朱 軍，唐寶煜，李 凱

（1.安徽大學(xué)，安徽 合肥 230601；2.上?？萍即髮W(xué)，上海 201210）

0 引言

在MIMO 系統(tǒng)中，高速場(chǎng)景非常值得研究，因?yàn)橛脩粢廊幌Ｍ诟咚僖苿?dòng)的車輛上獲得高數(shù)據(jù)速率[1]。當(dāng)用戶處于移動(dòng)狀態(tài)時(shí)，基站與用戶之間的信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）會(huì)在短時(shí)間內(nèi)急劇波動(dòng)。只有準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出移動(dòng)用戶未來時(shí)間點(diǎn)的CSI，才能為MIMO 系統(tǒng)的高性能和高質(zhì)量服務(wù)提供有力的支撐。現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展出了兩種經(jīng)典的基于模型的預(yù)測(cè)方案，分別是自回歸（Auto-Regressive，AR）模型[2]和參數(shù)模型[3]。基于AR 模型的預(yù)測(cè)方案容易受到附加噪聲等缺陷的影響[4]。在面對(duì)實(shí)際的移動(dòng)場(chǎng)景時(shí)，AR 模型預(yù)測(cè)方案不具有吸引力。參數(shù)模型應(yīng)用的前提條件是相對(duì)于信道衰落的速率，信道參數(shù)變化非常緩慢[5]，不符合移動(dòng)場(chǎng)景的設(shè)定。

DMD 是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的時(shí)空算法，可以用來分析非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)隨時(shí)間的行為模式，從而預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來狀態(tài)[6]。文獻(xiàn)[7]將DMD 用于振蕩等離子體的行為預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[8]將DMD 融入智能建筑中來預(yù)測(cè)供暖、通風(fēng)和空調(diào)系統(tǒng)的溫度。本文提出使用DMD 算法預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值，并提出了優(yōu)化算法——AEG-DMD 算法。該算法將子信道響應(yīng)所分的組數(shù)作為閾值來分辨DMD 算法和基于EMD分組式的DMD 算法（EG-DMD）的使用場(chǎng)景，從而可以預(yù)測(cè)不同移速用戶的信道幅值。

1 用戶數(shù)據(jù)模型

上海科技大學(xué)的霧計(jì)算實(shí)驗(yàn)室為本文提供了移動(dòng)用戶的信道矩陣數(shù)據(jù)。移動(dòng)用戶的信道模型使用的是3GPP38.901 中的統(tǒng)計(jì)模型——城市宏蜂窩（3D-UMa）模型。天線設(shè)置、大尺度及小尺度衰落均以3D-UMa 模型為準(zhǔn)。由該模型得到的移動(dòng)用戶信道數(shù)據(jù)為復(fù)數(shù)形式。該模型具體各項(xiàng)參數(shù)如表1 所示。

表1 移動(dòng)用戶信道模型參數(shù)

2 DMD 預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值

DMD 算法使用特征值和模態(tài)來表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的演化過程。假設(shè)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行均勻采樣，得到有限長度的快照序列為：

式中，xi(i=0,1,…,M)代表觀測(cè)向量x在第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)，M+1 為快照時(shí)間點(diǎn)個(gè)數(shù)，X0M代表從序列的初始0 時(shí)刻到第M個(gè)時(shí)刻的集合。設(shè)觀測(cè)向量x的維度為N。

假設(shè)有一個(gè)線性映射A可以將系統(tǒng)的狀態(tài)xi連接到隨后的狀態(tài)xi+1，即：

式中，映射A在整個(gè)采樣區(qū)間內(nèi)是近似相同的。如果該快照序列是非線性過程，那么該映射相當(dāng)于線性切線近似。現(xiàn)將快照序列X0M-1寫成Krylov序列：

