劉慧琴

(閩南理工學(xué)院信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700)

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)D={z:|z|<1}表示復(fù)平面上的單位圓盤。

定義3定義LB是對數(shù)Bloch空間。如果

則f∈LB。

‖f‖LB是一個半范數(shù)(‖f‖L=|f(0)|+‖f‖LB)，所以LB是一個Banach空間。

定義4設(shè)φ是D上的解析自映射，即φ∈S(D)，那么將H(D)上的復(fù)合算子定義為Cφ(f)=f(φ(z))，f∈H(D)，z∈D。顯然Cφ是線性算子。

定義5令g∈H(D)，對每個H(D)中的函數(shù)f，將Volterra型算子Jg，Ig分別定義為

定義6定義Volterra型算子和復(fù)合算子的積如下:

在文獻(xiàn)[2]中作者討論了從單位圓盤上H∞空間和Bloch空間到單位圓盤上的Zygmund型空間上的Volterra 型算子與復(fù)合算子的積的有界性和緊性。根據(jù)其研究思路和方法，思考如果換到其他空間上來研究Volterra 型算子與復(fù)合算子以及這兩種算子的積，能否得到這些算子有界性的條件呢？充分必要條件是否都能夠得出呢？在文獻(xiàn)[3]中已定義了新的空間：對數(shù)Bloch空間LB和小對數(shù)Bloch空間LB0，然后得到了在LB和LB0上Volterra型算子和復(fù)合算子的積的有界性之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上本文將首先研究Volterra型算子和復(fù)合算子的積分別在對數(shù)Bloch空間上和小對數(shù)Bloch空間上有界性的充要條件，然后進(jìn)一步推導(dǎo)出在對數(shù)Bloch空間上和小對數(shù)Bloch空間上Volterra型算子和復(fù)合算子各自的有界性的充要條件。

2 主要結(jié)論

引理1[4]假定f∈LB，則

引理4令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。如果CφJ(rèn)g(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB0上的一個有界算子，則CφJ(rèn)g(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB上的有界算子。

證明此引理已在文獻(xiàn)[3]中的定理2給出證明。

這里，先研究算子CφJ(rèn)g(或JgCφ):LB(或LB0)→LB(或LB0)的有界性。

定理1令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。則以下結(jié)論成立：

1)CφJ(rèn)g:LB→LB是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(1)

2)CφJ(rèn)g:LB0→LB0是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(2)

證明1)假定CφJ(rèn)g:LB→LB是有界的。固定ω∈D，令

(3)

因此式(1)成立。

反過來，假定式(1)成立。則由引理1，有

這表明CφJ(rèn)g有界。

2)假定CφJ(rèn)g:LB0→LB0是有界的。則由引理4知CφJ(rèn)g:LB→LB是有界的。所以由1)知式(1)成立。取f=1，易得式(2)成立。

另一方面，對任意f∈LB0。如果|φ(z)|→1-，當(dāng)|z|→1-。則由引理2和式(1)，有

如果|φ(z)|≤r0<1，對每個z∈D。則由式(2)得

|φ′(z)|→0，當(dāng)|z|→1-時。

所以，對所有f∈LB0，有CφJ(rèn)gf∈LB0。又由1)得CφJ(rèn)g在LB上有界，所以CφJ(rèn)g在LB0上是一個有界算子。

用定理1相同的方法可證得以下結(jié)論:

定理2令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。則以下結(jié)論成立：

1)JgCφ:LB→LB是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

2)JgCφ:LB0→LB0是有界的當(dāng)且僅當(dāng)式(4)成立且g∈LB0。

從定理1和定理2以及令φ(z)=z，可以得到Jg:LB(或LB0)→LB(或LB0)的有界性。

推論1令g∈H(D)，則Jg:LB→LB是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)Jg:LB0→LB0是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)

接下來，研究算子CφIg(或IgCφ):LB(或LB0)→LB(或LB0)的有界性。

定理3令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射,則以下結(jié)論成立：

1)CφIg:LB→LB是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(5)

2)CφIg:LB0→LB0是有界的當(dāng)且僅當(dāng)式(5)成立且

(6)

證明1)假定CφIg:LB→LB是有界的。取f(z)=z，易得出

(7)

對?0≠ω∈D，令

(8)

由引理3得

因此fω∈LB且‖fω‖L<4(ω≠0)。則對ω≠0得

‖CφIg(fω)‖LB≤‖CφIg(fω)‖L≤‖CφIg‖‖fω‖L<4‖CφIg‖<+∞。

(9)

所以對?z∈D，φ(z)≠0，在式(9)中利用ω=φ(z)，得到

對?z∈D，φ(z)=0，由式(7)得

因此式(5)成立。

反過來，假定式(5)成立。對任意f∈LB，由引理1得:

并且

這表明CφIg是有界的。

2)假定CφIg:LB0→LB0是有界的。則由引理4知CφIg:LB→LB是有界的。再由1)表明式(5)成立。接下來，取f=z，易得式(6)成立。

反過來，給定f∈LB0。如果|φ(z)|→1-，當(dāng)|z|→1-時，則由式(5)，有

如果|φ(z)|≤r0<1，對每個z∈D。則由式(6)得

因此，對任意f∈LB0，有CφIgf∈LB0。又由1)得CφIg在LB上有界，所以CφIg在LB0上有界。

用定理3相同的方法可證得以下結(jié)論:

定理4令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。則以下結(jié)論成立：

1)IgCφ:LB→LB是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

2)IgCφ:LB0→LB0是有界的當(dāng)且僅當(dāng)式(10)成立且

由定理3和令φ(z)=z，可以得到關(guān)于Ig:LB(或LB0)→LB(或LB0)有界性的以下結(jié)論。

推論2令g∈H(D)，則Ig:LB→LB是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)Ig:LB0→LB0是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)g∈H∞，其中H∞表示D上有界解析函數(shù)的代數(shù)。

由定理4和令g(z)=1，得到以下結(jié)論。

推論3令φ是D上的解析自映射。則以下結(jié)論成立：

1)Cφ:LB→LB是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(11)

2)Cφ:LB0→LB0是有界的當(dāng)且僅當(dāng)φ∈LB0且式(11)成立。

3 結(jié)語

本論文經(jīng)研究已得到了幾類算子在對數(shù)Bloch空間上和小對數(shù)Bloch空間上有界的充要條件，但這幾類算子在這兩種空間上的緊性還未研究，這是接下來需要繼續(xù)解決的問題和研究的方向。