樊冬艷， 曾 慧， 姚 軍， 孫 海， 趙 杰， 牛 娜

( 1. 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島 266555； 2. 中國石化西南油氣分公司 采氣一廠，四川 德陽 618000； 3. 東方電氣集團 東方電機有限公司，四川 德陽 618000； 4. 中國石化西南油氣分公司 勘探開發(fā)研究院，四川 成都 610041 )

0 引言

近年來，致密油藏成為全球能源勘探開發(fā)的熱點之一[1]。致密油藏一般孔隙度小于10%，基質覆壓滲透率小于0.1×10-3μm2，以納米級孔喉連通體系為主[2]。人們研究發(fā)現低滲致密儲層中啟動壓力梯度現象廣泛存在：THOMAS L K等[3]發(fā)現多孔介質中存在啟動壓力現象；PRADA A等[4]觀察鹽水通過固結巖心的滲流，發(fā)現啟動壓力梯度現象；ZENG B Q等[5]研究不同組分流體對巖石啟動壓力梯度的影響；丁景辰等[6]研究致密氣藏啟動壓力梯度，并將啟動壓力梯度應用在氣田開發(fā)中；白慧芳等[7]通過實驗測得鄂爾多斯盆地致密儲層啟動壓力梯度。

GRINGARTEN A C等[8]首次將Green函數引入石油工程，結合Newmann乘積求解不同類型的油藏滲流問題，推動不穩(wěn)定試井的發(fā)展；OZKAN E等[9]考慮井筒儲集系數和表皮因數，以及不同邊界條件、不同類型油藏(如均質油藏和裂縫性油藏)等復雜因素，提出Laplace空間變量形式的點源函數?；贚aplace空間源函數方法，UMNUAYPONWIWAT S等[10]研究壓裂井中非達西滲流對壓力動態(tài)的影響，提出若忽略裂縫中的非達西滲流，則導致裂縫導流能力和裂縫半長誤差超過50%；ZERZAR A等[11]考慮均勻流量、無限導流和有限導流3種裂縫情況，提出壓裂水平井模型；根據Ozkan的點源函數，樊冬艷等[12]研究人工裂縫傾角對壓裂水平井壓力動態(tài)的影響，并將源函數方法擴展到頁巖氣藏；ZHAO Y L等[13]將源函數引入考慮SRV的復合油藏；REN J J等[14]結合源函數和數值離散方法，研究頁巖氣藏中有限導流裂縫、不同裂縫分布等復雜情況； REN Z X等[15]應用Ozkan的面源解和疊加原理，研究復雜裂縫網絡中水平井不穩(wěn)定壓力特征。多數研究基于達西滲流條件下的源函數，沒有考慮致密油藏因啟動壓力梯度導致的低速非達西滲流[16]。少數研究考慮啟動壓力梯度的源函數：根據滲流力學基本原理，熊佩[17]建立低滲油藏低速非達西滲流數學模型，以及Lord Kelvin瞬時點源修正解；GUO J J等[18]考慮啟動壓力梯度影響，推導Laplace空間下的Ozkan修正點源解，沿水平井筒積分得到井底壓力；閆星宇等[19]建立低滲油藏直井滲流模型，采用Lord Kelvin瞬時點源修正解、貝塞爾函數積分和泊松疊加公式，對滲流方程沿井筒積分求解井底壓力。這些研究對常規(guī)點源解和啟動壓力梯度修正項運用疊加原理，缺乏數學理論支撐，同時放大啟動壓力梯度的影響。

基于低速非達西滲流，考慮啟動壓力梯度影響，筆者建立無限大地層點源數學模型，求解Laplace空間下的修正點源解，將其分解為達西項和啟動壓力梯度修正項。對達西項運用鏡像映射和疊加原理得到不同類型的基本解，再附加啟動壓力梯度修正項，考慮井筒儲集系數和表皮因數影響，得到井底壓降解。與經典解析解對比，驗證模型的正確性。該點源解的疊加方式在數學上嚴格證明成立，又具有明確的物理意義。應用該模型研究不同類型井的井底壓力動態(tài)特征，并進行現場應用。

