吳蘇寒

引言

在2000 年，中國就已經(jīng)擁有了298408 家醫(yī)療機構，其中包括19852 家公立醫(yī)院[1]。這些公立醫(yī)院面臨的環(huán)境往往并不單純，諸如政策，道德約束和利潤追求等各種因素都有可能影響它們的運作。正如 Sun, Santoro, Meng, Liu 和Eggleston 提到的那樣，對有些醫(yī)院來說，藥品銷售有時甚至涵蓋該醫(yī)院超過一半的收入[2]。本文將根據(jù)現(xiàn)有的藥品供應鏈結構，構建零售藥店和醫(yī)院藥品定價競爭的博弈模型，盡管我們在這里提供的僅僅是一個確定性模型，但我們?nèi)匀黄谕梢詫ΜF(xiàn)存現(xiàn)象給出一些解釋。

在過去的幾十年中，盡管中國醫(yī)藥產(chǎn)業(yè)不斷發(fā)展，但迅猛的經(jīng)濟擴張同時也帶來不少問題。銷售假藥、藥品短缺及抗生素濫用等問題不僅侵害了醫(yī)藥產(chǎn)業(yè)，也會侵蝕中國國民健康保障系統(tǒng)。

根據(jù)網(wǎng)絡資料顯示，2019 年7 月，山東省公共資源交易中心發(fā)布《關于阿糖胞苷等短缺藥品直接掛網(wǎng)公示的通知》，直接將阿糖胞苷等短缺藥品掛網(wǎng)公示。公示的數(shù)種藥品中，包括用于治療惡性血液疾病的阿糖胞苷，以及青霉素替代藥品——乳糖酸紅霉素等醫(yī)保甲類藥品[3]。造成藥品短缺的原因顯然并不單一，但我們認為，或許可以從醫(yī)院和藥店的競爭關系中，找到些許原因，這也正是本文試圖構建醫(yī)院——藥店博弈模型的動機。

本文對中國醫(yī)藥供應鏈結構的總結主要來源于Yu, Li 和Shi 在2010 年的工作[1]。他們描述了醫(yī)療改革前后的藥品供應鏈狀況，并對中國當時的醫(yī)療保障改革給出了一些評論。根據(jù)他們的介紹，我們分別繪制了中國傳統(tǒng)醫(yī)藥供應鏈（見圖1-1）和醫(yī)療改革之后醫(yī)藥供應鏈（見圖1-2）的拓撲結構圖。

比較圖1-1 和圖1-2，我們會發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的醫(yī)藥供應鏈，改革之后的供應鏈豐富了藥品分銷渠道，它使得藥品供應商不僅能將產(chǎn)品銷售給批發(fā)商，也可以直接銷售給醫(yī)院和藥店等零售商。因此，在圖1-2 所示的供應鏈中，我們可以認為藥店和醫(yī)院有著平等的競爭關系，它們會在一定的限制條件下，通過調整藥品售價，追求利潤的最大化。

雖然已經(jīng)有許多學者研究過報童模型，但是，我們經(jīng)查閱發(fā)現(xiàn)，將報童模型的相關討論延伸至藥品供應鏈領域的工作還未出現(xiàn)。Bernstein 和Federgruen[4]把博弈論應用到了報童模型中，他們建立了包含N 個零售商的隨機需求模型，研究了一個分散化的供應鏈，并指出，在這樣的供應鏈中，通過合理的合同，分散化的供應鏈可以達到和集中化供應鏈相同的效率。在一般博弈模型中，Chen, Yan 和Li[5]證明了納什均衡的存在唯一性，并指出，與合作博弈不同，競爭會使得納什均衡點的售價更低。

本文基于Chen[5]的工作，將建立一個擁有競價機制的報童模型，通過分析該模型的相關假設，論證模型的合理性，為未來的研究奠定基礎。

1 醫(yī)院——藥店藥品競價模型概述

本節(jié)將概述模型的基本情況。從圖1-2 可以看出，對于藥品制造或進口商來說，有兩種可能的分銷途徑，一種是先銷售給藥品批發(fā)商，再由批發(fā)商銷售給醫(yī)院和藥店等零售商；第二種是直接銷售給醫(yī)院和藥店等零售商。不論哪一種情況，消費者最終都會從醫(yī)院或藥店購買他們所需要的藥品。

因此，不失一般性，我們可以將藥品制造商或進口商與藥品批發(fā)商合而為一，統(tǒng)稱為藥品供應商，圖1-2 也就因此簡化為圖2-1 的形式。

我們將基本模型限制為只有一家醫(yī)院和一家藥店參與競爭，并由單一供應商供貨的情況，并且他們各自只售賣一種針對慢性疾病的藥品，盡管這與事實有較大的距離，但是可以作為我們研究問題的起點。

