張飛正，張 亙，邱海艦

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十研究所，四川 成都 610041）

0 引言

隨著信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，信號(hào)處理正在由模擬領(lǐng)域向數(shù)字領(lǐng)域轉(zhuǎn)變?，F(xiàn)代雷達(dá)、通信等信號(hào)處理系統(tǒng)通常要求先對(duì)天線接收到的信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化處理，根據(jù)傳統(tǒng)的采樣理論，對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真恢復(fù)所需要的奈奎斯特采樣率可能會(huì)超過(guò)目前商用模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（Analog-to-Digital Converter，ADC）好幾個(gè)數(shù)量級(jí)，給硬件設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大困難。因此必須通過(guò)進(jìn)一步研究信號(hào)的結(jié)構(gòu)，以求獲得更多的信息，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的恢復(fù)。而實(shí)際應(yīng)用中的無(wú)線電信號(hào)在傳輸過(guò)程中，都會(huì)被調(diào)制到很高的載頻上，也就是說(shuō)相對(duì)于整個(gè)頻譜，它只包含了很少的窄帶信號(hào)，這種信號(hào)稱為稀疏多頻帶信號(hào)。

當(dāng)信號(hào)載頻已知時(shí)，Landau 和Lin 分別用不同的方式提出所需要的最小采樣率為各頻帶帶寬之和[1]，當(dāng)信號(hào)載頻未知時(shí)，一個(gè)挑戰(zhàn)性的任務(wù)是如何以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率實(shí)現(xiàn)信號(hào)的盲恢復(fù)。多陪集采樣理論體系提出了全盲信號(hào)恢復(fù)系統(tǒng)[2]，但由于對(duì)時(shí)延的準(zhǔn)確度要求很高，實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)?；趬嚎s感知理論提出的隨機(jī)調(diào)制器可以恢復(fù)出多頻信號(hào)[3]，但由于模擬信號(hào)需要大量的諧波才能近似逼近，而如此多的諧波極大地增加了重構(gòu)的復(fù)雜度。而基于Xampling 信號(hào)恢復(fù)算法利用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換（Modulated Wideband Converter，MWC）系統(tǒng)，既能對(duì)稀疏多頻帶模擬信號(hào)以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率進(jìn)行采樣，又為硬件提供了易實(shí)現(xiàn)可能。本文正是基于Xampling 信號(hào)恢復(fù)算法理論，對(duì)信號(hào)進(jìn)行降采樣恢復(fù)而設(shè)計(jì)的一套低速率采樣盲恢復(fù)硬件MWC 系統(tǒng)。

1 MWC 系統(tǒng)原理

1.1 稀疏多頻帶信號(hào)模型

在通信領(lǐng)域，現(xiàn)在的通信信號(hào)一般是由幾個(gè)具有一定帶寬的信號(hào)組成，分布在很寬的頻帶范圍之內(nèi)。且相對(duì)于奈奎斯特采樣率fNYQ，帶寬一般都很窄。其頻譜示意圖如圖1 所示：

圖1 典型通信信號(hào)頻譜

針對(duì)具有這種特征的稀疏多頻帶模擬信號(hào)，可采用MWC 模型來(lái)降低信號(hào)的采樣頻率。本文針對(duì)具有6 個(gè)子帶的稀疏多頻帶模擬信號(hào)作為信號(hào)模型來(lái)分析。

1.2 MWC 系統(tǒng)簡(jiǎn)介及Xampling 原理

假設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間實(shí)信號(hào)x(t)，它的頻譜位于[-1/2T,1/2T]之間，其中1/T=fNYQ，fNYQ為奈奎斯特采樣率。一般情況下，信號(hào)x(t)在頻域上是分段連續(xù)的。在圖1 所示的信號(hào)模型中，信號(hào)在頻譜中只有6 段頻譜，定義參數(shù)N=6。

MWC 系統(tǒng)框圖如圖2 所示，包括乘法器、低通濾波和采樣3 個(gè)過(guò)程。

圖2 MWC 系統(tǒng)

從圖2 中可以看出，模擬信號(hào)x(t)同時(shí)進(jìn)入m個(gè)信道。在每個(gè)信道中，信號(hào)x(t)首先與隨機(jī)序列pi(t)相乘。在理論上，pi(t)只需要是一個(gè)周期信號(hào)即可，即：

