薛田良，曾陽陽，張赟寧，2，陳 曦

（1.三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443000；2.三峽大學(xué) 智慧能源技術(shù)湖北省工程研究者中心，湖北 宜昌 443000）

0 引言

電容器是電子電路中不可缺少的基本元件，占電子元件總消耗量的40%，廣泛應(yīng)用于人類生活的各個方面[1]。然而，在電力電子設(shè)備中電容器存在最高的故障率[2]。因此，對電解電容器的狀態(tài)進行監(jiān)測和建模具有重要意義，對元件的使用壽命、維護成本以及相關(guān)應(yīng)用的安全性具有深遠的意義。

等效串聯(lián)電阻（ESR）是監(jiān)測電容器健康狀態(tài)的一個重要研究方向。有學(xué)者發(fā)現(xiàn)隨著電解電容器的劣化，電解電容器的ESR 增大[3]。當(dāng)電容器的等效串聯(lián)電阻增加到初始值的200%以上時[4]，通常被認為是故障[5]?？梢酝ㄟ^追蹤ESR 來監(jiān)測電容器的健康狀態(tài)[6]。

在常用的電解電容器建模中，使用傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分不足以準確描述這類元器件的電氣特性[7]。同時，文獻[7]也指出電解電容器具有分數(shù)階特性，可以考慮引入分數(shù)階對系統(tǒng)建模。相比使用整數(shù)階對電解電容器建模，考慮采用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)對分析電容器提供了一條可行的思路，一方面，分數(shù)階系統(tǒng)可以減少系數(shù)來表示復(fù)雜的非線性現(xiàn)象的系統(tǒng)；另一方面，分數(shù)階的任意階數(shù)提供了更高的自由度[8]。

隨著人們對分數(shù)階微積分的認識，有學(xué)者將恒相位的電容應(yīng)用到電解電容的建模中，取得了較好的結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn)分數(shù)階電容可以替代傳統(tǒng)的整數(shù)階元件[9]。文獻[10]發(fā)現(xiàn)，具有恒定相位角單元的分數(shù)階微分模型的精度與五階RC 模型相似，有力地證明了鋰離子電池分數(shù)階微分模型的性能優(yōu)越。文獻[11]設(shè)計了一種分數(shù)階參數(shù)估計方法，擴大了更新階的選擇范圍，使算法的收斂性更加平滑，分數(shù)階在這個方面優(yōu)于整數(shù)階。

隨著分數(shù)階的發(fā)展，電解電容器模型逐步得到了改進，但是仍存在一些不足。H.Malek 等學(xué)者提出了一種基于分數(shù)階元件的電容等效電路模型[12]。陳曦在此基礎(chǔ)上，對模型進行了改進，在模型中增加了一個分數(shù)階元件的電解電容器，提高了監(jiān)測精度[13]。然而，隨著電化學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，電解電容器電解液中發(fā)生的一些化學(xué)現(xiàn)象還沒有被考慮到建模之中。例如文獻[14]發(fā)現(xiàn)在電池中有一種特殊的離子擴散現(xiàn)象。受此啟發(fā)，本文對電解電容器的模型進行改進。

本文首先考慮了電解電容器的內(nèi)部工作原理，分析了電解電容器的失效原因。然后，在現(xiàn)有的電解電容模型的基礎(chǔ)上，引入分數(shù)階建模，考慮離子的運動和擴散，提出了一種新的電容模型。本文同時對ESR 和阻抗Z進行跟蹤，以識別電解電容器的健康狀況。然后利用差分進化算法（DE）對模型參數(shù)進行辨識。最后，通過仿真驗證了該方法的有效性。

1 電容器建模

1.1 常用電容器模型

現(xiàn)有的電解電容器模型一般采用簡單的RC 串聯(lián)和并聯(lián)，如圖1 所示。在工業(yè)上，這些模型已被制造商Vishay 和Nichicon 廣泛使用[15]。在學(xué)術(shù)領(lǐng)域，這些模型被用于電子電路直流濾波器、電容狀態(tài)監(jiān)測、整流電容濾波器等控制方向[12，16]。研究發(fā)現(xiàn)，電容器的阻抗Z和ESR 隨溫度和頻率的變化而變化[17?18]。根據(jù)電路串并聯(lián)原理，由電解電容器的等效串聯(lián)電路等效出電容器的阻抗Z和ESR，觀察它們隨頻率的變化。然而，圖1a）所示的等效模型在寬頻率范圍內(nèi)，不能準確估計ESR，當(dāng)頻率高于10 kHz 時，誤差較大[19]。隨著研究推進，圖1b）、圖1c）和圖1d）逐漸被提出[12?13]。