本文假設市場的藥品需求是跟藥品定價相關的隨機變量，且供應商擁有無限的產(chǎn)能。對于醫(yī)院和藥店來說，他們的決策變量是藥品訂貨量和定價，但對供應商來說，他的決策變量只有藥品的出廠價格。

我們進一步假設患者只能有兩種獲得藥品的途徑，一是去醫(yī)院看病并在醫(yī)院開藥；二是去藥店直接買藥。在基本模型中，我們將不討論患者在醫(yī)院獲得處方，并去藥店買藥的情況。

在模型中，醫(yī)院和藥店的目標都是最大化各自的利潤。整個模型的運行過程如下：首先，面對隨機市場需求，醫(yī)院和藥店確定自己的訂貨批量和定價，最大化他們的利潤。在觀察到他們的訂貨批量和定價之后，藥品供應商給出藥品出廠價格，最大化自己的利潤。換句話說，這是一個由藥品供應商主導的市場，藥品供應商在信息上占有優(yōu)勢。

該模型是一個靜態(tài)非合作博弈模型，即每一個決策者只能決策一次。一般來說，有兩種刻畫隨機需求函數(shù)的方法，一種被稱為加法形式，即需求RD(p,ξ)=D(p)+ξ；[6]另一種被稱為乘法形式，即需求RD(p,ξ)=D(p)?ξ。[7]不論哪一種形式，需求都被描述成一個確定性部分D(p)（價格p 的減函數(shù)）加（或乘）一個隨機變量ξ 的形式。在我們的模型中，我們使用乘法形式來描述市場需求。

2 模型記號及假設

在本節(jié)中，我們將給出模型使用的記號和一些基本假設，并說明假設的合理性，現(xiàn)將本模型使用的記號羅列如下：

為了簡便起見，在后面的敘述中，在不引起混淆的情況下，本文有時也使用Πd，Πh，Πs分別代替Πd(pd,ph,Qd)，Πh(pd,ph,Qh)和Πs(cd,ch).

下面，為了使本模型在不過分偏離真實情況的基礎上，具有數(shù)學上的可討論性，我們將給出九條假設，并逐一說明假設的合理性。

假設2.1 隨機變量ξd和ξh獨立于pd和ph，且E[ξd]=E[ξh]=1。 因此我們有E[RDd]=Dd(pd,ph,Ad), E[RDh]=Dh(pd,ph,Ah).

該假設說明，藥品需求的總體趨勢由售價決定，但其真實需求由一個服從某一分布的隨機變量控制。

假設2.2 決策變量pd和ph只能分別在區(qū)間[cd,pd]和[ch,ph] 上變動，其中pd和ph分別為藥店和醫(yī)院該藥品的最大零售價格。

我們稱該假設是有意義的，因為顯然醫(yī)院和藥店都不可能以低于進貨成本的價格銷售該藥品，因此有pd≥cd，ph≥ch；同時，為了防止藥品價格失控，政府往往會給出指導價格，將藥品價格限制在一個合理范圍內(nèi)，因此，我們認為pd和ph均存在上限。

假設2.3 在[min(cd,ch),max(pd,ph)]上，Dd(pd,ph,Ad)對pd二階連續(xù)可微； Dh(pd,ph,Ah)對ph二階連續(xù)可微。且Dd(pd,ph,Ad)對Ad一階連續(xù)可微，Dh(pd,ph,Ah)對Ah一階連續(xù)可微。

假設2.4 說明，不論是對藥店還是醫(yī)院來說，他們自己的藥品售價增長將導致自己的市場需求下降，并導致競爭對手的市場需求增加。假設2.5 則說明，醫(yī)院比藥店享有更高的聲望值，正如Xuan Yu 所說，病人往往更加信任醫(yī)院的診斷[1]。我們當然也很合理的假設，不論對于藥店還是醫(yī)院來說，市場需求都將隨著他們的聲望增加而增加。

假設2.7 ed和eh分別是ph和pd的單調非增函數(shù)，亦即?ed/?ph≤0，?eh/?pd≤0.

假設2.6 和假設2.7 告訴我們，藥店（或醫(yī)院）的藥品售價增長不僅僅會降低自己的期望需求，也會降低其競爭對手的價格彈性。也就是說，當藥店的藥品定價不斷升高時，它不僅變得更容易流失自己的顧客，也會讓醫(yī)院的顧客變得更加忠誠，反之亦然。

假設2.8 藥店和醫(yī)院均滿足控制條件：?ed/?pd+?ed/?ph≥0，?eh/?ph+?eh/?pd≥0.

假設2.8 說明，不論對醫(yī)院還是藥店來說，自身價格改變的影響都要大于競爭對手價格改變的影響。我們認為這也是合理的，因為并不是所有顧客都會貨比三家，他們應該會更多的受到自己常去購物的零售商的影響。

假設2.9 ξd和ξh分別均勻分布于[1-σd, 1+σd]和[1-σh,1+σh]上，其中σd,σh∈[0,1].