1 修正點源解

假設條件：無限大致密油藏中存在一恒定連續(xù)點源，初始狀態(tài)的儲層壓力均勻分布；流體及巖石微可壓縮，壓縮系數為常數；忽略重力影響和地層溫度變化。

1.1 數學模型

致密油藏中普遍存在啟動壓力梯度現象，基于低速非達西滲流規(guī)律，運動方程[20]可表示為

(1)

式中：v為滲流速度；K為儲層滲透率；μ為流體黏度；p為地層壓力；r為任意點到儲層中心的徑向距離；G為啟動壓力梯度。

結合運動方程、狀態(tài)方程和連續(xù)性方程，建立考慮啟動壓力梯度的致密油藏滲流微分方程：

(2)

式中：φ為儲層孔隙度；Ct為綜合壓縮系數；t為時間。

初始條件：

p(r,t)=pi,t=0 h,

(3)

式中：pi為原始地層壓力。

內邊界條件：

(4)

外邊界條件：

p(r,t)=pi,r→∞。

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：s為Laplace空間變量。

構造式(6)的一個特解：

(9)

將式(9)代入式(6)，可驗證式(6)成立，因此構造的特解正確。

式(6)對應的齊次方程為

(10)

其通解為

(11)

式中：A和B為待定常數。

式(6)的解為

(12)

B=0,

(13)

(14)

考慮啟動壓力梯度的致密油藏無限大地層修正點源解為

(15)

式中：dD為地層中任意一點(xD，yD，zD)到點源(xwD，ywD，zwD)的距離。

1.2 分解方法

將修正點源解分為兩部分，即任意一點的壓降分為兩部分，有

(16)

圖1 修正點源解分解示意

2 不同井型井底壓降解

由修正點源解分解可知，地層中任意一點的壓降為源匯項在該點產生的壓降和啟動壓力梯度引起的附加壓降的總和。對于不同井型的井底壓降由兩部分組成：第一部分為不同井型的源匯項疊加在井底產生的壓降；第二部分為啟動壓力梯度項引起的附加壓降。由于啟動壓力梯度引起的附加壓降與邊界無關，設定致密油藏邊界為頂底封閉、四周無限大，同時考慮井筒儲集系數和表皮因數影響，研究不同井型的井底壓降解。

2.1 源匯項疊加壓降解

以致密油藏垂直井為例，基于鏡像映射和疊加原理消除邊界影響，再沿垂直井筒積分得到達西滲流情況下的井底壓力。

無限大地層修正點源解的達西項為

PPP投資型項目投資管理中，要深入施工現場調查，詳細掌握項目工程建設基本情況。然后制定健全的投資管理制度，明確管理目標和要求，推動投資管理活動順利進行。要制定合理的投資預算，對資金使用作出科學安排，防止資金浪費現象發(fā)生。要提高施工圖紙設計水平，加強圖紙審核，對存在的問題及時采取優(yōu)化措施，從而有效指導PPP投資型項目建設，防止延誤工期。要明確施工的重點環(huán)節(jié)，對施工現場拍照，加強現場清單管理，保證現場秩序良好，施工資金得到合理利用[3]?？傊瑥亩鄠€方面入手，提升投資管理水平，有利于促進項目效益提升。

(17)

應用鏡像映射消除頂底邊界的影響，根據疊加原理和Poisson公式[9]化簡式(17)，得到頂底封閉邊界的點源解為

(18)

(19)

2.2 啟動壓力梯度附加壓降解

(20)

由式(20)可知，任意一點N的附加壓降與該點的啟動壓力梯度和到源(點、線、面)的距離有關。不同源類型啟動壓力梯度修正項中距離的表達形式見表1。

2.3 井底壓降解

由表1可知，在完全穿透直井模型中dD=rD，致密油藏垂直井的壓降解為

(21)

同理，可推導頂底封閉、四周無限大致密油藏其他井型的基本解，不同井型的致密油藏井底壓降解見表2。

在Laplace空間利用Duhamel原理[21]，引入量綱一的井筒儲集系數CD和總表皮因數St，考慮井筒儲集系數和總表皮因數，得到Laplace空間下的井底壓力為

(22)