圖1 各種電容器模型

模型圖1b）中Ct是電容的標(biāo)稱值，Rd和Cd的并聯(lián)部分等效為電解液的介電損耗。R0，R1分別代表電容器端子和箔片的電阻，其阻抗Z為：

已知，ESR 為阻抗的實部，則由式（1）可得：

在FO1 模型中，考慮了電容器電極表面的自相似分形結(jié)構(gòu)，引入階次α對電容器進行修正，得到阻抗和ESR 分別為：

對FO2 模型而言，其等效串聯(lián)電容器模型的阻抗Z，ESR 分別為：

以上模型就是常用的電解電容器模型及其阻抗Z和ESR。

1.2 基于離子運動和離子擴散的分數(shù)階模型

電解電容器都有一定的使用壽命，受多種因素的影響，包括過電壓、高溫、尖峰充放電等，進而導(dǎo)致阻抗Z的變化[20]。電解電容器在工作過程中，內(nèi)部發(fā)生的一些化學(xué)現(xiàn)象更是不能忽略的。

當(dāng)電容器在高溫下工作時，電容器電解液中的水分子分解成離子。離子運動導(dǎo)致電極根部發(fā)生電化學(xué)腐蝕。同時，離子遷移與電極的氧化還原反應(yīng)導(dǎo)致漏電流增大，甚至導(dǎo)致短路和電極被擊穿。因此，離子運動對電解電容器的健康監(jiān)測具有重要作用。當(dāng)電容器通電時，離子的擴散使電解液中的一些陰離子黏附在粗糙的電極表面，一些在電解液中解離，形成兩層結(jié)構(gòu)。

有趣的是電池和電解電容器的結(jié)構(gòu)有許多相似之處。電解電容器和電池的等效模型是電容器與電阻的串并聯(lián)。此外，文獻[19]發(fā)現(xiàn)電池中的擴散現(xiàn)象引入電解電容器中是可行的，并且很大一部分電解液電阻被轉(zhuǎn)移到異常擴散部分[21]。電池的擴散現(xiàn)象是指離子會在電池的多孔電極表面轉(zhuǎn)移[14]。電容器在生產(chǎn)中，陽極板腐蝕嚴重，有效面積增大。在電解電容器內(nèi)部，既具備帶有離子導(dǎo)體的電解質(zhì)，又具備類似于多孔電極的高度腐蝕的陽極板。因此，可以假設(shè)電容器電極表面的刻蝕等效于電池板的孔隙率，并將電池中的擴散現(xiàn)象引入到電解電容器的建模中。

圖2 基于離子運動和離子擴散的新模型

基于以上發(fā)現(xiàn)，本文主要考慮了離子的運動和擴散現(xiàn)象，并在頻域內(nèi)監(jiān)測了電容器的健康狀況。在電解電容器建模過程中，對傳統(tǒng)的功率電容模型圖1a）進行了改進，將離子運動和離子擴散等效為電阻和普通電容的并聯(lián)，如圖2a）所示。此時相應(yīng)的阻抗Z和ESR 如下：

引入分數(shù)階修正模型以反映復(fù)雜的擴散現(xiàn)象。將離子運動和離子擴散等效為電阻和α階電容的并聯(lián)，其中，α為非整數(shù)。提出的分數(shù)階電容模型如圖2b）所示。根據(jù)串并聯(lián)電路的簡化原理，可以得到下列方程：

后文將對常用的等效模型（FOe 模型、FO1 模型、FO2 模型）和提出的等效模型（IO?HOT 模型、FO?HOT 模型）進行參數(shù)辨識和仿真，以驗證模型的有效性。

2 參數(shù)擬合

第1 節(jié)已經(jīng)完成對模型元件和組成的確定，接下來還需要確立模型參數(shù)。因此將模型參數(shù)的確立轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題。為了識別等效模型的各個參數(shù)，利用ESR 和Z構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。將ESR 與Z的擬合問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題來識別參數(shù)向量，從而使目標(biāo)參數(shù)最小化，即尋求最小值。與文獻[13]一樣，將ESR 和Z與實測數(shù)據(jù)的均方差作為目標(biāo)函數(shù)，如下：

式中：ESRωi是等效串聯(lián)電阻預(yù)測值；ESRM ωi是等效串聯(lián)電阻實測值；Zωi是阻抗的預(yù)測值；ZM ωi是阻抗實測值。

具體采用的是一種啟發(fā)式優(yōu)化算法——差分進化（DE）算法。DE 算法主要包括變異、交叉和選擇部分，可以用于參數(shù)擬合中的多目標(biāo)擬合問題[13]。具體的算法原理如下：

1）設(shè)置種群規(guī)模、變異比例因子、交叉操作概率等基本參數(shù)。

2）初始化種群并獲取每個種群中每個個體的適應(yīng)度。

3）從種群中隨機選擇最大值和最小值作為變異源，并利用比例因子將這兩個值的差異向量與種群中的其他個體相結(jié)合，生成新的變異個體。

4）在目標(biāo)個體和突變個體之間進行二項式交叉運算，產(chǎn)生實驗個體。

5）計算并比較實驗個體和目標(biāo)個體的適應(yīng)度值。按適應(yīng)值大小選擇當(dāng)前適應(yīng)值。如果測試個體的適應(yīng)度值優(yōu)于目標(biāo)個體，則測試個體將在下一代中替換目標(biāo)個體；否則，目標(biāo)個體將繼續(xù)存在。

