(guān)，當(dāng)螺旋角由8°變?yōu)?0°時輪齒受力增大，傳動誤差也隨之增大，當(dāng)螺旋角由10°變?yōu)?4°時，輪齒最大受力急劇下降，相應(yīng)的傳動誤差也大幅降低，但當(dāng)螺旋角從14°增大到20°時，其輪齒最大受力的雖依次增加，但幅度很小，然而此時的傳動誤差卻大幅增加。因此，應(yīng)該慎重選擇螺旋角，在保證輪齒受力較小的情況下，應(yīng)盡量使得傳動誤差較小。

圖14為螺旋角對最大滑動速度的影響曲線，從圖中可看出最大滑動速度與螺旋角基本成反比關(guān)系，且變化比較平緩，圖中顯示，只有當(dāng)螺旋角從18°變?yōu)?0°時，其變化才相對劇烈。該曲線與圖12、圖13體現(xiàn)出來的明顯的非線性特點區(qū)別較大，表明螺旋角的選擇相對比較復(fù)雜，不像變位系數(shù)那樣明確。

圖13 螺旋角對輪齒最大受力的影響

圖14 螺旋角對最大滑動速度的影響

綜上分析可知，當(dāng)螺旋 角 為14°時，斜齒輪副的動態(tài)特性較好。

4 結(jié)論

本文基于多體動力學(xué)方法對斜齒輪嚙合副的動態(tài)特性進行了精確分析，與有限元法進行的靜態(tài)分析與瞬態(tài)動力學(xué)分析相比，結(jié)果更具可靠性，通過分析得出以下結(jié)論：1）齒輪副系統(tǒng)的傳動誤差具有明顯的周期性，當(dāng)空載時，傳動誤差變化頻率低，加載后傳動誤差變化頻率大幅提升，適當(dāng)增加負(fù)載對提高齒輪傳動精度有利。2）當(dāng)從動輪負(fù)變位時，斜齒輪嚙合副動態(tài)特性隨著變位系數(shù)的減小，先有所下降再有所提升；當(dāng)從動輪正變位時，動態(tài)特性隨變位系數(shù)的增加先有所提升后有所下降。3）螺旋角對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響不像變位系數(shù)那樣明確，螺旋角對傳動誤差、輪齒最大受力的影響的相關(guān)性一致，具有明顯的非線性特點，隨著螺旋角的增大，傳動誤差與輪齒最大受力先提升后下降；但螺旋角對最大滑動速度的影響具有明顯的線性特征，最大滑動速度隨螺旋角增大而減小。

本文的目的主要在于探討變位系數(shù)及螺旋角對傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，為簡化模型，沒有考慮軸、軸承及支架的彈性，在以后的研究中將全面考慮，以構(gòu)建更為精確的分析模型。