信號(hào)x(t)與pi(t)相乘之后，經(jīng)過(guò)一個(gè)截止頻率為1/2Ts的低通濾波器，然后被采樣率為1/Ts的ADC 采樣。

接下來(lái)分析MWC 采樣系統(tǒng)的原理，任意取一個(gè)信道i進(jìn)行分析，因?yàn)樾盘?hào)pi(t)是周期函數(shù)，所以有：

式中，有：

信號(hào)x(t)與pi(t)相乘之后，定義：

式中，X(f)為原始信號(hào)x(t)的頻譜，為信號(hào)的頻譜。

從上述分析可以看出，信號(hào)x(t)與pi(t)相乘之后，即是對(duì)x(t)頻譜的搬移。所以，濾波器的輸入是原始信號(hào)頻譜X(f)經(jīng)過(guò)lfp搬移之后的線性組合。假設(shè)原始信號(hào)x(t)頻譜中每一段頻譜寬度均不超過(guò)B，即B為每一段頻譜的最大帶寬。因信號(hào)的頻譜分布位于[-fNYQ/2,fNYQ/2]范圍之內(nèi)，所以任意一路信號(hào)頻域最多有|fNYQ/B|個(gè)非零部分。信號(hào)經(jīng)過(guò)低通濾波器之后，只有位于[-fs/2,fs/2]之間的頻譜被保留了下來(lái)。因此，經(jīng)采樣后，信號(hào)yi[n]的離散傅里葉變換為：

式（6）建立了采樣之后的信號(hào)yi[n]的頻譜與未知原始信號(hào)x(t)的頻譜之間的關(guān)聯(lián)，是后面的恢復(fù)算法的關(guān)鍵。為了方便后面的分析，將式（6）寫(xiě)成矩陣的形式，如下：

式中：

在矩陣A中，有：

定義：

計(jì)算可得：

同時(shí)，還定義θ=e-j2π/M，所以化簡(jiǎn)可得：

定義：

令S為m×M的符號(hào)矩陣，即Si,k=αi,k，D=diag(dL0,…,d-L0)，其中dl由式（11）得到，于是有：

至此，MWC 模型的基本過(guò)程已經(jīng)分析完畢。從中可以看出，原始信號(hào)經(jīng)過(guò)與偽隨機(jī)序列相乘，低通濾波，采樣之后，原始信息的頻域與采樣之后的信號(hào)頻譜之間建立了關(guān)聯(lián)，這也是Xampling 恢復(fù)算法的理論基礎(chǔ)和依據(jù)。而恢復(fù)算法的本質(zhì)就是去求解這樣一個(gè)未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的矩陣的方程。

1.3 Xampling 恢復(fù)算法

以上講述了MWC 模型中的采樣部分，下面開(kāi)始介紹如何從采樣得到的信息中恢復(fù)出原始信號(hào)?；謴?fù)原始數(shù)據(jù)Z的本質(zhì)是求解未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程。然而，因?yàn)槲粗獢?shù)中大多數(shù)是0，所以只要找到待求解的矩陣中哪些位置數(shù)據(jù)為0，哪些不為0，這個(gè)方程便可以求解[4]。

首先定義，若一個(gè)向量u中只有K個(gè)非零元素，或者只有K個(gè)較大的元素，那么向量u被稱為K稀疏向量。定義s=suup(u)記錄的是非零元素或者較大元素在向量u中的位置。針對(duì)式（15），s中保存的是矩陣Z中非零行的位置信息。求解向量s的過(guò)程如圖3 所示。

圖3 s 求解

在圖3 中，矩陣Y為采樣得到的數(shù)據(jù)矩陣，利用公式Q=∑y[n]yT，則有：

在得知矩陣Q之后，需要構(gòu)造任意一個(gè)滿足Q=VVH的矩陣V。此處，可以選取矩陣Q的特征向量組成的矩陣和對(duì)應(yīng)特征根的算術(shù)平方根所組成的對(duì)角矩陣的乘積作為矩陣V。

在確定了矩陣V之后，便可以利用正交匹配追蹤算法[5-6]來(lái)求解方程V=Cu。這樣，向量s便可以確定，從而確定矩陣Z中非零元素所在的行。

定義CS為在s索引下由矩陣C中的列向量組成的矩陣。同時(shí)，定義：

這樣，便可以用公式：

去恢復(fù)信號(hào)。需要注意的是，此時(shí)，z[n]的采樣率是fs。因此，還需要對(duì)此信號(hào)進(jìn)行內(nèi)插。內(nèi)插過(guò)程用如下公式表示：