6）DE 算法通過迭代計算保留適應(yīng)度好的個體，剔除壞的個體，并引導(dǎo)搜索過程求解全局最優(yōu)解，最終輸出最優(yōu)結(jié)果。

3 仿真及結(jié)果

為了驗證所提出模型和算法的有效性，考慮使用標(biāo)稱值為10 μF 的50 V rubycon PX 系列電容器進行實測。通過Wayne Kerr WK65120 精密阻抗分析儀在25 ℃、（100 Hz，100 kHz）頻帶內(nèi)實測電容器的ESR 和阻抗Z，其ESR 和阻抗Z變化見圖3 和圖4 中的實測曲線。

圖3 基于DE 算法的電容器模型參數(shù)辨識結(jié)果

圖4 等效模型實測值與預(yù)測值的ESR 比較

對于參數(shù)辨識部分，根據(jù)不同的模型、種群大小設(shè)定為待識別參數(shù)維數(shù)的20 倍，最大迭代次數(shù)設(shè)置為200，比例因子為0.85，交叉概率為0.8，突變因子為0.35。選擇DE/rand?to?best/1 突變策略[22]和二項分布的交叉策略。

采用DE 算法對各個模型的參數(shù)進行辨識，結(jié)果見圖3，共識別出5 個模型，其中，除IO?HOT 模型外，其余4個模型均為分數(shù)階模型。圖3 清楚地顯示了要確定的參數(shù)數(shù)量和每個模型的已識別參數(shù)的值。由圖3 可知，模型越復(fù)雜，需要識別的參數(shù)就越多。

參數(shù)擬合后，在Matlab 中進行了仿真，得到了ESR等效電路模型和阻抗Z的預(yù)測數(shù)據(jù)。模型的ESR 和Z監(jiān)測結(jié)果如圖4 和圖5 所示。由于電解電容器的工作頻率通常小于100 kHz，因此在100 Hz～100 kHz 范圍內(nèi)進行預(yù)測。

圖5 等效模型測量值與預(yù)測值阻抗Z 的比較

ESR 和Z不僅取決于溫度，而且還取決于工作頻率。測量值也很好地反映了ESR 和Z隨頻率的變化。由圖4 和圖5 可以看出，仿真結(jié)果呈現(xiàn)出ESR 和Z的變化趨勢，這些模型能夠很好地描述了電解電容器的ESR和阻抗Z隨工作頻率的增加而降低的過程。當(dāng)頻率從100 Hz 增 加 到100 kHz 時，ESR 從4.17136 Ω 下 降 到1.04254 Ω，Z由169.065 Ω 下降到0.973804 Ω。通過比較各模型監(jiān)測ESR 和Z的絕對誤差值，可以得到模型監(jiān)測誤差隨頻率的變化趨勢，如圖6 和圖7 所示。

圖6 等效模型ESR 預(yù)測誤差值的比較

圖7 等效模型阻抗Z 預(yù)測誤差值的比較

根據(jù)誤差圖分析5 個模型的ESR 在100～1000 Hz頻率范圍內(nèi)有明顯的上升或下降趨勢，其中，整數(shù)階IO?HOT模型的ESR和阻抗Z變化都最為劇烈。在1～10 kHz范圍內(nèi)，4 種分數(shù)階模型的ESR 誤差在0.2 Ω 以內(nèi)，并逐漸減小，最終趨于平穩(wěn)；在10～100 kHz 范圍內(nèi)，4 種分數(shù)階模型和整數(shù)階模型的電阻監(jiān)測誤差約為0 Ω。由圖7 可以看出，在整個頻率范圍內(nèi)，除了IO?HOT 模型，其他模型的擬合效果都很理想。由此可見，引入分數(shù)階后對模型的修正作用，分數(shù)階監(jiān)測模型FO?HOT 比IO?HOT 模型在阻抗Z的監(jiān)測中具有更高的精度，其中，擬合效果最好的是FOe 模型，其次是FO?HOT 模型、FO2 模型、FO1 模型、IO?HOT 模型。FO?HOT 模型雖然對阻抗Z不是最佳擬合，但是其精度相對其他模型仍占優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文提出一種新的電解電容器模型，通過跟蹤ESR和阻抗Z來監(jiān)測電解電容的健康狀態(tài)。仿真結(jié)果表明了差分進化算法的有效性，進一步驗證了提出的分數(shù)階模型的優(yōu)越性。與其他分數(shù)階電解電容器模型相比，本文模型雖然辨識參數(shù)有所增加，但誤差明顯減小，對鋁電解電容器的監(jiān)測更為準確。