徐海璐，房劍飛，韓雪，戎新萍

（南京工業(yè)大學(xué) 浦江學(xué)院，南京211100）

0 引言

傳統(tǒng)3D打印機(jī)主要有3種，如圖1所示。第一種為龍門架結(jié)構(gòu)[1]，此結(jié)構(gòu)又稱為i3結(jié)構(gòu)，打印頭位于X軸運(yùn)動導(dǎo)軌上，底盤架設(shè)在Y軸運(yùn)動導(dǎo)軌上，Z軸方向沿著龍門架向上，此種打印機(jī)結(jié)構(gòu)較為簡單。第二種是三角洲3D打印機(jī)，該結(jié)構(gòu)屬于Delta式結(jié)構(gòu)，由瑞士洛桑理工學(xué)院的Reymond Clavel教授于20世紀(jì)80年代發(fā)明[2]。最早的Delta式并聯(lián)機(jī)械臂主要用來設(shè)計一種能以很快速度操作輕小物體的機(jī)器人，這是一種通過一系列互相連接的平行四邊形來控制目標(biāo)在X、Y、Z軸上的運(yùn)動的機(jī)械結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)運(yùn)動相對穩(wěn)定，但由于并聯(lián)機(jī)械臂占用了較大的空間，使得該打印機(jī)的打印范圍易受到限制[3]。第三種是目前較為常見的XYZ箱體機(jī)構(gòu)打印機(jī)，如市場上典型的Einstart系列打印機(jī)[4]，此種結(jié)構(gòu)X軸和Y軸在一個平面上運(yùn)動，打印基座固定在Z軸上。打印機(jī)空間利用率較高，并且打印更加穩(wěn)定，打印精度也相對較高。

圖1 3D打印機(jī)

對于龍門架結(jié)構(gòu)和XYZ箱體式結(jié)構(gòu)打印機(jī)，X Y Z軸相互垂直，可以直接將每個軸運(yùn)動距離換算成電動機(jī)的脈沖數(shù)，計算相對簡單。三角洲打印機(jī)坐標(biāo)系需要進(jìn)行正逆解計算，圓弧路徑也必須用直線進(jìn)行逼近因而計算相對復(fù)雜，故導(dǎo)致打印精度降低。

1 三軸串聯(lián)機(jī)械臂3D打印機(jī)

圖2 串聯(lián)機(jī)械臂3D打印機(jī)的研究技術(shù)路線

本文提出了一種三軸串聯(lián)機(jī)械臂3D打印機(jī)，其研究技術(shù)路線如圖2所示。將目標(biāo)坐標(biāo)值設(shè)定好之后，首先計算目標(biāo)位置（X,Y,Z） 和當(dāng)前位置（X0,Y0,Z0）的位置之差，并將位置進(jìn)行分段，對每一小段獲取當(dāng)前位置值和目標(biāo)位置值，然后通過機(jī)械臂正逆解求得3個軸的角度值。為防止機(jī)械臂加減速抖動需要對每一小段做加速度和速度規(guī)劃，最后將角度值轉(zhuǎn)換為電動機(jī)脈沖數(shù)驅(qū)動機(jī)械臂運(yùn)動。在每個小段路徑運(yùn)動過程中需要和目標(biāo)位置進(jìn)行對比，沒有到達(dá)目標(biāo)位置將繼續(xù)運(yùn)動，直至到達(dá)目標(biāo)位置[5]。

1.1 正逆解計算

如圖3所示，機(jī)械臂運(yùn)動到目標(biāo)坐標(biāo)，需將目標(biāo)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為機(jī)械臂每個軸的角度，這就需要做機(jī)械臂正逆解計算。

圖3 機(jī)械臂正逆解計算

正逆解需要求解α、β和水平運(yùn)動角度γ。

式中：S1和S2為α和β對應(yīng)的機(jī)械臂臂長的平方；l1為α對應(yīng)機(jī)械臂的長度；C1為機(jī)械臂前臂和后臂長度之和；C2為常數(shù)；（sx，sy，sz）是機(jī)械臂末端相對于機(jī)械臂坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)值；（x，y，z）是機(jī)械臂末端相對于機(jī)械臂物理原點(diǎn)坐標(biāo)值；H是機(jī)械臂物理原點(diǎn)相對于機(jī)械臂坐標(biāo)原點(diǎn)Z軸方向的軸偏距；r是機(jī)械臂在水平方向的投影長度；q1、q2分別為機(jī)械臂末端與坐標(biāo)原點(diǎn)連線與水平面和機(jī)械臂的角度值；P1為機(jī)械臂末端和機(jī)械臂原點(diǎn)的距離。