經(jīng)過(guò)內(nèi)插之后，信號(hào)被恢復(fù)到奈奎斯特速率。因位于不同頻帶的信號(hào)在采樣前均被搬移到了基帶，所以最后還應(yīng)該把他們搬移到原來(lái)的位置。各信號(hào)經(jīng)過(guò)搬移并相加之后，原始的信息便恢復(fù)了出來(lái)。

2 硬件設(shè)計(jì)部分

MWC 系統(tǒng)的硬件設(shè)計(jì)主要包括3 部分：現(xiàn)場(chǎng)可編程邏輯門(mén)陣列（Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA）隨機(jī)序列產(chǎn)生部分、混頻濾波部分、數(shù)據(jù)采集傳輸部分。模擬部分包括功分器、乘法器、濾波器。模數(shù)轉(zhuǎn)換部分主要有AD 采樣，RAM 存儲(chǔ)和采樣數(shù)據(jù)串行傳輸。

硬件設(shè)計(jì)整體系統(tǒng)框圖，如圖4 所示。

圖4 MWC 系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)

2.1 FPGA 偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生

MWC系統(tǒng)中的隨機(jī)序列必須滿足一定的條件。在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中，根據(jù)奈奎斯特采樣率和ADC 采樣率的要求，本文設(shè)計(jì)的m序列碼長(zhǎng)為403。m序列的本原多項(xiàng)式F(x)為F(x)=1+x4+x9。因?yàn)楫?dāng)n=9 時(shí)，生成的隨機(jī)序列碼長(zhǎng)為m=29-1=511，大于所需要的碼長(zhǎng)403，故需要從511 個(gè)碼元中從起跳狀態(tài)開(kāi)始跳過(guò)108 個(gè)，而且又要符合移位寄存器的輸出方式。由于本原多項(xiàng)式為F(x)=1+x4+x9，可以推得反饋系數(shù)C0=1、C4=1、C9=1，其余反饋系數(shù)為零。故反饋函數(shù)為：圖5 為m序列碼長(zhǎng)為511 時(shí)發(fā)生器邏輯圖。

圖5 m 序列發(fā)生器

在時(shí)鐘CP 的驅(qū)動(dòng)下，當(dāng)寄存器的初始狀態(tài)Q8……Q0=111111111 時(shí)，根據(jù)式，可得到m序列的輸出如序列Ⅰ。為了找到起跳狀態(tài)，首先將Q8的輸出作為序列Ⅰ：

1 1 1 1 1 1 1 … 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 … 1 0 0 0 0 0

再將序列Ⅰ向左移108 個(gè)碼元，得到序列Ⅱ：

1 0 0 1 1 1 1 … 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 … 1 0 1 1 1 0

然后將序列Ⅰ和序列Ⅱ的對(duì)應(yīng)位進(jìn)行模2 加運(yùn)算得到序列Ⅲ：

0 1 1 0 0 0 0 … 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 … 0 0 1 1 1 0

最后，在序列Ⅲ中找到100000000，其所在的位置相對(duì)應(yīng)的序列Ⅰ的碼元111011001 就是要找的起跳狀態(tài)。

在長(zhǎng)度為511 的序列Ⅰ中，從起跳狀態(tài)開(kāi)始，消去108 個(gè)碼元，剩下的碼元即組成長(zhǎng)度為403 的序列：

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 …… 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1

所以，m=403 的序列信號(hào)發(fā)生器的反饋函數(shù)f′為：

但是在最長(zhǎng)線性序列信號(hào)發(fā)生器中，全0 狀態(tài)是最長(zhǎng)線性序列狀態(tài)轉(zhuǎn)移中的偏離狀態(tài)。當(dāng)各級(jí)觸發(fā)器狀態(tài)全為零時(shí)，由于反饋網(wǎng)絡(luò)是異或網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)致寄存器的輸出一直為0，即最長(zhǎng)線性序列信號(hào)發(fā)生器在全0 狀態(tài)不具有自啟動(dòng)特性。為了避免寄存器狀態(tài)一直為零，使其具有自啟動(dòng)特性，必須對(duì)反饋函數(shù)f′進(jìn)行修改。修改后的激勵(lì)方程為：