假設2.9 實際上是說藥店和醫(yī)院的市場需求將分別服從[(1-σd)Dd,(1+σd)Dd]和[(1-σh)Dh,(1+σh)Dh]上的均勻分布。值得一提的是，若σd=σh=1，藥店和醫(yī)院的需求將均勻分布于[0,2Dd]和[0,2Dh]，這可以用來討論有時沒有任何患者需要藥品的情況。

3 藥店和醫(yī)院的最優(yōu)訂貨批量及定價策略

正如我們在模型概述中所言，藥店和醫(yī)院會先行根據(jù)市場需求，決定自己的藥品最優(yōu)訂貨量和售價。隨后，藥品供應商在觀察到他們的決策后，會決定自己的藥品出廠價格以最大化自己的利潤。據(jù)此，我們可以寫出他們的期望收益函數(shù)。

藥店期望收益函數(shù)：

醫(yī)院期望收益函數(shù)：

藥品供應商期望收益函數(shù)：

對給定的醫(yī)院藥品售價ph來說，藥店面臨的就是一個一般的報童定價問題。我們可以把藥店的期望收益函數(shù)改寫為

注意到Dd與Qd無關，因此我們可以求藥店利潤函數(shù)對訂貨量的偏導

下面，我們證明Πd和Πh分別是關于pd和ph的上凸函數(shù)。

定理3.1 在其它變量不變的情況下，藥店和醫(yī)院的期望收益函數(shù)Πd(pd,ph,Qd)和Πh(pd,ph,Qh)，分別是它們各自售價pd和ph的上凸函數(shù)。

證明：因為藥店和醫(yī)院的利潤函數(shù)是對稱的，因此我們只需要證明藥店的情況即可。

于是，我們有 ,也就是說，Πd(pd,ph,Qd)是pd的上凸函數(shù)。

注意到醫(yī)院和藥店的對稱性，我們可以類似得出，Πh(pd,ph,Qd)是ph的上凸函數(shù)。

定理3.1 和Πd對Qd的上凸性表明，在這個博弈模型中，（3.4）將始終成立。假若不然，藥店的經(jīng)營者總能在既定醫(yī)院藥品定價的前提下，修改訂貨批量以追求更大利潤。因此，在給定醫(yī)院藥品定價ph時，藥店所能做的唯一決策即是制定最優(yōu)的pd以追求最大利潤。這個陳述同樣適用于醫(yī)院的決策情況。

我們用 和 分別表示藥店和醫(yī)院的最優(yōu)響應函數(shù)（best response function），下面，我們將證明，在本模型中，藥店和醫(yī)院的最有響應函數(shù)存在且具有唯一的解析表達式。

定理3.2 在我們的假設下，藥店（或醫(yī)院）的最優(yōu)響應函數(shù)存在，并且具有唯一的解析表達式，

證明：考慮到醫(yī)院和藥店在模型中的對稱性，我們在這里只需要討論藥店的情況即可。

根據(jù)定義[8]，為得到藥店的最優(yōu)響應函數(shù)，我們只需用Qd

＊替代（3.1）中的Qd即可。

將（3.4）帶入（3.1）得

根據(jù)假設2.9，我們知道ξd服從[1-σd, 1+σd]上的均勻分布。

定理3.2 說明，基于我們第2 節(jié)中的假設，在簡化的醫(yī)藥供應鏈中，可以建立合理的博弈模型，在市場運作工程中，藥店和醫(yī)院總是能夠尋找到最優(yōu)的訂貨批量，并根據(jù)競爭對手的定價，做出決策，我們可以期望，在未來的研究中能夠從數(shù)學上證明這個博弈存在均衡點，并以此對現(xiàn)在市場上的一些現(xiàn)象給出解釋。

4 結論

本文通過對現(xiàn)行中國醫(yī)藥供應鏈的分析，歸納了由醫(yī)藥供應商到患者的供應鏈結構圖，建立了由醫(yī)藥供應商主導，藥店和醫(yī)院進行價格競爭的博弈模型。本文說明了模型假設的合理性，并基于模型假設，證明了藥店和醫(yī)院期望收益函數(shù)的凹凸性，并說明，不論對于醫(yī)院還是藥店來說，他們的最優(yōu)訂貨批量始終存在，且與最優(yōu)訂貨批量相關的最優(yōu)響應函數(shù)能被唯一解析表出。這使得使用博弈論工具分析藥店和醫(yī)院的競爭成為可能。但是，本文尚未能論及醫(yī)院和藥店的競爭中，博弈均衡點是否存在唯一，而根據(jù)博弈均衡點的定價，解釋醫(yī)院和藥店的競爭結果，并論述市場上許多廉價藥品缺貨現(xiàn)象的原因，可能會成為未來研究的一個方向。