將式（2）和式（3）相結(jié)合可得到：

為了避免矩陣的數(shù)值病態(tài)，Schmid 提出利用快照數(shù)據(jù)矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）來計(jì)算動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模態(tài)[9]。其主要思想是通過酉變換和截?cái)嘧钚∑娈愔祦硪种撇B(tài)性?，F(xiàn)對(duì)X0M-1進(jìn)行SVD：

式中，U描述了快照序列的空間結(jié)構(gòu)，V代表了快照序列的時(shí)間結(jié)構(gòu)，，σ1≥…≥σmin(N,M)≥0，σi為X0M-1的第i個(gè)奇異值。

將X0M-1近似為一個(gè)低秩矩陣，即對(duì)于k∈{1,…,min(N,M)}，定 義Vk=V(;1:k)，所以有。此時(shí)可以表示為：

可通過所獲得的DMD 模式及對(duì)應(yīng)的特征值來預(yù)測(cè)該系統(tǒng)第M+1 個(gè)狀態(tài)：

式中，Zk+為Zk的偽逆。

本文所使用的移動(dòng)用戶信道矩陣為復(fù)數(shù)，表示為H。用Hk表示第k個(gè)移動(dòng)用戶的信道矩陣：

式中，基站端天線有p根，移動(dòng)用戶端天線有q根，hkl(1 ≤k≤p,1 ≤l≤q)代表基站端第k個(gè)天線到移動(dòng)用戶端第l個(gè)天線的信道響應(yīng)。由于H是用復(fù)數(shù)來表示的，因此可令hkl=akl+bkli，所以每一個(gè)hkl的幅值可以表示為：

進(jìn)行預(yù)測(cè)仿真時(shí)，先使用表1 的參數(shù)來生成移動(dòng)用戶信道復(fù)數(shù)矩陣數(shù)據(jù)，然后使用式（11）將復(fù)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為幅值形式，再使用DMD 方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。在預(yù)測(cè)時(shí)，采用前5 個(gè)傳輸時(shí)間間隔（Transmission Time Interval，TTI）數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后1 個(gè)TTI 數(shù)據(jù)的形式，即用第1～5 的TTI 數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第6 個(gè)TTI 數(shù)據(jù)，再用2～6 個(gè)TTI 原始數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)第7 個(gè)TTI 數(shù)據(jù)，以此類推。圖1 展示了使用DMD算法預(yù)測(cè)不同移速某用戶信道幅值的預(yù)測(cè)效果。

如圖1 所示，對(duì)于用戶速度較低的低復(fù)雜度信號(hào)而言，利用DMD 算法預(yù)測(cè)MIMO 系統(tǒng)矩陣幅值效果較好。圖1（a）的幅值預(yù)測(cè)曲線基本和真實(shí)幅值曲線相吻合，只有少量的點(diǎn)出現(xiàn)了毛刺現(xiàn)象。然而對(duì)于用戶移速較高的高復(fù)雜度信號(hào)，DMD 算法無法再準(zhǔn)確地抓住系統(tǒng)的變化模態(tài)。圖1（c）的預(yù)測(cè)幅值出現(xiàn)了劇烈抖動(dòng)和發(fā)散情況，此時(shí)DMD 算法已無法再用于高移速的用戶信道幅值預(yù)測(cè)。

圖1 DMD 算法預(yù)測(cè)不同移速某用戶的信道幅值

3 AEG-DMD 預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值

3.1 EG-DMD 算法

EMD 算法不需要信號(hào)的頻率、幅度等先驗(yàn)知識(shí)即可對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解處理。因此，EMD 在分析非平穩(wěn)非線性信號(hào)方面具有獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)[10]。其主要思想是自適應(yīng)地將輸入信號(hào)分解為有限的單一頻率零均值基本分量，這些基本分量稱為固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）。每個(gè)IMF 應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件：