表1 不同源類型啟動壓力梯度修正項中距離的表達形式

表2 不同井型的致密油藏井底壓降解

根據Stehfest數值反演[22]得到真實空間的井底壓降解為

(23)

(24)

式(23)的精度主要取決于vi，vi由N確定：

(25)

pwD(tD)對N很敏感，N采用試湊法確定，一般取4～18的偶數。

3 結果討論

3.1 模型驗證

3.1.1 經典解析解

為了驗證文中方法的正確性，以頂底封閉、四周無限大致密油藏中完全穿透直井為例，直井全部穿透的均質地層可簡化為平面徑向流動。致密砂巖儲層巖心啟動壓力梯度為0.001～0.100 MPa/m[6-7]，因此選擇啟動壓力梯度為0.010 MPa/m。數值模擬計算參數見表3。

表3 數值模擬計算參數

將文中方法求得的井底壓降解與低速非達西滲流條件下的井底壓降解進行對比，經典解析解[23]為

(26)

不同啟動壓力梯度下直井的壓力動態(tài)特征見圖2。由圖2可知，運用文中方法得到的試井模型與經典解析解吻合良好，驗證文中方法的正確性。致密油藏垂直井的流動階段主要分為井筒儲集和徑向流階段。不考慮啟動壓力梯度時(G=0 MPa/m)，徑向流階段壓力導數為0.5的水平線；考慮啟動壓力梯度時，壓力及壓力導數曲線在徑向流階段后期出現一定程度的上翹，說明致密油藏需要消耗更多的能量。隨啟動壓力梯度增加，徑向流階段的曲線發(fā)生上翹時間提前且上翹幅度增大。

圖2 不同啟動壓力梯度下直井壓力動態(tài)曲線

3.1.2 其他模型

與其他模型進行對比，將文中方法記為方法1，熊佩[17]對點源項和啟動壓力附加項進行疊加的方法記為方法2，GUO J J等[18]、CAO R Y等[24]應用點源函數疊加的方法分別記為方法3和方法4，在頂底封閉、徑向無限大的低滲油藏中，不同疊加方式的直井井底壓力表達式見表4。

表4 不同疊加方式的直井井底壓力表達式

令CD=1、S=2，其他參數見表3，分別計算啟動壓力梯度為0、0.001、0.010、0.100 MPa/m時，不同疊加方式試井模型的井底壓力動態(tài)曲線見圖3。由圖3可知，存在啟動壓力梯度時，方法2、3、4計算得到的井底壓力和壓力導數遠比方法1的結果大。方法2、3、4在求解直井井底壓力時，對無限大地層點源解的達西項和啟動壓力梯度修正項進行疊加，增大啟動壓力梯度的影響；文中方法只對達西項進行疊加，再修正啟動壓力梯度引起的附加壓降，比其他模型的疊加方式更合理。

3.2 不穩(wěn)定壓力動態(tài)分析

應用修正點源函數方法，仿照直井不穩(wěn)定壓力的求解過程，假設地層頂底封閉、四周無限大，分析致密油藏壓裂直井、水平井及壓裂水平井的井底壓力動態(tài)。

3.2.1 壓裂直井

裂縫半長Lf=50 m，產油量q=50 m3/d，量綱一的井筒儲集系數CD=0.005，其他參數見表3。不同啟動壓力梯度的致密油藏壓裂直井的壓力動態(tài)曲線見圖4。由圖4可知，致密油藏壓裂直井主要分為3個流動階段：井筒儲集、裂縫線性流和系統(tǒng)擬徑向流階段。啟動壓力梯度主要影響曲線中后期，考慮啟動壓力梯度后，壓力及壓力導數曲線上翹，啟動壓力梯度越大，上翹越早，上翹程度越大。

3.2.2 水平井

水平井長度Lh=1 000 m，地層滲透率K=0.05×10-3μm2，量綱一的地層厚度hD=0.25，日產量q=50 m3/d，量綱一的井筒儲集系數CD=2.5×10-4，其他參數見表3。不同啟動壓力梯度的致密油藏水平井的壓力動態(tài)曲線見圖5。由圖5可知，致密油藏水平井主要分為4個流動階段：井筒儲集、早期徑向流、地層線性流和系統(tǒng)擬徑向流(晚期徑向流)階段。啟動壓力梯度主要影響曲線的中后期，影響情況與壓裂直井的類似。