通過上述公式可以解出3個軸分別運(yùn)動的角度值。

1.2 運(yùn)動插補(bǔ)

為了能使機(jī)械臂進(jìn)行曲線運(yùn)動并提高3D打印平穩(wěn)性和精度，需要對機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動規(guī)劃。

機(jī)械臂運(yùn)動規(guī)劃指的是運(yùn)動插補(bǔ)，在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)之間插入中間點(diǎn)序列，實(shí)現(xiàn)沿著軌跡的平穩(wěn)運(yùn)動。運(yùn)動規(guī)劃包含路徑規(guī)劃（path planning）和軌跡規(guī)劃，路徑規(guī)劃是規(guī)劃位置，在起終點(diǎn)之間經(jīng)過的路徑點(diǎn)。軌跡規(guī)劃是規(guī)劃時間，將路徑點(diǎn)與時間相對應(yīng)。機(jī)械臂在打印過程中需要進(jìn)行頻繁啟停，軌跡規(guī)劃好壞將直接影響3D打印產(chǎn)品質(zhì)量、3D打印機(jī)的穩(wěn)定性及其使用壽命。本方案速度規(guī)劃采用梯形加減速[6]。

如圖4（a）所示，采用梯形加速度做速度曲線規(guī)劃，初速度為v0，末速度為vt，中間過程運(yùn)行速度為vn。

圖4 梯形加減速圖

加速距離

若s2＞0，則證明有恒速段，加速段和勻速段總距離sk=s1+s2。

當(dāng)s2＜0時，無恒速段，曲線只有加速和減速過程，如圖4（b）所示，設(shè)加速段和減速度段交點(diǎn)處速度為vm，則有關(guān)系式：

本方案曲線運(yùn)動采用直線逼近的方式，如圖5所示，對于起始點(diǎn)p1(x1，y1，z1)、終點(diǎn)pn(xn，yn，zn)，計算時將兩點(diǎn)之間的距離進(jìn)行插值。每一段做梯形加減速進(jìn)行速度規(guī)劃。

圖5 運(yùn)動插補(bǔ)圖

1）首先求出目標(biāo)坐標(biāo)和當(dāng)前位置坐標(biāo)的差值xdiff、ydiff和zdiff。

X坐標(biāo)：

Y坐標(biāo)：

Z坐標(biāo)：

2）求坐標(biāo)之間距離Ddfif。

3）已知線段分段個數(shù)n，求每一段長度Llength。

xdestination是目標(biāo)點(diǎn)x值，xcurrent是當(dāng)前點(diǎn)x坐標(biāo)值，其他同理；Llength_x、Llength_y、Llength_z分別是每一段線段在x、y、z方向的投影長度。

4）對每一段進(jìn)行累加并求機(jī)械臂角度。

如圖6所示，將L1段求機(jī)械臂逆解可得三軸角度，同理將L2段求機(jī)械臂逆解可得另一組三軸角度。p14到p15之間的X、Y、Z方向脈沖數(shù)分別為三軸運(yùn)動角度對應(yīng)的脈沖數(shù)。由于細(xì)分?jǐn)?shù)目可以控制，所以線段數(shù)量可以做到很大，每條線段很短，可以更加準(zhǔn)確逼近曲線，當(dāng)然分段數(shù)越多對算法用時較長會影響3D打印速度。

圖6 插值點(diǎn)計算示意圖

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本研究基于Win10 64位操作系統(tǒng)，內(nèi)存16.0GB，Intel(R) Core(TM)i7-6500U CPU @2.5GHz。開發(fā)軟件基于VS2013 64位。將軟件燒錄進(jìn)單片機(jī)Arduino MEGA2560，首先用機(jī)械臂做簡單畫圖實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示圓形路徑規(guī)劃較好。然后用機(jī)械臂做寫字實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖7（a）所示，最后用機(jī)械臂做3D打印實(shí)驗(yàn)，如圖7（b）和圖7（c）所示，打印齒輪和軸承座模型，打印機(jī)運(yùn)行平穩(wěn)，打印產(chǎn)品質(zhì)量較好。

圖7 基于機(jī)械臂的3D打印機(jī)及打印模型

2 結(jié)語

與3D打印技術(shù)相結(jié)合，對機(jī)械臂進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計，包括對機(jī)械臂運(yùn)動進(jìn)行正逆解計算，對路徑進(jìn)行插值計算，最后做軌跡規(guī)劃，使機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)3D打印功能，提高打印機(jī)運(yùn)動平穩(wěn)性和打印精度。對傳統(tǒng)3D打印機(jī)進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)一機(jī)多用，提高工作效率，降低成本。在“新工科”背景下，理論結(jié)合實(shí)際，提高工程實(shí)踐能力和科研創(chuàng)新思維。