（1）極值點(diǎn)的數(shù)目和過零點(diǎn)的數(shù)目要么相等，要么相差為1；

（2）包絡(luò)線平均值在任何點(diǎn)上都為零（分別用極大值和極小值組成上包絡(luò)線和下包絡(luò)線）。

設(shè)原始信號(hào)為x(t)，其EMD 分解步驟如下：

步驟1：找出x(t)的所有極值；

步驟2：用3 次樣條插值將極大值組成上包絡(luò)，極小值組成下包絡(luò)；

步驟3：求出上下包絡(luò)的均值；

步驟4：用原數(shù)據(jù)減去均值，此時(shí)假設(shè)余量為臨時(shí)IMF 分量；

步驟5：檢查臨時(shí)IMF 分量是否符合IMF 的兩個(gè)條件，若不滿足，則將臨時(shí)IMF 重復(fù)前面步驟，直到條件滿足為止；

步驟6：用原數(shù)據(jù)減去第一個(gè)IMF 分量，得到殘余數(shù)據(jù)；

步驟7：令殘余數(shù)據(jù)為原數(shù)據(jù)，重復(fù)以上步驟，直到IMF 無法提出為止。

x(t)在經(jīng)過EMD 分解后，可表示成若干IMFs和殘差信號(hào)之和：

式中，n為IMFs 的個(gè)數(shù)，d(t)為殘差信號(hào)。

本文提出的EG-DMD 算法的主要思想是：對(duì)于所獲取的移動(dòng)用戶信道復(fù)數(shù)矩陣，先進(jìn)行幅值轉(zhuǎn)換，對(duì)每個(gè)子信道響應(yīng)時(shí)序圖進(jìn)行EMD 分解，所有子信道響應(yīng)經(jīng)過分解后進(jìn)行分組，分組過后，對(duì)每一組信號(hào)進(jìn)行DMD 算法，預(yù)測(cè)后續(xù)TTI 的信道幅值。每一組都預(yù)測(cè)完畢之后，將每組的預(yù)測(cè)值相加，再加上相應(yīng)的平均位移，合并為最終的預(yù)測(cè)幅值。

分組原則為：

（1）所有子信道響應(yīng)分解的IMF1 分量作為第1 組，所有IMF2 分量作為第2 組，以此類推。

（2）每個(gè)子信道響應(yīng)分解出的IMF 分量個(gè)數(shù)如果不相等，則以最少IMF 個(gè)數(shù)的子信道響應(yīng)為準(zhǔn)，舍棄其他子信道響應(yīng)多余的IMF 分量及殘差信號(hào)。

進(jìn)行仿真時(shí)，依舊是采用前5 個(gè)TTI 數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后1 個(gè)TTI 數(shù)據(jù)的形式。圖2 展示了使用EG-DMD算法預(yù)測(cè)不同移速某用戶信道幅值的預(yù)測(cè)效果。

在用戶移速較高時(shí)，相較于DMD 來說，EGDMD 具有較好的預(yù)測(cè)能力。圖2（c）的幅值預(yù)測(cè)曲線和真實(shí)幅值曲線相差不大，毛刺現(xiàn)象比圖1（c）預(yù)測(cè)曲線的毛刺現(xiàn)象少得多。然而，當(dāng)用戶移速較低時(shí)，如圖2（a）所示，雖然EG-DMD 能夠很好地把握用戶的信道幅值變化情況，但會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)偏高或偏低的情況，并沒有DMD 預(yù)測(cè)得準(zhǔn)確。

3.2 基于組數(shù)的閾值區(qū)分

從3.1 節(jié)可以知道，DMD 算法和EG-DMD 算法分別適用于低移速低復(fù)雜幅值信號(hào)和高移速高復(fù)雜幅值信號(hào)的預(yù)測(cè)。但需要注意的是，不能簡(jiǎn)單地從用戶移速大小來判斷使用DMD 和EG-DMD 的閾值，因?yàn)闊o論是用DMD 還是用EG-DMD 進(jìn)行預(yù)測(cè)，MRE 并不是隨著移速的增加而單調(diào)遞增。為了分辨出使用DMD 和EG-DMD 的閾值，對(duì)所有移動(dòng)用戶的信道數(shù)據(jù)分別進(jìn)行DMD 和EG-DMD 預(yù)測(cè)。圖3 展示了信道數(shù)據(jù)所分出的組數(shù)與MRE 的關(guān)系曲線。