化簡(jiǎn)可得：

根據(jù)以上表達(dá)式，編寫(xiě)FPGA 代碼。在QuartusII開(kāi)發(fā)環(huán)境中，進(jìn)行時(shí)鐘分頻設(shè)計(jì)和邏輯時(shí)序代碼的編寫(xiě)，可以得到如圖6 所示的隨機(jī)序列。

為了準(zhǔn)確的分析隨機(jī)序列的頻譜特性，將FPGA產(chǎn)生的m序列，導(dǎo)入到MATLAB 進(jìn)行FFT 分析得到如圖7 所示的隨機(jī)序列頻譜?？梢悦黠@看出，隨機(jī)序列的頻譜間隔是固定，由此也驗(yàn)證了所產(chǎn)生的m序列的正確性。

圖6 隨機(jī)序列時(shí)域波形

圖7 隨機(jī)序列頻譜

2.2 功分器設(shè)計(jì)

功分器的作用主要是為了解決直接將型號(hào)分為4 路造成的阻抗不連續(xù)，從而帶來(lái)的信號(hào)發(fā)射。為了有效地改善增益平坦度，在功分器和乘法器之間加入了寬帶無(wú)源幅度均衡器。功分器全稱是功率分配器，可以將一路輸入信號(hào)的能量平均分配到多路輸出信號(hào)中。功分器主要從頻率范圍、隔離度、插入損耗、相位平衡性、幅度平衡性等幾個(gè)參數(shù)去分析。綜合各種參數(shù)分析，功分器選用Mini-Circuits公司的AD4PS-1+。AD4PS-1+為工作頻率范圍在1～500 MHz，輸入阻抗為50 Ω 的無(wú)源貼片器件。信號(hào)最大輸入功率為0.5 W，理論上四路輸出之間相位差可為0°，典型隔離度值為30 dB，輸入端電壓駐波比為1.12，輸出端電壓駐波比為1.10。

2.3 混頻器的設(shè)計(jì)

一路信號(hào)分為四路之后，每一路首先要經(jīng)過(guò)一個(gè)乘法器，該乘法器的作為MWC 系統(tǒng)的混頻器使用。信號(hào)與隨機(jī)序列相乘，完成的功能是信號(hào)頻譜的搬移。乘法器選用亞德諾半導(dǎo)體（Analog Devices Inc.）公司的AD835。

AD835 是一個(gè)四象限，電壓輸出模擬乘法器。它的-3 dB帶寬為250 MHz。乘法器結(jié)構(gòu)如圖8所示。

它的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

AD835 為高輸入阻抗器件，所以在考慮功分器與乘法器相連時(shí)，可以把乘法器輸入端看作開(kāi)路。AD4PS-1 輸出端接一個(gè)到地的50 Ω 電阻，然后與乘法器相連即可。AD835 輸入端電壓范圍為-1～1 V。因前面功分器為1/4 功率分配，所以功分器端差分電壓范圍為-2～2 V。

圖8 乘法器結(jié)構(gòu)

另外，AD835 的輸出阻抗比較低，帶負(fù)載能力較強(qiáng)，且輸出電壓擺幅在-2.5～2.5 V。乘法器是一個(gè)非線性器件，會(huì)帶來(lái)一定的諧波失真。當(dāng)U=1、Z=0 時(shí)，有：

混頻電路的設(shè)計(jì)如圖9 所示。

圖9 混頻器電路設(shè)計(jì)

2.4 低通濾波器的設(shè)計(jì)

在MWC 系統(tǒng)中，隨機(jī)序列和信號(hào)混頻之后包含具有一定能量的很多高次諧波。在整個(gè)的頻譜范圍，有相當(dāng)一部分高次諧波是超過(guò)所設(shè)定的采樣率fs的，而且具有不可忽略的能量。故需要設(shè)計(jì)一個(gè)過(guò)渡帶窄，阻帶外衰減能力強(qiáng)的高性能低通濾波器。這也是MWC 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)。