圖3 不同疊加方式試井模型的井底壓力動態(tài)曲線

圖4 不同啟動壓力梯度的致密油藏壓裂直井壓力動態(tài)曲線

圖5 不同啟動壓力梯度的致密油藏水平井壓力動態(tài)曲線

3.2.3 壓裂水平井

水平井長度Lh=500 m，地層滲透率K=0.05×10-3μm2，地層厚度h=20 m，產油量q=10 m3/d，3條水力壓裂裂縫半長Lf=50 m，裂縫間距150 m，量綱一的井筒儲集系數CD=1.0×10-4，表皮因數St=0.3，其他參數見表3。不同啟動壓力梯度的致密油藏壓裂水平井的壓力動態(tài)曲線見圖6。由圖6可知，壓裂水平井主要分為4個流動階段：井筒儲集、裂縫線性流(第一線性流)、地層線性流(第二線性流)和系統(tǒng)擬徑向流階段。實際裂縫間距較小，裂縫之間干擾嚴重，通常難以觀察到裂縫周圍的流體近似徑向流向裂縫(裂縫徑向流)。啟動壓力梯度主要影響地層徑向流階段，啟動壓力梯度越大，曲線上翹程度越明顯。

4 礦場應用

以鄂爾多斯盆地某區(qū)塊的一口壓裂水平井——JP1井為例。JP1完鉆井深3 408.90 m，水平段深度為2 776.60～3 401.60 m，水平井長度為625 m，射孔井段為2 803.00～2 805.00、3 069.00～3 071.00、3 364.00～3 366.00 m，射開厚度為6.0 m，射孔處3段壓裂。關井前，日產油量為10 m3，JP1井基本參數見表5。

表5 JP1井基本參數

采用自適應遺傳算法編制軟件實現自動擬合，遺傳算法流程：(1)確定量綱一的水平段長度、裂縫半長、裂縫條數和裂縫導流能力等參數的優(yōu)化范圍，隨機生成N個二進制編碼，位數由各參數的精度和范圍決定，即隨機生成初始種群的N個個體；(2)分別對每個個體進行解碼，得到各參數并代入壓裂水平井井底壓降解，進而得到各個體對應的適應度，即實測壓力與理論壓力的誤差平方和；(3)根據各個體適應度大小，利用“輪盤賭”模型進行選擇操作，并利用個體的交叉概率和變異概率進行交叉和變異操作，得到下一代種群的新個體；(4)判斷是否達到優(yōu)化次數，若已達到，則停止迭代并輸出該種群的平均適應度和最大適應度；否則返回步驟(2)繼續(xù)優(yōu)化。

將實測數據點導入編制軟件，畫出實測試井壓力動態(tài)曲線，考慮啟動壓力梯度影響，選擇盒狀封閉的致密油藏壓裂水平井模型，應用軟件實現自動擬合，擬合結果見圖7，理論曲線與實測曲線擬合較好，驗證采用文中方法得到的試井解釋模型正確，擬合得到試井解釋參數見表6。

圖6 不同啟動壓力梯度的致密油藏壓裂水平井壓力動態(tài)曲線

圖7 JP1井試井數據擬合結果

5 結論

(1)基于非達西滲流，提出考慮啟動壓力梯度的致密油藏不穩(wěn)定試井解析方法。建立無限大地層點源數學模型，求解Laplace空間下的修正點源解；分解點源解為達西項和啟動壓力梯度修正項，運用鏡像映射和疊加原理，附加啟動壓力梯度修正項；考慮井筒儲集系數和表皮因數影響，得到井底壓降解。

(2)對比經典解析解驗證模型正確性，僅對達西項運用疊加原理的處理方式更加合理，既在數學上能夠嚴格證明成立，又具有明確的物理意義。

(3)不同井型的啟動壓力梯度主要影響壓力動態(tài)曲線的中后期，壓力及壓力導數曲線后期出現不同程度的上翹。致密油藏中需要更多的能量消耗，在致密油藏實際開發(fā)過程中，應注意合理配產，防止地層壓力消耗過快。