圖2 EG-DMD 算法預(yù)測(cè)不同移速某用戶的信道幅值

圖3 對(duì)不同組數(shù)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)的MRE

從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信道幅值矩陣所分出的組數(shù)大于或等于5 時(shí)，使用EG-DMD 的MRE 更小，組數(shù)小于或等于4 時(shí)，直接使用DMD 預(yù)測(cè)的MRE會(huì)更小。因此，AEG-DMD 算法可以寫為：

圖4 展示了分別使用DMD、EG-DMD 和AEGDMD 預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值的MRE。

圖4 使用DMD、EG-DMD 和AEG-DMD 預(yù)測(cè)的MRE

根據(jù)圖4 可以看到，AEG-DMD 綜合了DMD和EG-DMD 的優(yōu)勢(shì)，即對(duì)于低移速移動(dòng)用戶信道幅值使用DMD 進(jìn)行預(yù)測(cè)，使得預(yù)測(cè)結(jié)果平滑又準(zhǔn)確；對(duì)于高移速移動(dòng)用戶信道幅值使用EGDMD 進(jìn)行預(yù)測(cè)，使得預(yù)測(cè)結(jié)果的毛刺較少且MRE較低。因此，基于組數(shù)的閾值區(qū)分可以自適應(yīng)地區(qū)分預(yù)測(cè)環(huán)境，自動(dòng)判斷何時(shí)使用DMD，何時(shí)使用EG-DMD。

3.3 不同預(yù)測(cè)算法的比較

將文獻(xiàn)[2]中的AR 預(yù)測(cè)、文獻(xiàn)[3]中使用的多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)和AEG-DMD 預(yù)測(cè)進(jìn)行MRE 比較。所有預(yù)測(cè)形式均采用前5 個(gè)幅值數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后1 個(gè)幅值數(shù)據(jù)形式，因此AR 預(yù)測(cè)時(shí)的階數(shù)取5，而多項(xiàng)式擬合取4 次多項(xiàng)式。圖5 展示了以上方法預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值的MRE 曲線。

圖5 多種預(yù)測(cè)方法的MRE

圖5 中AR（5）表示只使用5 個(gè)幅值數(shù)據(jù)計(jì)算AR 系數(shù)，而AR（100）使用100 個(gè)幅值數(shù)據(jù)計(jì)算AR 系數(shù)。從圖5 中可以看出，AR（5）預(yù)測(cè)的MRE 最大，并不適用于幅值預(yù)測(cè)，AR（100）預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值的MRE 整體較小，甚至在預(yù)測(cè)20 km/h 的移動(dòng)用戶幅值時(shí)比AEG-DMD 更好，但其他移速的預(yù)測(cè)方面不如AEG-DMD。多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)方式非常適合預(yù)測(cè)低移速用戶的信道幅值，其MRE 與AEG-DMD 的MRE 非常接近，但是在面對(duì)高移速用戶時(shí)，其預(yù)測(cè)誤差有陡升現(xiàn)象，這和文獻(xiàn)[3]描述的一樣，即只有變化緩慢的信道預(yù)測(cè)才使用該方法。因此，AEG-DMD 整體的預(yù)測(cè)情況最好。

4 結(jié)語

本文提出AEG-DMD 算法來預(yù)測(cè)移動(dòng)用戶信道幅值，將子信道響應(yīng)所分的組數(shù)作為閾值來分辨DMD 算法和EG-DMD 算法的使用場(chǎng)景。仿真結(jié)果表明，AEG-DMD 算法既可以使用DMD 算法預(yù)測(cè)低移速用戶信道幅值，又可以使用EG-DMD 算法預(yù)測(cè)高移速用戶信道幅值。