常用的模擬低通濾波器有巴特沃斯和切比雪夫及橢圓型濾波器，前兩種低通濾波器的傳輸函數(shù)都是一個(gè)常數(shù)除以一個(gè)多項(xiàng)式，為全極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，僅在無(wú)限大處阻帶衰減為接近零。橢圓函數(shù)濾波器在有限頻率上因?yàn)榧扔辛泓c(diǎn)又有極點(diǎn)，零、極點(diǎn)在通帶和阻帶產(chǎn)生等紋波，阻帶內(nèi)的有限傳輸零點(diǎn)減小了過(guò)渡帶，可獲得極為陡峭的衰減曲線。也就是說(shuō)對(duì)于給定的階數(shù)和紋波要求，橢圓濾波器能獲得較其他濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器的矩形系數(shù)是最優(yōu)的。橢圓濾波器，在通帶和阻帶是等紋波的一種濾波器。相比切比雪夫?yàn)V波器，它是同時(shí)用通帶和阻帶的紋波起伏為代價(jià)來(lái)?yè)Q取更為陡峭的過(guò)渡帶。橢圓濾波器相比其他類(lèi)型的濾波器，在階數(shù)相同的條件下，有著最小的通帶和阻帶波動(dòng)。它在通帶和阻帶的波動(dòng)相同，這一點(diǎn)區(qū)別于在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器，以及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫?yàn)V波器。

本系統(tǒng)以音頻作為測(cè)試信號(hào)，故設(shè)計(jì)低通濾波器截止頻率為50 kHz，輸入阻抗100 Ω，輸出阻抗1 kΩ。為了更好地抑制高頻噪聲，采用兩級(jí)七階低通橢圓濾波器級(jí)聯(lián)，并在無(wú)源低通濾波器后增加阻抗隔離電路，以增強(qiáng)濾波器電路的可靠性。橢圓濾波器電路設(shè)計(jì)如圖10 所示。

圖10 7 階無(wú)源橢圓濾波器

本設(shè)計(jì)的軟件部分和硬件部分均采用模塊化設(shè)計(jì)，大大減少了硬件資源的利用。除了必需的數(shù)據(jù)采集口和數(shù)據(jù)輸出外，AD 同RAM 和RAM 同UART 之間的接口，都在程序內(nèi)部做了處理，不占用實(shí)際IO 資源。MWC 系統(tǒng)硬件電路如圖11 所示，隨機(jī)序列輸出也是通過(guò)此部分完成的。

圖11 MWC 系統(tǒng)硬件電路

2.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證對(duì)信號(hào)的恢復(fù)效果，設(shè)定輸入信號(hào)為單一頻率20 kHz 的接近音頻范圍內(nèi)的模擬信號(hào)。該信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生，奈奎斯特采樣率為8 MHz，采樣通道數(shù)量為4 路同步采樣，采樣率fs=fp=40 kHZ。為了方便數(shù)據(jù)的處理和傳輸，首先將AD 轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字序列存儲(chǔ)到由M4K 塊配置的單口RAM，然后利用MATLAB 讀取串口的采樣數(shù)據(jù)，并根據(jù)正交匹配追蹤OMP算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)?；謴?fù)的結(jié)果如圖12 所示。其中圖12（a）是原始信號(hào)，為了方便與恢復(fù)后的信號(hào)對(duì)比，直接利用MATLAB產(chǎn)生。從圖12 可以看出，重構(gòu)的信號(hào)在時(shí)域比較接近原始信號(hào)，從而驗(yàn)證了MWC 采樣系統(tǒng)的信號(hào)恢復(fù)性能。

圖12 重構(gòu)信號(hào)

3 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的模擬解調(diào)無(wú)法對(duì)多頻帶寬帶信號(hào)進(jìn)行有效地處理，時(shí)間交叉式采樣和周期非均勻采樣受限于AD 器件本身的跟蹤保持電路，必須保持較高的奈奎斯特頻率。本文利用具有嚴(yán)格時(shí)序特性的FPGA 產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，完成對(duì)多頻帶信號(hào)頻譜搬移，結(jié)合MWC 系統(tǒng)和Xampling 算法，真正實(shí)現(xiàn)了利用低速AD 對(duì)寬帶多頻帶信號(hào)的降采樣，完成了一套對(duì)稀疏多頻帶信號(hào)利用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率進(jìn)行采樣和信號(hào)盲恢復(fù)系統(tǒng)地設(shè)計(jì)。為解決目前商用AD 難以滿足現(xiàn)代通信模數(shù)轉(zhuǎn)換需要高采樣率，提供了一套行之有效的解決方案。